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2024-2025学年广东省广州市南武中学高二（下）3月月考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个等比数列前项的和为，前项的和为，则前项的和为( )
A. B. C. D.
2.曲线：在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线设原正三角形图的边长为，把图，图，图，图中图形的周长依次记为，，，，则( )
A. B. C. D.
4.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上可导，且，则( )
A. B. C. D.
6.在中，是以为第三项，为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上都不对
7.数列中，，且，则数列前项和为( )
A. B. C. D.
8.若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果错误的是( )
A. B.
C. D.
10.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
11.等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是( )
A. 若，则必有 B. 若，则必有是中最大的项
C. 若，则必有 D. 若，则必有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极大值为______．
13.已知等差数列中，，且，则为______．
14.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：个空心圆点到下一行仅生长出个实心圆点，个实心圆点到下一行生长出个实心圆点和个空心圆点．则第行的实心圆点的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求的单调区间．
17.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列．
若，求满足条件的最大整数．
18.本小题分
已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若数列是等差数列，且，．
求证：数列是等差数列；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数，．
若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
已知，当，试比较与的大小，并给予证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：数列的前项和为，．
当时，
解得：，
当时，
得：，
所以：常数，
故：数列是以为首项，为公比的等比数列．
则：首项符合通项，
所以：．
由于：，
则：．
所以：，
则：，
故：．
16.解：Ⅰ时，，
，
则，，
曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ，
由，得，，
当时，在或时，
在时，
的单调增区间是和，单调减区间是；
当时，在时，
的单调增区间是．
当时，在或时，
在时．
的单调增区间是和，单调减区间是．
17.证明：由，得，
则，又，，
数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由可得，，
，
则
．
由，得，
即，
为单调增函数，满足的最大正整数为．
即满足条件的最大整数．
18.解：证明：因为数列是等差数列，且，
所以，
所以的首项为，公差为，
所以，所以，
当时，，
所以常数，
所以数列是以为公差的等差数列．
由知数列是以为公差的等差数列，
因为，所以公差为，
所以，
由，所以，
所以，
，
所以，
即，
化简可得，
所以．
19.解：由题意得，
是的极值点，
，解得，
，
又，
曲线在点处的切线方程为，即．
由题意得定义域为，，
当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由得，
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
判断：．
证明：令，
则，
令，则，
函数在上单调递增，
又，，存在唯一零点，使得，
当时，；当时，；
即当时，；当时，；
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，即，
又，即，
，
，
在上恒成立．
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