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浙江省2025年中考数学模拟预测卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．2025年3月底，大家预测《哪吒之魔童闹海》的最终票房可能超过 160 亿元，有机会冲击全球前三。其中“160亿”用科学记数法表示为（　　）
A．16×109 B．1.6×109 C．1.6×1010 D．0.16×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：160亿＝1.6×1010．
故选：C．
2．唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案．
【解答】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项B符合，
故选：B．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
【分析】利用同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐个计算，根据计算结果得结论．
【解答】解：A．由于a2、a3不是同类项，不能合并，故选项A计算错误；
B．a3 a2＝a3+2＝a5≠a6，故选项B计算错误；
C．（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，故选项C计算错误；
D．a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故选项D计算正确．
故选：D．
4．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　）
A．方差为0 B．众数为75
C．中位数为77.5 D．平均数为75
【分析】根据平均数和方差、中位数，众数得出答案即可．
【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中，
平均数（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8，
65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
∴中位数75，众数为75，方差[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61，
故选：B．
5．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，在Rt△DHO中，有勾股定理即可求出结果．
【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，
∴，
在Rt△DHO中，OH3，
∴直尺的宽度为3cm．
故选：A．
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°13′，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．115°23′ B．115°13′ C．105°13′ D．125°13′
【分析】根据平行的性质得到∠3＝90°，根据三角形内角和定理求出∠2＝64°47′，根据平行的性质即可得到答案．
【解答】解：∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α+∠1＝90°，
∵∠α＝25°13′，
∴∠2＝∠1＝90°﹣∠α＝90°﹣25°13′＝64°47′，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β+∠2＝180°，
∴∠β＝115°13′，
故选：B．
7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1．
在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合，
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，PM与⊙O相切于点M，点N在⊙O上，且AM＝AN，连接PN，若PM∥AN，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形AMPN是菱形 B．PN是⊙O的切线
C． D．
【分析】根据圆周角定理及切线的性质可得∠AMO＝∠PMB，再两次利用全等三角形的判定与性质可得PN⊥ON，从而判断选项B；利用平行线的性质及菱形的判定方法可判断选项A；根据全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及三角函数可判断选项C；最后由线段的倍分关系可判断选项D．
【解答】解：连接OM，BM，
∵AB是⊙O的直径，PM与⊙O相切于点M，
∴∠AMB＝∠AMO+∠OMB＝90°，OM⊥PM，
∴∠OMP＝∠OMB+∠BMP＝90°，
∴∠AMO＝∠PMB，
在△AMO和△ANO中，
，
∴△AMO≌△ANO（SSS），
∴∠MAO＝∠NAO，∠AMO＝∠ANO，
在△AMP和△ANP中，
，
∴△AMP≌△ANP（SAS），
∴PM＝PN，∠AMP＝∠ANP，
∴∠AMP﹣∠AMO＝∠ANP﹣∠ANO，
∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴PN⊥ON，
∵ON是⊙O的半径，
∴PN是⊙O的切线，故选项B正确；
∵MP∥AN，
∴∠MPA＝∠NAP，
∴∠MAP＝∠MPA，
∴MA＝MP，
∴AM＝AN＝PM＝PN，
∴四边形ANPM是菱形，故选项A正确；
在△AMO和△PMB中，
，
∴△AMO≌△PMB（AAS），
∴MO＝MB，
∵MO＝BO，
∴MO＝MB＝OB，
∴△MOB是等边三角形，
∴∠MOB＝∠OMB＝60°，
∴∠OPM＝∠BMP＝90°﹣60°＝30°，
∴MB＝PB，
∴BP＝OMOP，
∵sin∠MOP，
∴sin60°，
∴MP，
∴，
∴，故选项C正确；
∵AO＝BO＝BP，
∴AP，
∴，故选项D错误．
故选：D．
9．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，则tan∠GFI的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】证明△BCE∽△FDE，可得，而△BCE与△FDE的面积比为，即得，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，在Rt△AFB中，有tan∠BFA，又∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，从而推导出tan∠GFI＝tan∠BFA．
【解答】解：∵ABCD都是正方形，
∴∠FDC＝90°＝∠BCD，
∵∠FED＝∠CEB，
∴△BCE∽△FDE，
∴，
