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第八章《实数》全章知识点复习题
【题型1 无理数近似值的确定】
1.设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
2.已知在两个连续整数之间，则这两个连续整数的乘积为 ．
3.正方形的面积是13，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4.（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为的正方形，试求出这个正方形的边长．
（2）小强的手中有两块边长都为的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数吗 若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．

【题型2 方格中的无理数】
1.如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
(1)求图甲中阴影正方形的面积______；边长______（答案直接写在横线上即可）；
(2)请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
2.由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示．通过剪贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形．
(1)拼成的大正方形的边长为________；
(2)将剪贴示意图画在网格图中．
3.如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1个单位），连接，，，得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一点E，使，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．

4.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中找一格点，连接，使线段；
(2)在图②中画出一个，点、在格点上，且三边长均是有理数；
(3)在图③中画出一个正方形，点、、在格点上，且边长是无理数．
【题型3 算术平方根的实际应用】
1.母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．
2.勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米
3.小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳．
(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
(2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，）
4.一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为．
(1)求这块长方形空地的周长；
(2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？
【题型4 利用平方根的定义解方程】
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如的一元二次方程转化为一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得．
解决问题：
（1）解 程．
解：，
，或 ．
．
（2）解 程：的根为 ．
2.解方程3x2+27=0，得该方程的根是（　　）
A．x=±3 B．x=3 C．x=﹣3 D．无实数根
3.解方程：
4.解方程：．
【题型5 利用算术平方根的非负性求未知数的值】
1.若，则的值是（ ）
A．10 B． C．3 D．
2.如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
3.若，都是实数，且，则的值是（ ）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
4.当 时，有最小值．
【题型6 开立方运算】
1.已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是时，输出y的值是（ ）
A． B． C． D．
2.，则a的值一定是（　　）
A．1 B． C．1或 D．
3.已知，求x的值．
4.已知，，则 ．
【题型7 平方根和立方根的综合应用】
1.已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25 B．23 C．21 D．19
2.已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是．
(1)求a，b的值：
(2)求的算术平方根和立方根．
3.已知是的立方根，是的算术平方根，求的值．
4.已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8
(1)求，，的值；
(2)求的值
【题型8 立方根在实际生活中的应用】
1.请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．
2.运动会期间，体育场前方飘着大氢气球，其中一个氢气球的体积，求这个氢气球的半径．（提示： ）
3.某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径．
(1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到）
(2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？
4.为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长．
【题型9 估算无理数的大小】
1.观察表格中的数据：
由表格中的数据可知在哪两个数之间（ ）
A．在和之间 B．在和之间
C．在和之间 D．在和之间
2.若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
3.若4+的小数部分是a，7-的小数部分是b，则a+b的值是 ．
4.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ．
【题型10 估算的实际应用】
1.对于实数，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为( )
A． B． C． D．
2.斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示．在上述式子中，最接近的整数为 ．
3.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（，a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道，令，则第一次用“调日法”后得到是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则从开始，用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于的次数最少为（ ）
A．五 B．四 C．三 D．二
4.阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，
．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：
(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【题型11 实数的运算】
1.计算：
(1)； (2)．
2.（1）计算：． （2）
3.计算
(1)； (2)．
4.在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ．
【题型12 利用数轴化简】
1.如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：．
2.实数，在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（ ）

A． B． C． D．
3.实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化简的结果是 ．
4.已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：
．
【题型13 实数与数轴的关系】
1.如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和的对应点分别为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m．

(1)求线段的长．
(2)求m的值．
(3)若数轴上点D表示的数为x，且满足．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置．
2.已知是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差即小数部分．根据所获得的信息，解答下列问题．

