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2025 届初三年级零模联考试卷
（北京市八一教育集团&北京市中关村中学）
数学学科
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2分）
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是
A. B. C. D.
2.如图，直线 和 相交于点 ， ⊥ ，若∠ = 32 ，则∠ 的大小为
A.16 B. 32
C. 58 D. 68
3.实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A. > 1 B. > 0 C. < D. | | > | |
4.已知关于 的方程 2 4 + = 0有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
A. < 4 B. ≤ 4 C. > 4 D. = 4
5.在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小
球，其中取到一个红球和一个黄球的概率为
2 5 1
A. B. C. D. 1
3 6 2
6. 2025 年春节档电影票房表现非常出色，总票房高达到 9.5 × 109 元，其中《哪吒之魔童闹海》以压倒
性的优势领跑春节档，票房占比约 50%，则《哪吒之魔童闹海》的票房数用科学记数法表示应为
A. 9.5 × 109 B. 0.95 × 1010 C. 4.75 × 109 D. 0.475 × 1010
7.小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，△ ，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种
判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：(1)作射线 ′ ；
(2)以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
(3)以点 ′为圆心， 长为半径画弧，交 ′ 于点 ；
(4)以点 为圆心， 长为半径画弧，在 ′ 的上方交(3)中所画弧于点 ；
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(5)过点 作射线 ′ ；
(6)以点 ′为圆心， 长为半径画弧，交 ′ 于点 ′；
(7)以点 ′为圆心， 长为半径画弧，交 ′ 于点 ′；
(8)连接 ′ ′．
第二步：把作出的△ ′ ′ ′剪下来，放到△ 上．
第三步：观察发现△ ′ ′ ′和△ 重合．
∴△ ≌△ ′ ′ ′．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究
A. 基本事实 B. 基本事实 C. 基本事实 D. 定理
8.如图，在△ 中，∠ = 90°， ⊥ 于点 ，设 = ， = ， = ，下面三个结论：
① 2 = ；② + ≥ 2 ；③ 若 > ，则 > ．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2分）
9.若√ 5 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
10.分解因式： 2 4 = ．
1 1
11.方程 + = 0 的解为 ． 2 +1

12.在平面直角坐标系 中，若函数 = ( ≠ 0) 的图象经过点( 1, 2)和( 2, 2)，则 1 + 2的值
是 ．
13.某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从600名学生家长中随机抽取150名进行问卷调查，
获得了他们对课后服务的评分数据(评分记为 )，数据整理如下：
家长评分 6 0 ≤ < 70 70 ≤ < 80 80 ≤ < 90 90 ≤ ≤ 100
人数 15 45 60 30
根据以上数据，估计这600名学生家长评分不低于80分的有 名．
14.如右图， ， ， 是⊙ 上的点， 平分 于点 ，点 在优弧 上，
连接 ， . 若∠ = 30°， = 2√ 3，则⊙ 的半径为 ．
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3
15.如右图，在 中， 是 上一点， = ， 的延长线与 的
2
延长线相交于点 ，若 = 6，则 的长为 ．
16. 甲、乙两个商家销售某款电子产品，原价都是100元/件．
甲商家的促销方式为：
购买件数(单位：件) 1～5 6～10 11～15 16～20 20以上
每件价格(单位：元) 95 90 85 80 75
乙商家的促销方式为：
购买件数(单位：件) 1～8 9～16 17～24 24以上
每件价格(单位：元) 90 85 80 75
若 公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为 元；
若 公司分三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件，则购买的总费用最少为 元．
三、解答题（本题共 68 分，第 17～19题每小题 5 分，第 20～21题每小题 6 分，第 22～23
题每小题 5 分，第 24题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6分，第 27～28 题每小题 7 分）
1 1
17.计算：( ) √ 12 + 4sin60 + | 3|
3
2( 2) < 3,
18.解不等式组：{ 3 2
> .
4
3( +2 ) 3
19.已知 + 2 = 0，求代数式 2 的值．
2+2 +
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20. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、AD 上，BE =DF，连接 CF，射线 AE 与 DC 的延长线
交于点 G．
（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；
2
（2）若 tan∠BAE = ，DG = 9，求线段 CE 的长.
3
21.无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用
无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶
园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．
22.在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)与 = + 3的图象交于点(1,1)．
(1)求 ， 的值；
(2)当 > 1时，对于 的每一个值，函数 = ( ≠ 0)的值既大于函数 = + 的值，也大于函数
= + 3的值，直接写出 的取值范围．
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23.为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共
有18名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位： )，数据整理如下：
. 18名学生的身高：
170，174，174，175，176，177，177，177，178，
178，179，179，179，179，181，182，183，186
. 18名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
178
(1)写出表中 ， 的值；
(2)该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中12名执旗手分为两组：
甲组学生的身高 175 177 177 178 178 181
乙组学生的身高 170 174 174 176 177 179
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 (填“甲组”或“乙组”)；
(3)该校运动会开幕式的升国旗环节需要6名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高
分别为175，177，178，178 . 在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组
成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
24. 如图，⊙ 是 的外接圆，AB 是⊙ 的直径，过 BC 上一点 D 作 DE⊥AB 于点 E，过点 C 作⊙ 的
切线交 ED 的延长线于点 F.
(1) 求证：∠DCF=∠CDF ;
3
(2) 若 D 为 BC 的中点，⊙ 的半径为 5， ∠ = ,求 CF 的长.
5
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25.某实验室在10℃ 12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了
提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长
速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会
抑制幼苗的生长速度，并且在10℃ 12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不
变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示：
设营养素用量为 毫克(0 ≤ ≤ 1.0)，10℃温度下幼苗生长速度为 1毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为
2毫米/天．
0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0
1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31
2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23
(1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为________毫米/天；
(2)根据表中数据，发现 1， 2都可近似看作 的函数．在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对
应的点( , 2)，并用平滑曲线连接这些点；
(3)结合函数图象，回答下列问题：
①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，
该种幼苗生长速度最快(结果保留小数点后两位)；
②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均
不低于1.6毫米/天时，营养素用量 的取值范围
为________(结果保留小数点后两位)．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）当 a＝1 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知 M（x1，y1）和 N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于 3都有 y1>y2，求 a 的取值范围．
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27.在△ABC 中 AB=BC，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 （0 ＜ ＜180 ）得到线段 BD,连接 DA 并延长交
∠ABC 的平分线于点 E，连接 EC.
（1）如图 1, 若 = 90 ，得 DEB = °；
（2）如图 2，若 =120 ，
①判断△AEC 形状，并证明；
②过点 C 作 DB 平行线，过点 D 作 BC 平行线，两条平行线相交于点 F，
过点 F 作 FH⊥BE 于点 H.
依题意补全图形,用等式表示线段 BH 与 HE 的数量关系，并证明.
图 1 图 2
28.在平面直角坐标系 0 中，点 A(t,0)和点 B(t+2,0)确定线段 AB.过以 AB 为直径的圆外一点 P，引它的两
0
条切线，切点分别为 M、N.给出如下定义：若点 P 满足∠MPN ≥ 60 ,则称点 P 为线段 AB 的“合作点”.
(1) 若 t = 0.
① 在点 P1（-1，0），P2（0，3），P3（2，1）中，线段 AB 的“合作点”是 ；
② 在直线 = + 上存在点 P 为线段 AB 的“合作点”，b 的取值范围是 .
(2) 直线 = + 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D，若线段 CD 上的所有点都是线段 AB 的“合作点”，
直接写出 t 的取值范围.
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演算纸
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