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专题01 不等式与不等式性质
考点类型
知识一遍过
（一）不等式及其解集
①不等式：用不等号(包括：>、、、<、≠)表示大小关系的式子。
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
③不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
【注意】
（1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
②不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
③不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
（2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。
（二）不等式的基本性质
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac考点一遍过
考点1：不等式的相关概念
典例1：（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）下列式子属于不等式的有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，对各式进行判断即可．
【详解】解：根据不等式定义判断，①②⑤为不等式，
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键．
【变式1】（2023下·海南海口·七年级海南华侨中学校考期中）数学表达式①；② ；③；④；⑤中不等式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得．
【详解】解：①，② ；⑤都是不等式，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，熟记不等式的定义是解题关键．
【变式2】（2023下·七年级统考课时练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（　　）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
考点2：列不等式
典例2：（2023下·吉林松原·九年级校联考期中）用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式，不大于5即．
【详解】解：的倍与的的和不大于，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【变式1】（2023下·河南周口·七年级统考期末）的2倍不大于3与的差的一半，将其表示成不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据关键词，x的2倍即为2x，3与的差的一半即为，不大于即为，由此可知不等式．
【详解】x的2倍即为2x，
3与的差的一半即为，
由此可知不等式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据题意列不等式，根据关键词得到相应的运算顺序是解题关键．
【变式2】（2023下·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
【答案】A
【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号．
【变式3】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）我市某一天的最高气温是30℃，最低气温是20℃，则当天我市气温t（℃）变化范围是（　　）
A．20＜t＜30 B．20≤t≤30 C．20≤t＜30 D．20＜t≤30
【答案】B
【分析】根据不等式的定义进行选择即可．
【详解】解：∵这天的最高气温是30℃，最低气温是20℃，
∴当天我市气温t（℃）变化范围是20≤t≤30，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键．
考点3：实际问题中的不等关系
典例3：（2022下·河北承德·七年级统考期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g
【答案】C
【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可．
【详解】解：∵205×3％=6.15（g），蛋白质含量≥3%，
∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键．
【变式1】（2022下·山西太原·八年级统考期中）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得：
x＞1.
故选：B．
【点睛】本题考查不等式．掌握不等式的定义是解题的关键．不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）某高钙牛奶的包装盒上注明“每内含钙量”，它的含义是指（ ）
A．每内含钙量为 B．每内含钙量不低于
C．每内含钙量高于 D．每内含钙量不超过
【答案】B
【解析】略
【变式3】（2022下·山东青岛·八年级统考期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：0＜x≤
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键．
考点4：不等式的解与解集
典例4：（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项，的解集是，解不等式得，故正确；
D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式1】（2022下·江苏泰州·七年级统考期末）若是某不等式的解，则该不等式可以是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对给出的答案逐一分析，然后作出判断即可．
【详解】解：A．当不等式为x>3时，x=2不是该不等式的解，故此选项不符合题意；
B．当不等式为x>4时，x=2不是该不等式的解，故此选项不符合题意；
C．当不等式为x<4时，x=2是该不等式的解，故此选项符合题意；
D．当不等式为x<2时，x=2不是该不等式的解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，也就是说，满足这个不等式的所有解组成解集是不等式的解集是解题的关键．．
【变式2】（2023上·浙江湖州·八年级校考期中）下列命题中，假命题的个数是（ ）
①一元一次不等式的解集可以只含一个解②一元一次不等式组的解集可以只含一个解③一元一次不等式组的解集可以不含任何一个解④x=2是不等式x+3≥5的解集
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】不等式的解就是能使不等式成立的未知数的值，据此可以作出判断．
【详解】解： ①一元一次不等式的解集不可能只含一个解，所以一元一次不等式的解集可以只含一个解是假命题；
②的解集是x=2, 所以一元一次不等式组的解集可以只含一个解是真命题；
③如无解，所以解集不含任何一个解，是真命题.
④不等式 x+3 5 的解集是 x 2 ， x=2 是它的一个解，是假命题；
故假命题的个数是1；
故答案为C.