∵△BCE与△FDE的面积比为，
∴（负值已舍），
设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，
∴AF＝AD+DF＝7t，
在Rt△AFB中，tan∠BFA，
由“青朱出入图”可知：∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，
∴tan∠GFI＝tan∠BFA．
故选：A．
10．点M是二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2图象的顶点，MN⊥x轴，且交一次函数y＝x﹣2的图象于点N，点P在y轴上，下列结论错误的是（　　）
A．点（﹣1，0）一定在二次函数图象上
B．
C．当MN最小时，MP+NP的最小值是3
D．若两个函数图象在第四象限有交点，则
【分析】依据题意，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣m）2+（m+1）2＝0，
∴点（﹣1，0）一定在二次函数图象上，故选项A正确；
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴该函数的顶点坐标为（m，（m+1）2），
∴点M的坐标为（m，（m+1）2），
∵点N在y＝x﹣2上，MN⊥x轴，
∴点N的坐标为（m，m﹣2），
∴，
故选项B正确；
∴当MN最小时，，此时，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
∵点P在y轴上，点M，N在y轴的左侧，
M 关于y轴对称点为M′，则直线M′N与y轴的交点即为点P，此时MP+NP的值最小，
∴，
∴MP+NP的最小值是，选项C错误；
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝m，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+（m+1）2＝2m+1，
∴该函数图象与y轴交于点（0，2m+1），
一次函数y＝x﹣2与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（2，0），
将（0，﹣2）代入y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，得﹣（0﹣m）2+（m+1）2＝﹣2，解得：，
将（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，得﹣（2﹣m）2+（m+1）2＝0，解得：，
∵两函数图象在第四象限有交点，
∴，
故选项D正确；
故选：C．
二、填空题：（每小题3分，共18分.）
11．分解因式m3+4m2+4m＝　m（m+2）2　．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式m，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m3+4m2+4m，
＝m（m2+4m+4），
＝m（m+2）2．
12．当x＝1时，整式ax3+bx﹣2的值为2025，则当x＝-1时，整式ax3+bx-2的值是　﹣2029　．
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝1时，ax3+bx﹣2＝a+b﹣2＝2025，
∴a+b＝2027，
∴当x＝﹣1时，ax3+bx﹣2＝﹣a﹣b﹣2＝﹣（a+b）﹣2＝﹣2027﹣2＝﹣2029．
故答案为：﹣2029．
13．如图，在正五边形ABCDE中，EM⊥BC于点M，连接AC，交EM于点N，则∠ANE的度数为 　54°　．
【分析】根据正五边形的对称性，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：∵EM⊥BC，
∴∠CME＝90°，
∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABC108°，
∴∠BCA＝∠BAC36°，
∴∠ANE＝∠CNM＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54°．
14．如图所示为一直角三角形ABC，AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为　16　．
【分析】通过题干的尺规作图得出AG是∠CAB的角平分线，直线MN是AG的垂直平分线，再通过ASA证明△AZP≌△AZQ，则AP＝AQ＝PG＝GQ，所以四边形APGQ是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答．
【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，
∴，
如图：
根据作图可知AG是∠CAB的角平分线，
∴，
根据作图可知直线MN是AG的垂直平分线，
∴AG⊥PQ，AP＝PG，AQ＝GQ，
∴∠AZP＝∠AZQ＝90°，
∵ZA＝ZA，∠CAG＝∠BAG，
∴△AZP≌△AZQ，
∴AP＝AQ，
即AP＝AQ＝PG＝GQ，
∴四边形APGQ是菱形，
则Rt△PCG中，∠CPG＝∠PAG+∠PGA＝60°，
即∠CGP＝30°，
∴，
∵AC＝6，
∴，
∴AP＝4，
∴4×4＝16，
即菱形APGQ的周长是16，
故答案为：16．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　　．
【分析】过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设B′G＝DG＝x，CG＝CD﹣DG＝5﹣x，利用勾股定理求出x的值，证明△ADG∽△AB′F，求出B′F，然后证明△CDF≌△AB′F（AAS），得DF＝B′F，再由△C′EF∽△CDF，得，求出C′E，EF，证明△ADM∽△AEC′，对应边成比例即可求出DM的长．
【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠B′AC＝∠DCA，
∴GA＝GC，
由翻折可知：B′A＝BA＝5，B′C＝BC＝B′C′＝3，
∴B′A＝CD＝5，
∴B′G＝DG，
设B′G＝DG＝x，
∴CG＝CD﹣DG＝5﹣x，
在Rt△B′CG中，根据勾股定理得：
B′G2+B′C2＝CG2，
∴x2+32＝（5﹣x）2，
∴x，
∴B′G＝DG＝x，
∴AG＝CG＝5﹣x，
∵∠DAG＝∠B′AF，∠ADG＝∠AB′F＝90°，
∴△ADG∽△AB′F，
∴，
∴，
∴B′F，
∴C′F＝C′B′﹣B′F＝3，CF＝CB′+B′F＝3，
∵∠CFD＝∠AFB′，∠CDF＝∠AB′F＝90°，CD＝AB′，
∴△CDF≌△AB′F（AAS），
∴DF＝B′F，
∵C′E⊥AD，CD⊥AD，
∴C′E∥CD，
∴△C′EF∽△CDF，
∴，
∴，
∴C′E，EF，
∴DE＝DF+EF，
∴AE＝AD+DE＝3，
∵C′E∥DM，
∴△ADM∽△AEC′，
∴，
∴，
∴DM．
