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2024-2025 学年辽宁省沈阳七中八年级（下）月考数学试卷（3 月份）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 < ，则下列各式中一定成立的是( )
A. + 3 > + 3 B. 3 > 3 C. < 3 3 D. 3 < 3
2.如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是( )
A. < 1 ≥ 1 > 3 B. > 3
B. C. ≤ 1 D. ≤ 1 > 3 < 3
3.用反证法证明“在△ 中， = ，则∠ < 90°”时，应先假设( )
A. ∠ ≠ 90° B. ≠ C. ∠ > 90° D. ∠ ≥ 90°
4.如图，在△ 中， = = 6，∠ = 120°，则 边上的高 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.如图，在△ 中，点 为 上一点， = = ，∠ = 50°，则∠ 的度数为( )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
6.如图，将△ 沿 方向平移 1 个单位长度得到△ ，已知 = 3，则 的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.如图，在平面直角坐标系中，平移△ 至△ 1 1 1的位置.若顶点 ( 3,4)的对应点是 1(2,5)，则点 (
4,2)的对应点 1的坐标是( )
A. (1,2)
B. (1,3)
C. ( 4,3)
D. (2,2)
8.如图，在△ 1中，分别以顶点 ， 为圆心，大于2 的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，连接 ，
分别与边 ， 相交于点 ， .若 = 4，△ 的周长为 17，则△ 的周长为( )
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A. 20
B. 21
C. 25
D. 30
9.如图是一次函数 = + 的图象，则关于 的不等式 + < 0 的解集为( )
A. > 1
B. < 1
C. > 2
D. < 2
10.如图，△ 的高 、 相交于点 ， = ，连接 并延长交 于点 ，图中全等三角形共有( )
A. 4 对
B. 5 对
C. 6 对
D. 7 对
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11.在平面直角坐标系中，点 (3, 1)关于原点对称的点坐标是______．
12.如图，将△ 绕点 逆时针旋转一定角度后得到△ ，点 在 上，
∠ = 40°，则∠ 的大小为______．
13.某种商品的进价为 400 元，出售时标价为 500 元，商店准备打折出售，但要保持利
润率不低于 10%，则至多可以打______折．
14.如图，在△ 中， = ，∠ = 90°， 是△ 的角平分线， ⊥ ，垂
足为 ，若 = 5 ，则 =______ ．
15.如图，△ 中， = = 8，∠ 与∠ 的角平分线交于点 ， // 交
于 ， = 3，则 的长为______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 8 分)
解不等式：
(1)4 + 5 ≥ 6 3；
(2) 3 52 1 > 3 ．
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17.(本小题 10 分)
解不等式组：
(1) 2 + 1 > 13 ≤ 1 ；
3 5 < + 1
(2) 3 4 ≤ 2 1 ．6 3
18.(本小题 8 分)
如图，在平面直角坐标系中，△ 的顶点分别为点 (1,3)， (0,1)， (3,2)．
(1)请在图中画出将△ 向左平移 4 个单位长度得到的△ 1 1 1；
(2)请在图中画出将△ 绕着原点顺时针旋转 90°得到的△ 2 2 2．
19.(本小题 8 分)
如图，在△ 中， = 3 2， 为 上一点， = = 3，在 上我取 = ，连接 并延长交
于点 ．
(1)求证：△ 是等腰直角三角形；
(2)若∠ = 15°，求 的长．
20.(本小题 8 分)
公司提供两种数据分析服务包：标准版( 型)和专业版( 型).销售一个标准版利润为 100 元，专业
版利润为 150 元.公司计划一次推出两种服务包共 100 个，由于某些条件限制，其中专业版的推出量不能超
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过标准版的 3 倍.设推出标准版服务包 个，总利润为 元．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)如何分配服务包数量才能使总利润最大？总利润最大是多少？
21.(本小题 8 分)
【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
(1)如图，在 △ 中，∠ = 90°， = 3， = 2.求证：△ 是“奇异三角形”；
(2)已知，等腰△ 是“奇异三角形”， = = 20，求底边 的长. (结果保留根号)
22.(本小题 13 分)
2 + 3 + 3( ≥ )
对于 ， 定义一种新运算 ，规定： ( , ) = 4 3 + 1( < )，即：当 ≥ 时， ( , ) = 2 + 3 + 3；
当 < 时， ( , ) = 4 3 + 1，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
(1) (2,1) = ______； (2,3) = ______；
(2 , 2 + 3) < 4
(2)解不等式组 ( + 3, ) > 1 ；
(3)若关于 的不等式 ( + , + 1) < 10 的最大整数解为 3 + 5，则 = ______．
23.(本小题 12 分)
【提出问题】
(1)在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图 1(1)，线段 = 6 3，将线段 向右下方的某
个方向平移得到线段 (点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 )，连接 、 .点 是 的中点，连接 .