(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)若的整数部分是，小数部分是．
①填空：__________；
②如图，若面积为的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点，求点表示的数．
3.在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足．
(1)直接写出a和b的值：并求点A与点B之间的距离；
(2)若点A与点C之间的距离用AC表示，点B与点C之间的距离用BC表示，请在数轴上找一点C，使得，求点C在数轴上表示的数c的值．
4.操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示．
(1)折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与__________表示的点重合．
(2)折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①4表示的点与__________表示的点重合；
②表示的点与__________表示的点重合．
(3)已知在数轴上点A表示的数是a，将点A沿数轴移动6个单位长度，此时点A表示的数和a互为相反数，求a的值．
参考答案
【题型1 无理数近似值的确定】
1.B
【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，即可得出答案，掌握正确的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴a在3和4之间，
故选：B．
2.6
【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义由得出，确定这两个相邻整数即可得出答案．
【详解】
即
两个连续整数的乘积为
故答案为：．
3.B
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，先利用算术平方根的应用求出正方形的边长，然后利用“夹逼法”估算即可．
【详解】解∶∵正方形的面积是13，
∴它的边长大小为，
∵，
∴，即，
∴估计正方形的边长大小在3与4之间，
故选∶B．
4.解：（1）边长；
（2）大的正方形的面积；
边长，边长不是整数，
，
．
【题型2 方格中的无理数】
1.（1）解：面积为，
边长为：；
（2）正方形如图所示，
面积为，
边长为：；
，
该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为．（答案不唯一）
2.（1）解：∵小正形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故答案为：．
（2）剪贴示意图如图所示：
剪贴后拼接示意图如图所示：
3.
【分析】先求出正方形的面积，再由算术平方根的定义求出，由点A与原点重合，可得E点表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积，
∴，
∴点A与原点重合，
∵，
∴E点表示的数是，
故答案为：．
4.（1）解∶如图①，点即为所求．
（2）如图②，即为所求．
（3）如图③，正方形即为所求．
【题型3 算术平方根的实际应用】
1.解：能，理由如下：
∵正方形贺卡的面积为，
∴正方形的边长为，
设长方形的信封的长为，宽为，依题得：
，
即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
2.解：设另一块木板的边长为x米，则 ，即 ，
∵，
∴，
答：另一块木板的边长为米．
3.（1）解：把米代入得：，即，
解得：（负值舍去），
答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒；
（2）解：由题意得：，
解得，
把代入得：，即，
解得（负值舍去），
∴秒，
答：该物品坠落地面用了大约2.8秒．
4.（1）解：设长方形空地的长为，则宽为，
由题意得：，
∴（负值已舍去），
∴，，
∴这块长方形空地的周长为米；
（2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，
由题意得：，
解得：（负值已舍去），
∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为，
∵，
∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行．
【题型4 利用平方根的定义解方程】
1. 0 2，
【分析】本题考查了利用平方根性质进行求解方程，熟练掌握平方根性质是解题关键．
（1）利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用开平方的方法解方程即可．
【详解】解：（1）解：，
，或 ．
0．
（2），
，
，
，或．
．
故答案为：；0；，．
2.D
【分析】移项化简后，方程为x2=﹣9，负数没有平方根，所以可以知道此方程根的情况．
【详解】解：移项化简后
得x2=﹣9，
∵负数没有平方根，
∴此方程没有实数根．
故选D．
3.解：∵
∴，
则，
∴，
解得x1=3，
4.解：
，
，
或．
【题型5 利用算术平方根的非负性求未知数的值】
1.A
【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键．
根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得：，
，
故选：A．
2.；
【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，且和互为相反数，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的平方根是：，
故答案为：．
3.B
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
∴，
∴，
∴．
故选：B
4.8
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据，当且仅当时取得等号可得答案．
【详解】解：∵，当且仅当时取得等号，
∴当，有最小值，
故答案为：8．
【题型6 开立方运算】
1.B
【分析】本题考查了立方根，无理数，先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是时，取立方根是，是有理数；
再把输入，的立方根是，是无理数，
所以输出是．
故选：B．
2.A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据可得出．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A
3.解：，
∴
4.
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右移动3位，开立方的结果的小数点就向右移动1位进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【题型7 平方根和立方根的综合应用】
