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专题04 巧用中点解决几何问题
一、【知识回顾】
方法与技巧：中点问题常见辅助线做法
①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线
②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质
③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质
④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质
⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积
⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形
二、【考点类型】
考点1：构造三角形的中位线
典例1：（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）如图，中，，点E是的中点，若平分，，线段的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式1】（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2022春·全国·八年级假期作业）已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：（1）；
（2）和互相平分．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．
考点2：直角三角形斜边的鹅中线
典例2：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在一块含角的三角板（）的顶点处作，垂足为． 在的右侧作使，连接，的延长线交于． 设，，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式2】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
【变式3】（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
考点3：等腰三角形三线合一性质
典例3：（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：．
【变式1】（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
考点4：垂直平分线性质
典例4：（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2cm C． D．
【变式1】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．
【变式2】（2020·江西·统考中考真题）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
【变式3】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
考点5：中线平分面积
典例5：（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2021秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【变式3】（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板中，点，，分别为，，的中点，连接，，．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ________．
考点6：倍长中线，构全等
典例6：（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且，若，，则______，线段AB的长度______．
【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．
巩固训练
一、单选题
1．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
3．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（　　）
A． B．5 C．5 D．2
4．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应、3，作腰长为4的等腰，连接，以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（　　）
A． B．4 C． D．2.5
5．（2023秋·广东惠州·八年级校考期末）如图，在中，，于点，为的中点，为上一动点．若腰上的中线长是3．则周长的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连结BE，则线段BE的长为（　　）
A．2 B． C． D．
7．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点，连接，，且，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接BD，若，，则线段的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线、相交于点O，连接，则的面积与的面积比是（　　）
A． B． C．2 D．4
10．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正中，，，连接，若M、N分别为线段、的中点，则线段的长度等于（　　）
A． B． C． D．3
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是（　　）
A． B．5 C． D．10
13．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，射线射线CD，与的平分线交于点E，，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点给出下列结论：是直角三角形；；设，，则y关于x的函数表达式是，其中正确的是
A． B． C． D．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题
16．（2020·天津·中考真题）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．
18．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
19．（2022·天津·统考中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________．
20．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________．
21．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．
22．（2022秋·九年级单元测试）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______．
24．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
26．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
27．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
28．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
29．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是_____．
30．（2022春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且，若，则________．
三、解答题
31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE AB；
(3)求证：CE＝AB．
32．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
33．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　 　；
②思路二的辅助线的作法是：　 　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
34．（2022·山西朔州·八年级校考期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．
（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
36．（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是的切线；
（2）若PC是的切线，，求PC的长．
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专题04 巧用中点解决几何问题
一、【知识回顾】
方法与技巧：中点问题常见辅助线做法
①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线
②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质
③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质
④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质
⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积
⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形
二、【考点类型】
考点1：构造三角形的中位线
典例1：（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）如图，中，，点E是的中点，若平分，，线段的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】A
【分析】延长交于F，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出并判断出是的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【详解】解：如图，延长交于F，
∵平分，
∴
∵
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴
∴，
又∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
【变式1】（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】分别延长，交于点M，构造等腰，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：延长，交于点M，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵点F是的中点，，
∴为中位线，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【变式2】（2022春·全国·八年级假期作业）已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：（1）；
（2）和互相平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