故答案为：．
16．如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 　9　，AB＝ 　　．
【分析】连接AD，作CL⊥ED于点L，由AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C，得∠ACF＝∠ADC＝90°，则∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD，可证明∠FCD＝∠FBC，进而证明△FCD∽△FBC，得，由CF＝3，DF＝1，求得BF＝9，则BD＝8，由BDDE＝8，求得DE＝3，则BE＝5，EF＝4，求得CE，由S△CEF4CL3，求得CL，则EL，所以DL，求得DC，再证明△BAE∽△CDE，得，求得AB，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD，作CL⊥ED于点L，则∠CLE＝∠CLD＝90°，
∵AC是⊙O的直径，CF与⊙O相切于点C，
∴CF⊥AC，
∴∠ACF＝∠ADC＝90°，
∴∠FCD＝∠DAC＝90°﹣∠ACD，
∵∠FBC＝∠DAC，
∴∠FCD＝∠FBC，
∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FBC，
∴，
∵CF＝3，DF＝1，
∴BF9，
∴BD＝BF﹣DF＝9﹣1＝8，
∵BDDE＝8，
∴DE＝3，
∴BE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5，EF＝DE+DF＝3+1＝4，
∴CE，
∵S△CEF4CL3，
∴CL，
∴EL，
∴DL＝DE﹣EL＝3，
∴DC，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∴AB，
故答案为：9，．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
【分析】（1）先算零指数幂、负整数指数幂和乘方，再进行计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）
＝﹣4+（）×8+1
＝﹣4﹣4+1
＝﹣7；
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
则3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
则x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2．
18．（6分）某校决定举行“思政大讲堂”活动，学校给出了四个思政主题供参与活动的老师选择，分别是A红色文化与精神传承、B承师之魂，扬师之光、C大国重器与大国崛起、D中国式现代化．
（1）张老师从上述四个选项中任选一个作为自己的分享主题，则他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为 　　；
（2）李老师也参与了该项活动，请利用画树状图法或者列表法计算李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率是多少（每个条件在列表或画图时用前边对应的字母表示）．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择“B承师之魂，扬师之光”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择“B承师之魂，扬师之光”的结果有1种，
∴他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率为．
19．（8分）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母．
（1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
（2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得．
【分析】（1）作出△ABC的外心P，连接PB，PC即可；
（2）取格点E，F，连接EF交AC于点Q，点Q即为所求（利用相似三角形的性质证明AQ：QC＝CF：AE＝2：1）．
【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求；
（2）如图2中，点Q即为所求．
20．（8分）某运动鞋专卖店在销售中发现，一款运动鞋每双的进价为150元，当销售单价为200元时，每天可售出40双．店庆期间，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每双运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双，设每双运动鞋销售单价降价x元（x＞0）．
（1）每天能售出 　（40+5x）　双运动鞋；（用含x的代数式表示）
（2）当每双运动鞋降价多少元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元？
【分析】（1）利用日销售量＝40+5×每双运动鞋销售单价降价的钱数，可用含x的代数式表示出日销售；
（2）利用总利润＝每双的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合“要最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润”，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：每天能售出（40+5x）双运动鞋．
故答案为：（40+5x）；
（2）根据题意得：（200﹣x﹣150）（40+5x）＝3360，
整理得：x2﹣42x+272＝0，
解得：x1＝8，x2＝34，
∵要最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润，
∴x＝34．
答：当每双运动鞋降价34元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元．
21．（10分）根据以下材料，完成探究任务．
利用相似三角形测高
发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？
分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得OF＝5m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，还测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m．
解决问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度．