现让同学根据已知背景补充条件，并对相关线段关系或角的关系进行思考探究，然后给出计算或证明过程．
【问题思考】
①“希望小组”给出的补充条件为：延长 交 延长线于点 ，可得出 = ．
下面是“希望小组”给出的证明过程：
证明：由平移的性质可知： = ， // ，
∴ ∠1 = ∠ ，∠ = ∠2，
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又∵点 是 的中点，
∴ = ，
∴△ ≌△ ，
∴ = = ．
②“兴趣小组”给出的补充条件为：将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，当点 落到射线 上时停止(如
图 2)，最终得出∠ = ∠ ．
请完成“兴趣小组”的证明过程；
③“智慧小组”受到“兴趣小组”的启发，在“兴趣小组”补充的条件基础上，补充：若 = 4 7，当
△ 是等边三角形时，可求出 的长．
请根据“智慧小组”补充的条件直接写出 的长为______．
【问题拓展】
(2)如图 3，若 = = 2 2， ⊥ ， 是平面内一点，将线段 沿 方向平移 的长度得到线段 ，
连接 、 ，点 是 的中点，将四边形 沿 翻折得到四边形 ，连接 ，直接写出线段
长的取值范围：______．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.( 3,1)
12.70°
13.8.8
14.5 + 5 2
15.12 55
16.解：(1)移项，得：4 6 ≥ 3 5，
合并得 2 ≥ 8，
解得： ≤ 4，
∴不等式的解集为： ≤ 4；
(2) 3 52 1 > 3 ，
去分母得：3( 3) 6 > 2( 5)，
去括号得：3 9 6 > 2 10，
移项得：3 2 > 15 10，
解得： > 5，
∴不等式的解集为： > 5．
17. (1) 2 + 1 > 1①解： ，3 ≤ 1②
解不等式①，得 > 2，
解不等式②，得 ≥ 2，
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则不等式组的解集为 ≥ 2；
3 5 < + 1①
(2) 3 4 ≤ 2 1 ，6 3 ②
由①得： < 3，
由②得： ≥ 2，
则不等式组的解集为 2 ≤ < 3．
18.解：(1)如图，△ 1 1 1即为所求；
(2)如图，△ 2 2 2即为所求．
19.(1)证明：∵ = 3 2， = = 3，
∴ 2 = (3 2)2 = 18， 2 = 2 = 9，
∴ 2 = 2 + 2，
∴ ∠ = 90°，
∴△ 是等腰直角三角形；
(2)解：由(1)得：△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = ∠ = 45°，∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
又∵ = ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
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∴ ∠ = ∠ = ∠ ∠ = 45° 15° = 30°，
∴ = 12 ，
在 △ 中由勾股定理得： 2 + 2 = 2即32 + 2 = (2 )2，
∴ = 3，
∴ = + = 3 + 3，
∴ = 12 =
3+ 3
2 ．
20.解：(1)设标准版服务包数量为 个，则专业版数量为(100 )个．总利润由标准版和专业版的利润组成，
即： = 100 + 150(100 )，
化简得： = 50 + 15000，
根据条件，专业版数量不超过标准版的 3 倍，即 100 ≤ 3 ，
解得 ≥ 25．
同时 需满足 0 ≤ ≤ 100，
结合限制条件， 的取值范围为 25 ≤ ≤ 100．
(2)利润函数 = 50 + 15000 的斜率为负，
因此当 取最小值时，总利润最大．
由 ≥ 25，当 = 25 时，专业版数量为 100 25 = 75．
此时最大利润为： = 50 × 25 + 15000 = 13750．
21.(1)证明：如图， 为三角形 底边 上的中线，
则 = 12 = 1，
又∵ = 3，
∴ = 12 + ( 3)2 = 2 = ，
∴△ 是“奇异三角形”；
(2)解：分两种情况：如图，当腰上的中线 = 时，则 = ，过 作 ⊥ 于