1.B
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可．
【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
,
故选：B．
2.（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和的立方根是
∴，，
∴，；
（2）解：当，时，，
∴的算术平方根为，立方根为．
3.解：由题意得：，
解得：，
则，
．
4.（1）∵的平方是4，
∴，
∴或；
∵的算术平方根是4，
∴，
∴；
∵的立方根是8，
∴，
∴
（2），
当时，原式，
当时，原式．
【题型8 立方根在实际生活中的应用】
1.（1） ，
大正方体木块的棱长
（2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得：
1000-8x3=488
解得：，
截得的每个小正方体木块的棱长．
2.解：设这个氢气球的半径，
由题意得：，
解得：．
答：这个氢气球的半径是．
3.（1）当时，，根据题意，得，
答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续．
（2）当时，，
即，所以．
又因为，且，所以．
答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过．
4.解：设小正方体棱长为 ，则大正方体的棱长为 ，由题意得：
，
即，
，
，
，
答：这两个正方体的棱长分别为和．
【题型9 估算无理数的大小】
1.C
【分析】此题考查了估算无理数的大小，由可得，结合表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故选：．
2. 4
【分析】本题考查无理数估算，涉及算术平方根性质，估算出的范围是解决问题的关键．
【详解】解：，
，即，
的整数部分为，小数部分为，
，
，
故答案为：；．
3.1
【分析】估算无理数4+，7-的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴-4＜-＜-3，
∴7＜4+＜8，3＜7-＜4，
∴4+的小数部分是a=4+-7=-3，
7-的小数部分是b=7--3=4-，
∴a+b=-3+4-
=1．
故答案为：1
4.
【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值．
【详解】解：，，且，是整数，
，，
故答案为：，．
【题型10 估算的实际应用】
1.C
【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．
【详解】解：当x＝5时，，满足条件；
当x＝10时，，满足条件；
当x＝15时，，满足条件；
当x＝16时，，不满足条件；
∴满足条件的整数的最大值为15，
故答案为：C．
2.
【分析】运用无理数的估算直接解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴最接近的整数为，
故答案为：．
3.B
【分析】本题考查无理数的估算；根据定义逐次计算，直到满足近似分数与实际误差小于即可．
【详解】解：第一次用“调日法”后得到，不合题意；
第二次用“调日法”后得到，不合题意；
第三次用“调日法”后得到，不合题意；
第四次用“调日法”后得到，合题意；
即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于的次数为四次．
故选：B．
4.（1）解：，即
的整数部分为9．
的小数部分为．
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ，
∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，，
，
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，
即
【题型11 实数的运算】
1.（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2.解：（1）原式；
（2）原式
3.（1）解：
（2）解：
4.或
【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键．
按照程序的运算步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：若1次运算输出的值是时，
，
，
解得：或；
若2次运算输出的值是时，
，
，
解答：或；
若3次运算输出的值是时，
，
，
解答：或；
，且取负整数，
或，
故答案为：或．
【题型12 利用数轴化简】
1.解：由数轴可得：，
原式．
2.C
【分析】根据数轴上点的位置可得，，，再根据算术平方根，绝对值和立方根的定义化简即可．
【详解】由数轴可得，，，
∴
＝
＝
故选C．
3.4
【分析】本题考查的是实数与数轴，由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：4．
4.
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可．
【详解】解：由图可知：，且，
∴，
∴原式；
故答案为：．
【题型13 实数与数轴的关系】
1.（1）解：∵表示实数1和的对应点分别为A，B，
∴；
（2）解：∵点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，
∴，
∵点C在原点左侧，
∴点C所表示的数为：，
；
（3）解：
；
在坐标轴上标出点D的位置如图所示：

2.（1）解：，
，
则的整数部分是2，小数部分是，
故答案为：2，．
（2）解：①，
，
，
的小数部分，
故答案为：；
②由（2）①可知，的整数部分，
这个正方形的边长为，
∵正方形的一个顶点和表示的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点，
点表示的数为．
3.（1），
，
点A与点B之间的距离为；
（2）①若点C在点A与点B之间，则
，
②若点C在点B左边，则
，
综上可得，c的值为或．
4.（1）解：折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，折叠点对应的数为0，
表示的点与表示的点重合．
故答案为：；
（2）解：①折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，折叠点对应的数为，
设4表示的点与表示的点重合
4表示的点与表示的点重合，
②同理设表示的点与表示的点重合，
．
表示的点与表示的点重合．
故答案为：0，；
（3）解：当点沿数轴往左移6个单位长度时，，解得；
当点沿数轴往右移6个单位长度时，．解得，
∴的值为3或．

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