【分析】连接CD，由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，再根据垂直定义可得∠ABO＝∠DOE＝90°，然后证明A字模型相似△ABE∽△DOE，△ABF∽△COF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：连接CD，
由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，
∴∠ABO＝∠DOE＝90°，
∵∠BEA＝∠OED，
∴△ABE∽△DOE，
∴，
即，
∴．
∵∠CFO＝∠AFB，
∴△ABF∽△COF，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：OB＝2，
∴ABOB+12+1（m），
∴围墙AB的高度为m．
22．（10分）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△BOE的面积；
（3）直接写出不等式kx+6的解集．
【分析】（1）用含k代数式表示出A，B两点的坐标，然后根据OB＝2OA即可求出k，然后再将点C的横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入即可求出m；
（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点E的坐标，然后即可计算△BOE的面积；
（3）根据点E和点C的横坐标，结合图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方时对应的x范围即可．
【解答】解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得，
故，B（0，6），
∵OB＝2OA∴，
∴k＝2，
∴一次函数解析式为：y＝2x+6，
∵OD＝2，
∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10，
即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得，
∴m＝20，
∴反比例函数的解析式为：；
故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：．
（2）将一次函数与反比例函数联立得，
解得或，
故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，；
（3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10），
∵，
∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，求该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值；
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，求a的取值范围．
【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；
（3）当a＞0时，x＝﹣1，y＝﹣3a＜0；x＝3，y＝5a﹣4＞0；当a＜0时，x＝﹣1，y＝﹣3a＞0；x＝3，y＝5a﹣4＜0．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入1＝4a﹣2b+c得：1＝4a+2+c，
∴a，
∴顶点的纵坐标cc+11，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b，
∵（）2＝a+b﹣20，
∴a+b≥2，当a＝b时取等号，
∴c+11＝21＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1；
（3）由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且2，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且3，
解得a；
∴a＜0或a时满足题意．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在直径AB上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，在PC右侧作⊙O的切线PT，切点为T，连接PO．
（1）如图1，当点C与点A重合时，连接BT．
①求证：PA＝PT；
②直接写出此时PO与BT的位置关系（不说理由）；
（2）设线段OP与⊙O交于点Q，如图2，当时，求劣弧的长；
（3）直接写出PT长的最小值．
【分析】（1）①根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线，根据切线的性质得到PA＝PT；
②连接OT，如图，根据切线的性质得到OT⊥PT，根据全等三角形的性质得到∠POA＝∠POT，求得∠OTB＝∠OBT，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）连接OT，如图，根据勾股定理得到PT＝4，根据三角函数的定义得到∠POT＝45°，于是得到劣弧的长π；
（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，连接AD，BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质得到CD2＝AC BC，设AC＝x，则BC＝8﹣x，得到CD，连接DT，根据相似三角形的性质得到PT2＝PD PE，设PT2＝y，求得y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25，根据二次函数的性质得到结论．
【解答】（1）①证明：∵AB是⊙O的直径，PA⊥AB，
∴PA是⊙O的切线，
∵PT与⊙O相切于点T，
∴PA＝PT；
②解：PO∥BT，
证明：连接OT，如图，
∵PT与⊙O相切于点T，
∴OT⊥PT，
在Rt△AOP和Rt△TOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△TOP （HL），
∴∠POA＝∠POT，
∵OT＝OB，
∴∠OTB＝∠OBT，
∵∠AOT＝∠OTB+∠OBT，
∴∠POT＝∠OTB，
∴PO∥BT；
（2）解：连接OT，如图，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝OT＝4，
∵AC＝4，
∴OC＝OA﹣AC，
在Rt△OCP中，OC2+PC2＝OP2
在Rt△OTP中，OT2+PT2＝OP2
∴OC2+PC2＝OT2+PT2，
∴（）2+52＝42+PT2，
解得 PT＝4，
∴tan∠POT1，
∴∠POT＝45°，
∴劣弧的长π；
（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，连接AD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝90°，