【点睛】解答此题的关键是要掌握不等式及不等式组解集的相关知识，不等式的解集不可能只含一个解，不等式组的解集可能只含有一个解，也可能含有很多解，也可能不含任何一个解.
【变式3】（2023下·七年级课时练习）下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】分别判断①②③是否正确即可解答.
【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确；②把代入不等式，不成立，故不是不等式的解，正确；
③不等式的解有无数个，正确．
故选D.
【点睛】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键.
考点5：不等式解集的表示方法
典例5：（2023下·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴是表示不等式的解集，先解不等式，然后将解集表示在数轴上即可，正确解答一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
在数轴是表示不等式的解集为：
故选：．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）在数轴上表示不等式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，不等式在数轴上表示不等式与两个不等式的公共部分．
【详解】解：“”实心圆点向右画折线，“”空心圆圈向左画折线
故在数轴上表示不等式如下
故选：A
【变式2】（2024上·吉林长春·九年级长春市实验中学校考期末）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上，先解不等式得出，表示在数轴上即可，熟练掌握不等式的解法是解此题的关键．
【详解】解：解得：，
将表示在数轴上为 ，
故选：A．
【变式3】（2022下·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集．根据用数轴表示不等式的解集的方法，直接写出解集进行判断即可．注意含等号，用实心点，不含等号，用空心点．
【详解】解：由图可知，不等式的解集为：；
故选B．
考点6：不等式性质1的应用
典例6：（2023下·四川达州·八年级校考期末）若，则（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
【变式1】（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，故C正确
故选：C．
【变式2】（2023上·浙江温州·八年级统考期中）对不等式进行变形，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断，解题关键是要注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】、∵ ，不等式的性质，∴，故此选项错误，符合题意；
B、∵ ，不等式的性质，∴，故此选项正确，不符合题意；
、∵ ，不等式的性质，∴，故此选项正确，不符合题意；
、∵ ，不等式的性质∴，故此选项正确，不符合题意；
故选：．
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据,应用不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：
∴选项A符合题意；
∴选项B不符合题意；
，
∴选项C不符合题意；
，
，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
考点7：不等式性质2、3的应用
典例7：（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．
【详解】解：若，则，故选项A正确；
若，则，故选项B正确；
若，则，故选项C 不正确；
若，则，故选项D正确．
故选C．
【变式1】（2022下·贵州安顺·七年级统考期末）若，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可解答．
【详解】解：，
，故A正确，不符合题意；
，
，即，故B正确，不符合题意；
，
，故C正确，不符合题意；
，
，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握在不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变是解题的关键．
【变式2】（2023下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，A错误，故不符合要求；
当且时，，B错误，故不符合要求；
当时，，C错误，故不符合要求；
，D正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3】（2023下·河南郑州·八年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、若，则，即，故该选项正确；
B、∵，当时，则，故该选项正确；
C、若，当时，；当时，，当时，，故该选项错误；
D、若，则，故该选项正确；
故选：C．
【点睛】本题考查不等式性质，熟记相关性质是解题的关键．
考点8：不等式的解与方程的解
典例8：（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3 B．3是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
【答案】A
【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．
【详解】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本选项错误，符合题意；
B、3是不等式的解，说法正确，故本选项不符合题意；
C、不等式的解集是，说法正确，故本选项不符合题意；
D、是不等式的解集，说法正确，故本选项不符合题意．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）下面说法正确的是( )
A．x=3是不等式2x＞3的一个解 B．x=3是不等式2x＞3的解集
C．x=3是不等式2x＞3的唯一解 D．x=3不是不等式2x＞3的解
【答案】A
【分析】先解出不等式的解集，判断各个选项是否在解集内就可以进行判断．
【详解】解不等式2x＞3的解集是x＞，
A. x＝3是不等式2x＞3的一个解正确；
B. x＝3不是不等式2x＞3的全部解，因此不是不等式的解集，故错误；
C. 错误；不等式的解有无数个；
D. 错误.
故答案为A.
