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2024-2025学年度大朗一中第一次数学模拟试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1．的绝对值是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（Shenzhen Bay Bridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．单项式的系数、次数分别为（　　）
A．5和3 B．5和5 C．﹣5和3 D．﹣5和5
4．下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
7．把向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如果，，那么的值是（　　）
A．100 B．1000 C．150 D．40
10．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．因式分解： ．
13．计算： ．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点的对称点，连接AC，则的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．先化简，再求值，其中．
18．解不等式组：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
(1)A，B两种花的单价各为多少元？
(2)学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
20．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
21．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
23．【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．
参考答案
1．A
2．A
3．D
4．A
5．D
6．D
7．D
8．A
9．B
10．C
11．
12．
13．
14．7
15．
16．解：（1）
；
（2），
，
或，
，．
17．解：
=
，
当时，
原式．
18．解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
19．（1）解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，
依题意得，
解得：，
答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
（2）解：由题意可得，，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最小值，
此时，，
即当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元．
20．（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
21．（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
22．（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
23．（1）解：四边形为矩形，
，
，
于点，
，
，
，
，
，，
，
解得；
（2）证明：作，延长交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，
，，
，
，，，
，，
，
，解得，
，
，
设，，
有，
解得，
，
，，
，
，
，
，
E为中点，
，
，
，解得．
故答案为：．

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