∴∠A+∠ADC＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ADC＝∠B，
∴△ADC∽△BDC，
∴，
∴CD2＝AC BC，
设AC＝x，则BC＝8﹣x，
∴CD，
连接DT，
∵PT∥BD，
∴∠PTD＝∠TDB，
∵∠TDB＝∠E，
∴∠E＝∠PTD，
∵∠TPD＝∠EPT，
∴△PTD∽△PET，
∴，
∴PT2＝PD PE，
设PT2＝y，
∵PC＝5，
∴y＝[5][5]，
∴y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25，
∴y最小＝9，
即PT长的最小值为3．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学模拟预测卷
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．2025年3月底，大家预测《哪吒之魔童闹海》的最终票房可能超过 160 亿元，有机会冲击全球前三。其中“160亿”用科学记数法表示为（　　）
A．16×109 B．1.6×109 C．1.6×1010 D．0.16×1011
2．唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4
4．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（　　）
A．方差为0 B．众数为75 C．中位数为77.5 D．平均数为75
5．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°13′，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．115°23′ B．115°13′ C．105°13′ D．125°13′
7．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，PM与⊙O相切于点M，点N在⊙O上，且AM＝AN，连接PN，若PM∥AN，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形AMPN是菱形 B．PN是⊙O的切线
C． D．
9．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，则tan∠GFI的值为（　　）
A． B． C． D．
10．点M是二次函数y＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2图象的顶点，MN⊥x轴，且交一次函数y＝x﹣2的图象于点N，点P在y轴上，下列结论错误的是（　　）
A．点（﹣1，0）一定在二次函数图象上 B．
C．当MN最小时，MP+NP的最小值是3 D．若两个函数图象在第四象限有交点，则
二、填空题：（每小题3分，共18分.）
11．分解因式m3+4m2+4m＝　 　．
12．当x＝1时，整式ax3+bx﹣2的值为2025，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2的值是　 　．
13．如图，在正五边形ABCDE中，EM⊥BC于点M，连接AC，交EM于点N，则∠ANE的度数为 　 　．
14．如图所示为一直角三角形ABC，AC⊥BC，AB＝12，∠B＝30°，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为 　 　．
16．如图，△ABC内接于⊙O，直径AC交弦BD于点E，延长BD交过点C的切线于点F，连接CD．若，CF＝3，DF＝1，则BF＝ 　 　，AB＝ 　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.）
17．（6分）（1）计算：；（2）解方程：3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．
18．（6分）某校决定举行“思政大讲堂”活动，学校给出了四个思政主题供参与活动的老师选择，分别是A红色文化与精神传承、B承师之魂，扬师之光、C大国重器与大国崛起、D中国式现代化．
（1）张老师从上述四个选项中任选一个作为自己的分享主题，则他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为 　 　；
（2）李老师也参与了该项活动，请利用画树状图法或者列表法计算李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率是多少（每个条件在列表或画图时用前边对应的字母表示）．
19．（8分）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母．
（1）如图1，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
（2）如图2，在线段AC上找一点Q，使得．
20．（8分）某运动鞋专卖店在销售中发现，一款运动鞋每双的进价为150元，当销售单价为200元时，每天可售出40双．店庆期间，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每双运动鞋每降价1元，平均每天可多售出5双，设每双运动鞋销售单价降价x元（x＞0）．
（1）每天能售出 　 　双运动鞋；（用含x的代数式表示）
（2）当每双运动鞋降价多少元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元？
21．（10分）根据以下材料，完成探究任务．
利用相似三角形测高
发现、提出问题 周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？
分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得OF＝5m；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得OE＝0.8m．此外，还测得：窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度OD＝1m．
解决问题 请利用上述数据，求出围墙AB的高度．
22．（10分）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△BOE的面积；
（3）直接写出不等式kx+6的解集．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，求该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值；
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，当﹣1＜m＜3时，求a的取值范围．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在直径AB上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，在PC右侧作⊙O的切线PT，切点为T，连接PO．