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【变式3】（2023下·七年级课时练习）下列说法中，正确的有 （ ）
①4是不等式x＋3＞6的解，②x＋3＜6的解集是x＜2，③3是不等式x＋3≤6的解，④x＞4是不等式x＋3≥6的解集的一部分
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案．
【详解】①不等式x+3＞6的解集为：x＞3，所以4是不等式x+3＞6的解正确；
②x+3＜6的解集是x＜3，故x+3＜6的解集是x＜2错误；
③3是不等式x+3≤6的解正确；
④不等式x+3≥6解集为：x≥3，故＞4是不等式x+3≥6解集的一部分正确．
此题正确的说法有3个．
故选C．
【点睛】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的进行计算，逐一判断即可，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、，，故A错误，不符合题意；
B、，，故B正确，符合题意；
C、，，故C错误，不符合题意；
D、，，故D错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2023下·广东惠州·七年级统考期末）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、如果，那么，故此选项符合题意；
B、如果，那么，故此选项不符合题意；
C、如果，那么，故此选项不符合题意；
D、如果，那么 ，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟记：不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2022下·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期中）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知：
A. ，，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，∴，故该选项正确，符合题意；
C. ，取特殊值，，但此时，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，当时，故该选项不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2023下·河南周口·七年级淮阳第一高级中学校考期中）若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：∵，
A、根据不等式的基本性质1，得，故此结论成立，不符合题意；
B、当时，，故此结论不一定成立，符合题意；
C、根据不等式的基本性质3，得，故此结论成立，不符合题意；
D、根据不等式的基本性质1，得，故此结论成立，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
5．（2023下·山东济南·八年级校考期中）若，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：、由可得，原不等式成立，不符合题意；
B、由可得，则，原不等式成立，不符合题意；
C、由可得，原不等式成立，不符合题意；；
D、由得不到，例如，但是，原等式成立，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
6．（2022下·安徽六安·七年级校考阶段练习）若，且，则（ ）
A．a有最小值 B．b有最小值为 C．有最大值2 D．有最小值
【答案】C
【分析】由，得，于是，故A错误；，得，得，于是，故B错误；由，，得，故C正确；，无最小值；
【详解】解：A. a有最小值；
由，得，
∴，
∴，故A错误，本选项不合题意；
B. b有最小值为；
由，得，
∴，
∴，故B错误，本选项不合题意；
C. 有最大值2，
∵，
∴，故C正确，本选项符合题意；
D. 有最小值，
，无最小值；
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的性质，等式变形；掌握不等式的性质是解题的关键．
7．（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若点A、B在数轴上的位置如图，所表示的数分别为x﹣z、y﹣x，则下列对于x、y、z的大小判断正确的是（ ）
A．y＜z＜x B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．x＜z＜y
【答案】D
【分析】根据A点可知x＜z，根据B点可知x＜y，再根据|x-z|＜|y-x|可知z＜y，再用“＜”连接即可．
【详解】解：∵A点为负数，
∴x-z＜0，|x-z|=-（x-z）=z-x，
∴x＜z．
∵B点为正数，
∴y-x＞0，|y-x|=y-x，
∴y＞x，
∴x＜y．
由数轴可知，
|x-z|＜|y-x|，
∴z-x＜y-x，
∴z＜y．
综上所述，x＜z＜y．
故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴上点的特征以及绝对值的运算，解题的关键在于熟练掌握去绝对值的技巧．
8．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）若，且，则的值可能是（　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由题意可得m－2＜0，进而可得m的范围，进一步即得答案．
【详解】解：∵，且，
∴m－2＜0，解得：m＜2，
纵观各选项，m可能为1．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质和简单的一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
9．（2023下·八年级课时练习）下列叙述：①如果a是非负数，则；②“减去10不大于2”表示为；③“的倒数超过10”表示为；④“a，b两数的平方和为正数”表示为；其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据非负数大于或等于0；“不大于”就是“小于或等于”；正数就是大于零的数．
【详解】①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；
②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误；
③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为＞10．故③正确；
④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2+b2＞0．故④正确．
综上所述，正确的说法有3个．
故选B．
【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
10．（2023下·甘肃兰州·八年级校考期中）如果，下列各式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，即可得到答案．
【详解】解： ，
，，，，
A、B、C错误，不符合题意，D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
二、填空题
11．（2022上·八年级单元测试）已知，那么 （用“＜”或“＞”填空）．
【答案】>
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵a∴-2a>-2b，
故答案为：>．
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．
12．（2023下·七年级课时练习）用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是 ， ， ．
【答案】 2 3 -1
【分析】根据不等式的性质3，举出例子即可．
【详解】解：根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
满足，即可，例如：，3，．
故答案为，3，．
【点睛】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
13．（2023上·湖南郴州·八年级统考阶段练习）如,则 .