（2）由（1）的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．
【详解】（1）在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG
（2）由（1）知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴和互相平分
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．
【答案】CD=EF，理由见解析．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DEBC，然后证得四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可说明．
【详解】解：结论：CD=EF．理由如下：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DEBC．
∵CFBC，
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴CD=EF．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解答本题的关键．
考点2：直角三角形斜边的鹅中线
典例2：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在一块含角的三角板（）的顶点处作，垂足为． 在的右侧作使，连接，的延长线交于． 设，，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得出,因为可得出,又根据可得出,,最后根据外角的性质即可得出答案．
【详解】∵为等腰三角形，，
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴，,
∵,
∴,
∴,
，
∴，
故选D.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，通过三角形外角的性质证得是解决问题的关键．
【变式1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】如图，取的中点O，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴PC的最小值为1，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
【答案】C
【分析】根据作图可知平分，结合，由三线合一求出长，根据勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出长，即可解答．
【详解】解：由作图可知，平分，
∵，，
，，
，点F为的中点，
，
的周长为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
【变式3】（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）如图，AF平分，
（2）∵，且，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
考点3：等腰三角形三线合一性质
典例3：（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，，又易证，即得出．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，合理转化角与角之间的关系．
【变式1】（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（　　）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，利用“HL”证明可得对应角,全等三角形对应边相等可得,然后求出可得出答案．
【详解】∵平分,
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确．
∵,平分，
∴，且（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），故②正确．
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AD，AM，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
考点4：垂直平分线性质
典例4：（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． B．2cm C． D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，再根据线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝4cm，
∴OA＝OD＝OC，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD＝4cm，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴OE＝CE＝2cm
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线的性质，从而完成求解．
【变式1】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．
【答案】##7.5
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．
【详解】解：如图：
四边形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分线，
，，又，
，
，
，
解得，，
四边形是矩形，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
【变式2】（2020·江西·统考中考真题）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】如图，连接，延长与交于点利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到 再次利用等腰三角形的性质得到：从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，延长与交于点
平分，，
是的垂直平分线，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【变式3】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【分析】（1）先证明，得到四边形为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】（1）∵，∴．
∵是对角线的垂直平分线，
∴，．
在和中，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）∵四边形为菱形，，．
∴，，．
在中，．
∴菱形的周长．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质定理，熟知菱形判定方法和性质定理是解题关键．
考点5：中线平分面积
典例5：（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积．
【详解】解：延长交于，
∵垂直的平分线于，
，
又知，
∴，
∴，
∴和等底同高，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的关键．
【变式1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于，根据角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，进而求得答案．
【详解】解：如图，延长交于，
平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
阴影部分的面积．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求面积，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2021秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
【变式3】（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板中，点，，分别为，，的中点，连接，，．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ________．
【答案】##0.375
【分析】先求出S△BED =S△ABD，S△BFD =S△CBD，S△BOF=S△BFD= S△CBD ，再根据S△ABD= S△CBD= ，即可得答案．
【详解】解：∵ E为AB的中点，
∴S△BED =S△ABD，
∵F为CD的中点，
∴S△BFD =S△CBD，
∵O为BD的中点，
∴S△BOF=S△BFD= S△CBD ，
∵S△ABD= S△CBD= ，
∴S阴影= S△BED+ S△BOF =+= ，
∴飞镖落在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，概率的求法，解题的关键是三角形中线的性质的灵活运用．
考点6：倍长中线，构全等
典例6：（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．
【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD△CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键．
【变式1】（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】在AE取点F，使EF=BE．利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出2AE=AB+AD；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．先由（SAS）证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC．
【详解】解：①在AE取点F，使EF＝BE，
∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，
∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，
∴AE＝（AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC+∠CFB＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，
又∵CF＝CB，
∴CD＝CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF＝S△ADC，
∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④错误；
即正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且，若，，则______，线段AB的长度______．
【答案】 45
【分析】延长FD到M使得，连接AM、EM，作于N，先证明，在中求出EM，再证明是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，延长FD到M使得，连接AM、EM，作于N．
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在中，，，
，
，．
故答案为45，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的突破口是添加辅助线构造以及倍长中线构造全等三角形．
【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．