（1）如图1，当点C与点A重合时，连接BT．
①求证：PA＝PT；
②直接写出此时PO与BT的位置关系（不说理由）；
（2）设线段OP与⊙O交于点Q，如图2，当时，求劣弧的长；
（3）直接写出PT长的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
参考答案
一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B A B C D A C
二、填空题：（每小题3分，共18分.）
11．m（m+2）2．
12．﹣2029．
13．54°．
14．16．
15．．
16．9，．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.）
17．解：（1）
＝﹣4+（）×8+1
＝﹣4﹣4+1
＝﹣7；（3分）
（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
则3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
则x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2．（3分）
18．解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中他选择“B承师之魂，扬师之光”的结果有1种，
∴他选择“B承师之魂，扬师之光”的概率为．
故答案为：．（3分）
（2）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴李老师和张老师两人一个选择“A红色文化与精神传承”，另一个选择“C大国重器与大国崛起”的概率为．（3分）
19．解：（1）如图1中，点P即为所求；（4分）
（2）如图2中，点Q即为所求．（4分）
20．解：（1）根据题意得：每天能售出（40+5x）双运动鞋．
故答案为：（40+5x）；（3分）
（2）根据题意得：（200﹣x﹣150）（40+5x）＝3360，
整理得：x2﹣42x+272＝0，
解得：x1＝8，x2＝34，
∵要最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润，
∴x＝34．
答：当每双运动鞋降价34元时，该店销售这种运动鞋平均每天盈利3360元．（5分）
21．解：连接CD，
由题意得：AB⊥BF，DO⊥BF，
∴∠ABO＝∠DOE＝90°，
∵∠BEA＝∠OED，
∴△ABE∽△DOE，
∴，
即，
∴．
∵∠CFO＝∠AFB，
∴△ABF∽△COF，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：OB＝2，
∴ABOB+12+1（m），
∴围墙AB的高度为m．（10分）
22．解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得，
故，B（0，6），
∵OB＝2OA∴，
∴k＝2，
∴一次函数解析式为：y＝2x+6，
∵OD＝2，
∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10，
即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得，
∴m＝20，
∴反比例函数的解析式为：；
故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：．（3分）
（2）将一次函数与反比例函数联立得，
解得或，
故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，；（4分）
（3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10），
∵，
∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2．（3分）
23．解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；（3分）
（2）把b＝﹣1代入1＝4a﹣2b+c得：1＝4a+2+c，
∴a，
∴顶点的纵坐标cc+11，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b，
∵（）2＝a+b﹣20，
∴a+b≥2，当a＝b时取等号，
∴c+11＝21＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1；（4分）
（3）由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且2，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且3，
解得a；
∴a＜0或a时满足题意．（5分）
24．（1）①证明：∵AB是⊙O的直径，PA⊥AB，
∴PA是⊙O的切线，
∵PT与⊙O相切于点T，
∴PA＝PT；（2分）
②解：PO∥BT，
证明：连接OT，如图，
∵PT与⊙O相切于点T，
∴OT⊥PT，
在Rt△AOP和Rt△TOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△TOP （HL），
∴∠POA＝∠POT，
∵OT＝OB，
∴∠OTB＝∠OBT，
∵∠AOT＝∠OTB+∠OBT，
∴∠POT＝∠OTB，
∴PO∥BT；（2分）
（2）解：连接OT，如图，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝OT＝4，
∵AC＝4，
∴OC＝OA﹣AC，
在Rt△OCP中，OC2+PC2＝OP2
在Rt△OTP中，OT2+PT2＝OP2
∴OC2+PC2＝OT2+PT2，
∴（）2+52＝42+PT2，
解得 PT＝4，
∴tan∠POT1，
∴∠POT＝45°，
∴劣弧的长π；（4分）
（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，连接AD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝90°，
∴∠A+∠ADC＝∠A+∠B＝90°，
∴∠ADC＝∠B，
∴△ADC∽△BDC，
∴，
∴CD2＝AC BC，
设AC＝x，则BC＝8﹣x，
∴CD，
连接DT，
∵PT∥BD，
∴∠PTD＝∠TDB，
∵∠TDB＝∠E，
∴∠E＝∠PTD，
∵∠TPD＝∠EPT，
∴△PTD∽△PET，
∴，
∴PT2＝PD PE，
设PT2＝y，
∵PC＝5，
∴y＝[5][5]，
∴y＝25﹣x（8﹣x）＝x2﹣8x+25，
∴y最小＝9，
即PT长的最小值为3．（4分）

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