【答案】<
【分析】根据不等式的基本性质判断即可.
【详解】解：.
故答案为：<
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，①不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号方向不变；②不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，灵活利用这三条不等式的基本性质是解题的关键.
14．（2023下·七年级课时练习）如果不等式的解集是，那么a必须满足 ．
【答案】
【分析】根据两边同时除以a-2，不等号的方向改变，可得a-2＜0．
【详解】解：∵不等式（a-2）x＞a-2的解集是x＜1，
∴a-2＜0，
解得，a＜2．
故答案为：a＜2．
【点睛】本题考查了不等式的性质．注意：不等式两边同除以同一个负数时，不等号的方向改变．同理，当不等式两边同时除以一个数后不等号的方向改变，也可以知道不等式两边同时除以的是一个负数．
15．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）不等式2x-5的解集为 ．
【答案】x
【分析】按解不等式的解题步骤，移项合并同类项，然后系数化1即可．
【详解】2x-5<1，
2x<6，
x<3．
故答案为：x<3．
【点睛】本题考查不等式的解法，关键是掌握不等式的性质与步骤．
16．（2023下·七年级单元测试）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】a的一半为，与3的和为，小于即，据此列不等式．
【详解】解：由题意得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出不等式．
三、解答题
17．（2023下·七年级课时练习）利用不等式的性质解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据不等式的性质1解答；
（2）根据不等式的性质1解答；
（3）根据不等式的性质2解答；
（4）根据不等式的性质3解答．
【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7不等号的方向不变，所以
，
．
（2）根据不等式的性质1，不等式两边减，不等号的方向不变，所以
，
．
（3）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以
，
．
（4）根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，所以
，
．
【点睛】此题考查解一元一次不等式，不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，正确掌握不等式的性质是解题的关键．
18．（2023下·七年级课时练习）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式，求解此不等式即可．
【详解】解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则，
∴；
（2）①，
∵结果为常数，
∴，
解得；
②由①知丙卡片上的代数式为，要使其为非负数，则，
则，解得．
【点睛】本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．
19．（2023下·福建三明·八年级校考阶段练习）利用不等式的性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，表示解集见解析
【分析】根据不等式的基本性质1，两边同时减去，得，根据不等式的基本性质3，两边同时除以，即可求解．
【详解】解：，
根据不等式的基本性质1，两边同时减去，得
，
，
根据不等式的基本性质3，两边同时除以，得，
这个不等式的解集在数轴上表示如下：

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
20．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）2022年，中国元素闪耀卡塔尔世界杯，特别是中国承建的大型基建项目卢赛尔体育场，是目前全球技术最先进的世界杯主场馆．它的整体外形呈马鞍状，外幕墙是铜色圆形玻璃，配上内部灯光，使得它在夜间格外璀璨，像极了沙漠中的一只“金腕”．该外幕墙的搭建由甲、乙两个工程队联合承揽．若两队一起搭建了5个月后，剩下的部分由甲队单独搭建，则还需1个月．
(1)若甲队单独搭建需要12个月，乙队单独搭建需要多少时间？
(2)若甲队单独搭建的时间为a个月（）．甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？
【答案】(1)乙队单独搭建需要10个月；
(2)甲队的施工速度快，理由如下．
【分析】（1）设乙队单独搭建需要个月，根据题意，列出分式方程，求解即可；
（2）设乙队单独搭建需要个月，根据题意，列出分式方程，用表示，根据的取值，判断出，即可求解．
【详解】（1）解：设乙队单独搭建需要个月，根据题意可得：
解得：，
经检验，是方程的解，
答：乙队单独搭建需要10个月；
（2）解：甲队的施工速度快，理由如下：
设乙队单独搭建需要个月，根据题意可得：
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即甲队的施工速度快．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，不等式的性质，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程．
21．（2023下·北京通州·七年级统考期末）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？
请解答下列问题：
(1)完成下列填空（填“”或“”），
已知可得________；已知可得________；已知可得________；
(2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性；
(3)已知，且，，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)一般地，如果，那么，证明见解析
(3)
【分析】（1）先计算出对应式子的结果，然后比较大小即可；
（2）设，根据不等式的性质可得，再由，即，可推出，由此即可证明结论；
（3）先求出，再根据，，即可得到，解不等式组即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
同理可得；
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：一般地，如果，那么，证明如下：
∵，
∴可设，
∵，
∴，