【答案】120°
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
巩固训练
一、单选题
1．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【分析】延长AD到G使DG=AD，连接BG，通过SAS证明△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质可得到∠CAD=∠G，AC=BG，等量代换得到BE=BG，由等腰三角形的性质得到∠G=∠BEG，推出EF=AF即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长AD到G使DG=AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD=∠G，AC=BG，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠G=∠BEG，
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠AEF=∠EAF．
∴EF=AF，
∴AF+CF=BF-EF= BF-AF，
即AF+6=9-AF，
∴AF=1.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用中点作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝BP＝．
故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
3．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则 ABCD的对角线AC的长为（　　）
A． B．5 C．5 D．2
【答案】A
【分析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，根据菱形的性质可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依据勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝AD＝，由∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可求出AC＝．
【详解】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
∵在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC＝BD＝AD＝3，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴Rt△ABD中，AB＝AD＝，
∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，
∴∠BCF＝45°，
∴FC＝FB＝，
∴Rt△ACF中，
，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．．
4．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应、3，作腰长为4的等腰，连接，以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（　　）
A． B．4 C． D．2.5
【答案】A
【分析】先利用数轴的性质，得到，再根据等腰三角形的性质得到，，由勾股定理得到，最后利用画法得到，即可得到答案．
【详解】解：为数轴原点，A，B两点分别对应、3，
，
是腰长为4的等腰三角形，
，，
，
以O为圆心，长为半径画弧交数轴于点M，
，
点M对应的实数为，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
5．（2023秋·广东惠州·八年级校考期末）如图，在中，，于点，为的中点，为上一动点．若腰上的中线长是3．则周长的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值，求出的长，可得结论．
【详解】解：如连接，与交于点，此时最小
，
是等腰三角形，是中线，
于点 D ，
为的中点，
，
，
，
即的长就是的最小值，
，，
的最小值是3，
周长的最小值，
故选：B．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，解题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
6．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，连结BE，则线段BE的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】延长AD交CE于点O，过点A作于H，根据运用勾股定理求出BC的长，利用的面积求出AH的长，证明AD垂直平分线段CE，运用与面积相等求出OC的长，推出CE的长，证明是直角三角形，在中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】延长AD交CE于点O，过点A作于点H，
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴AD垂直平分线段CE，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
在中，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，直角三角形的斜边中线，勾股定理等，解题的关键是添加辅助线，熟练掌握翻折性质，直角三角形的斜边中线的性质，三线合一，勾股定理解直角三角形，面积法求高．
7．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点，连接，，且，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线等于的一半，相减即可求得的长．
【详解】解：∵点分别是边的中点，，
∴，
∵，且，
又∵点是边的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键．
8．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接BD，若，，则线段的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，则，
∴，
由旋转可知，，
∵D是的中点，
∴，
在中，利用三角形三边关系可得，（当，，三点共线时取等号）
∴，
∴的最大值为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键．
9．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线、相交于点O，连接，则的面积与的面积比是（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据、是的中线，得到是的中位线，进而得到，进而推出，相似比为，根据面积比等于相似比的平方，即可得解．
【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查三角形的中位线，相似三角形的判断和性质．熟练掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．
10．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得出，即可得出结果
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，
点，分别是、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
由三角形的三边关系，，
，
，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系；根据不等关系考虑作辅助线，构造成以为一边的三角形是解题的关键．
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正中，，，连接，若M、N分别为线段、的中点，则线段的长度等于（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】连接并延长到，使，连接，证明，可得，，过点作于点，根据含30度角的直角三角形可得和的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据三角形中位线定理可得的长．
【详解】解：如图，连接并延长到，使，连接，
是正三角形，
，
为线段的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，
、分别为线段、的中点，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是构造辅助线得到，熟练利用中位线定理．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形中，，点E、F分别是边的中点，连接，则的长是（　　）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵E、F分别是边的中点，
∴且，
且，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
13．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，射线射线CD，与的平分线交于点E，，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点给出下列结论：是直角三角形；；设，，则y关于x的函数表达式是，其中正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA=180°，由∠ACE=∠DCA，∠CAE=∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=（∠DCA+∠BAC）=90°，延长即可解决问题;
②正确．首先证明AC=AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题;
③正确．只要证明AP+CQ=AC即可解决问题．
【详解】解：如图延长CE交AB于K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°，
∵∠ACE=∠DCA，∠CAE=∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=（∠DCA+∠BAC）=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK=∠AKC=∠ACK，
∴AC=AK，
∵AE⊥CK，
∴CE=EK，
在△QCE和△PKE中，
，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ=PK，S△QCE=S△PEK，
∴S四边形APQC=S△ACK=2S△ACE，故②正确，
∵AP=x，CQ=y，AC=4，
∴AP+CQ=AP+PK=AK=AC，
∴x+y=4，
∴y=-x+4（0≤x≤4），故③正确，
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：延长交于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解．
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【分析】过点C作交BF于点H，由此可得∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，再根据EB＝EA可得∠A＝∠EBA，进而可得AC＝BH＝22，结合DF＝DB＝16可得BF＝32，DH＝6，FH＝10，再利用垂直平分线的性质可得BC＝CF，进而可得∠F＝∠CBE，再结合∠A＝2∠CBE，∠EHC＝∠HCF＋∠F可得CH＝FH＝10，最后利用勾股定理计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作交BF于点H，