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∵ = = 20，
∴ = 20 1 1， = 2 = 4 = 5，
∴ = 10 + 5 = 15，
∴ △ 中， 2 = 2 2 = 375，
∴ △ 中， = 2 + 2 = 375 + 225 = 600 = 10 6；
如图，当底边上的中线 = 时，则 ⊥ ，且 = 2 ，
设 = ，则 2 + (2 )2 = 202，
∴ 2 = 80，
又∵ > 0，
∴ = 80 = 4 5，
∴ = 2 = 8 5，
综上所述，底边 的长为 10 6或 8 5．
22.解：(1)由题意可知 (2,1) = 2 × 2 + 3 × 1 + 3 = 10；
(2,3) = 4 × 2 3 × 3 + 1 = 0，
故答案为：10；0；
2 + 3 + 3( ≥ )
(2) ∵ ( , ) = 4 3 + 1( < )，
(2 , 2 + 3) < 4 4 × 2 3(2 + 3) + 1 < 4
∴不等式组 ( + 3, ) > 1 化为 2( + 3) + 3 + 3 > 1 ，
解得 2 < < 6；
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(3)不等式 ( + , + 1) < 10 化为 2( + ) + 3( + 1) + 3 < 10 ，
2 + 2 + 3 + 3 3 + 3 < 10 ，
5 < 5 ，
< ，
∵关于 的不等式 ( + , + 1) < 10 的最大整数解为 3 + 5，
∴ > 3 + 5，
5
解得 < 2，
∴ 3 + 5 < 52，
∵ 3 + 5 为最大的整数，
∴ 3 + 5 = 3，
∴ = 83，
8
故答案为： 3．
23.（1）②证明：如图 1，
作 ⊥ ，交 的延长线于 ，作 ⊥ 于 ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
由平移的性质可知： = ， / / ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵点 是 的中点，
∴ = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
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∵将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
∴ = ，
∴ △ △ ( )，
∴ ∠ = ∠ ；
③解：如图 2，
当△ 是锐角三角形时，
延长 ，交 的延长线于 ，作 ⊥ 于 ，
由上知，
= ，∠ = ∠ ， = = 6 3，
∵△ 是等边三角形，
∴ = = ，∠ = 60°，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 12∠ = 30°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 1 32 = 3 3， = ，2 = 9
∴ = 2 2 = (2 7)2 (3 3)2 = 1，
∴ = + = 10，
∴ = = 10，
∴ = 3 = 10 3，
∴ = = 12 3 10 3 = 2 3，
如图 3，
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当△ 是钝角三角形时，
由上知， = 9， = 1，
∴ = = 8，
∴ = 3 = 8 3，
∴ = = 12 3 8 3 = 4 3，
故答案为：2 3或 4 3；
(2)解：如图 4，
延长 ，交 的延长线于 ，连接 ，
由对称性可知，
在直线 上，
由上知，
= = = 2 2，
∴ = = 4 2，
∵ = = 2 2， ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ = 2 = 4，
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∵ ≤ ≤ + ，
∴ 4 2 4 ≤ ≤ 4 2 + 4，
故答案为：4 2 4 ≤ ≤ 4 2 + 4．
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