又∵，即，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集．
【答案】
【分析】由不等式可得，其解集是，故有，所以；将其代入不等式中即可求得该不等式的解集．
【详解】解：不等式系数化1得，且，
该不等式的解集为是，
，
，
∵，
∴，
解得：，
将代入不等式得，
，
移项得，，
又∵，
∴，
即不等式的解集是．
【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
23．（2022下·北京昌平·七年级校联考期中）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．
【解决问题】解：，．
，，．
，，
同理，得．
由，得，
的取值范围是．
【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示．
【答案】（1）；（2）当时，
【分析】（1）仿照例子，运算求解即可；
（2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a的取值范围即当时，关于x、y的不等式存在解集，然后运算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，①
同理，得，②
由①+②，得，
∴的取值范围是．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，①
同理，得，②
由①+②，得，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键．
24．（2023下·江西吉安·八年级统考期中）如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”．例如不等式的解都是不等式的解，则称不等式是不等式的“蕴含不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，是的“蕴含不等式”的是_________（填序号）．
(2)若不等式是不等式的“蕴含不等式”，求m的取值范围，
(3)已知是的“蕴含不等式”，试判断是不是的“蕴含不等式”，并说明理由．
【答案】(1)③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据“蕴含不等式”的定义验证即可得到答案；
（2）解出不等式，得到，由“蕴含不等式”的定义可知，解得；
（3）由是的“蕴含不等式”，得到，进而判断，即可得到答案．
【详解】（1）解：由“蕴含不等式”定义可知，不等式①，②，③中，是的“蕴含不等式”的是③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式，得，
不等式是不等式的“蕴含不等式”，
，解得；
（3）解： 是的“蕴含不等式”，
，解得；
，即的最小值为，
，即，
是的“蕴含不等式”．
【点睛】本题考查新定义与不等式综合，读懂题意，理解“蕴含不等式”概念，准确得到相应不等式是解决问题的关键．
25．（2022下·河北保定·七年级统考期末）阅读材料：
形如的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一：转化为不等式组求解， 即，解不等式组，得；方法二：利用不等式性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
根据上述材料解决下列问题：
(1)请你将双连不等式转化为不等式组并求解；
(2)利用不等式的性质解双连不等式；
(3)已知，则可取的整数值为___________．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）根据材料提示转化为不等式组，解不等式组即可求解；
（2）根据材料提示解双连不等式的方法即可求解；
（3）运用解双连不等式的方法求出的解集，根据要去即可求出整数解．
【详解】（1）解：转化为不等式组为：,
∴解不等式得，；解不等式得，，
∴不等式组的解集为：．
（2）解：
双连不等式左、中、又同时减去，得，
双连不等式左、中、右同时除以，得，
∴双连不等式的解集为：．
（3）解：
双连不等式左、中、又同时乘以，得，
双连不等式左、中、又同时加上，得，
∴可取的整数值为，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查解不等式组，不等式的性质，掌握不等式组的解题方法，不等式的性质是解题的关键．
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专题01 不等式与不等式性质
考点类型
知识一遍过
（一）不等式及其解集
①不等式：用不等号(包括：>、、、<、≠)表示大小关系的式子。
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
③不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
【注意】
（1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
②不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
③不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
（2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。
（二）不等式的基本性质
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac考点一遍过
考点1：不等式的相关概念
典例1：（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）下列式子属于不等式的有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（2023下·海南海口·七年级海南华侨中学校考期中）数学表达式①；② ；③；④；⑤中不等式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】（2023下·七年级统考课时练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（　　）
A．5 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期中）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
考点2：列不等式
典例2：（2023下·吉林松原·九年级校联考期中）用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·河南周口·七年级统考期末）的2倍不大于3与的差的一半，将其表示成不等式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