∵，
∴∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，
∵EB＝EA，
∴∠A＝∠EBA，
∴∠ECH＝∠EHC，
∴EC＝EH，
∴EC＋EA＝EH＋EB，
即AC＝BH＝22，
又∵DF＝DB＝16，
∴BF＝BD＋DF＝32，DH＝BH－BD＝6，
∴FH＝BF－BH＝32－22＝10，
∵CD⊥BF，DF＝DB，
∴BC＝CF，
∴∠F＝∠CBE，
又∵∠A＝2∠CBE，
∴∠EHC＝∠ECH＝2∠F，
又∵∠EHC＝∠HCF＋∠F，
∴∠HCF＋∠F＝2∠F，
∴∠HCF＝∠F，
∴CH＝FH＝10，
∴在中，，
∴在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，根据题意作出正确的辅助线并能熟练运用相关图形的性质是解决本题的关键．
二、填空题
16．（2020·天津·中考真题）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．
【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出=5，由三角形中位线定理求=2OP，当C在线段上时，的长度最小值=5-2-3，当C在线段延长线上时，的长度最大值=5+2=7，即可求解．
【详解】如图，在y轴上取一点，连接，，
∵B（0，3），，A（4，0），
∴，，
∴，
∵点P是BC的中点，
∴，
∵，，
∴，
当C在线段上时，的长度最小值为：5-2=3，
当C在线段延长线上时，的长度最大值为：5+2=7，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．
18．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
【答案】
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
19．（2022·天津·统考中考真题）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________．
【答案】
【分析】连接FB，作交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出FB为的中位线，进而求出FB，利用勾股定理求出AF，再证明，得出．
【详解】解：如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．
∵四边形是边长为2的菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∵E为的中点，
∴，
∴，即点B为线段EG的中点，
又∵F为的中点，
∴FB为的中位线，
∴，，
∴，即是直角三角形，
∴．
在和中，
，‘
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角是解题的关键．
20．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________．
【答案】6
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案．
【详解】解： 是边的中点，，
矩形，
故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
21．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 __．
【答案】##
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解．
【详解】如图，取的中点，连接，，
矩形，，，
，，
点是的中点，
，
，
，点是的中点，
，
在中，，
当点在上时，，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
22．（2022秋·九年级单元测试）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______．
【答案】
【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短，连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，
∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，
∴AB的最小值为2OP=6．
∵点、点关于原点对称，
∴OA=OB=3，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
24．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
【答案】
【分析】根据题意，AM=EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．
【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴BC边上的高h=，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF的中点，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴当AP最小时，AM有最小值，
根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，
∴AP的最小值为，
∴AM的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
26．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
27．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
【答案】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
28．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
【答案】1
【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．
【详解】解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
29．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是_____．
【答案】
【分析】根据三角形中线的性质可得，从而得到，，然后连接BG，可得，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD为△ABC的中线，AF为△ABE的中线，AG为△ACE的中线，BE为△ABD的中线，CE为△ACD的中线，
∴，
∴，
∴，，
如图，连接BG，
∵G为CE的中线，
∴，
∵点F为BE的中点，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
30．（2022春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且，若，则________．
【答案】30
【分析】根据三角形的面积公式，利用得到，进而得到，再利用点E是AD的中点得到，，进而得到，从而得到的值．
【详解】解：，
∴，
∴．
点E是AD的中点，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．理解等底同高的三角形面积相等是解答关键．
三、解答题
31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE AB；
(3)求证：CE＝AB．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；
（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．
【详解】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC BC＝AB DE，即×3×4＝×5×CD，
解得：CD＝；
（2）证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，
∵CD⊥AB，
∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，
∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB 2DE＝2DE AB；
（3）证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（SAS），
∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ACB＝90°，
∵AC＝CA，
∴△ACF≌△CAB（SAS），
∴CF＝AB，
∵CF＝2CE，
∴CE＝AB．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
32．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
【答案】详见解析
【分析】通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.
【详解】延长至，使，连结、，
，，
，
，，
，
，，
，
又，，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
33．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　 　；
②思路二的辅助线的作法是：　 　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析
【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．
【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．
理由如下：∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．
34．（2022·山西朔州·八年级校考期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．
（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
【答案】（1）；（2），证明详见解析；（3）
【分析】（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；
（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；
（3）结论不变，证明方法类似．
【详解】（1），
，
，
为边上的中线，
，
是等边三角形，
．
（2）．
证明：如图，连接，
都是等边三角形，
，
，
，
，
．
，
．
，
；
（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．
【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
36．（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是的切线；
（2）若PC是的切线，，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出PC的长．
【详解】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
∴．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．
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