【变式3】（2023下·广东深圳·八年级统考期末）我市某一天的最高气温是30℃，最低气温是20℃，则当天我市气温t（℃）变化范围是（　　）
A．20＜t＜30 B．20≤t≤30 C．20≤t＜30 D．20＜t≤30
考点3：实际问题中的不等关系
典例3：（2022下·河北承德·七年级统考期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（ ）
A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g
【变式1】（2022下·山西太原·八年级统考期中）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）某高钙牛奶的包装盒上注明“每内含钙量”，它的含义是指（ ）
A．每内含钙量为 B．每内含钙量不低于
C．每内含钙量高于 D．每内含钙量不超过
【变式3】（2022下·山东青岛·八年级统考期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
考点4：不等式的解与解集
典例4：（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
【变式1】（2022下·江苏泰州·七年级统考期末）若是某不等式的解，则该不等式可以是（　　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·浙江湖州·八年级校考期中）下列命题中，假命题的个数是（ ）
①一元一次不等式的解集可以只含一个解②一元一次不等式组的解集可以只含一个解③一元一次不等式组的解集可以不含任何一个解④x=2是不等式x+3≥5的解集
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3】（2023下·七年级课时练习）下列说法：①是不等式的一个解；②不是不等式的解；③不等式的解有无数个．其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点5：不等式解集的表示方法
典例5：（2023下·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）在数轴上表示不等式，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024上·吉林长春·九年级长春市实验中学校考期末）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022下·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
考点6：不等式性质1的应用
典例6：（2023下·四川达州·八年级校考期末）若，则（　）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考二模）若，则( )
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·浙江温州·八年级统考期中）对不等式进行变形，结果错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点7：不等式性质2、3的应用
典例7：（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1】（2022下·贵州安顺·七年级统考期末）若，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·河南郑州·八年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点8：不等式的解与方程的解
典例8：（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3 B．3是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）下面说法正确的是( )
A．x=3是不等式2x＞3的一个解 B．x=3是不等式2x＞3的解集
C．x=3是不等式2x＞3的唯一解 D．x=3不是不等式2x＞3的解
【变式3】（2023下·七年级课时练习）下列说法中，正确的有 （ ）
①4是不等式x＋3＞6的解，②x＋3＜6的解集是x＜2，③3是不等式x＋3≤6的解，④x＞4是不等式x＋3≥6的解集的一部分
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
同步一遍过
一、单选题
1．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·广东惠州·七年级统考期末）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期中）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·河南周口·七年级淮阳第一高级中学校考期中）若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·山东济南·八年级校考期中）若，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022下·安徽六安·七年级校考阶段练习）若，且，则（ ）
A．a有最小值 B．b有最小值为 C．有最大值2 D．有最小值
7．（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若点A、B在数轴上的位置如图，所表示的数分别为x﹣z、y﹣x，则下列对于x、y、z的大小判断正确的是（ ）
A．y＜z＜x B．z＜x＜y C．x＜y＜z D．x＜z＜y
8．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）若，且，则的值可能是（　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023下·八年级课时练习）下列叙述：①如果a是非负数，则；②“减去10不大于2”表示为；③“的倒数超过10”表示为；④“a，b两数的平方和为正数”表示为；其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2023下·甘肃兰州·八年级校考期中）如果，下列各式中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022上·八年级单元测试）已知，那么 （用“＜”或“＞”填空）．
12．（2023下·七年级课时练习）用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是 ， ， ．
13．（2023上·湖南郴州·八年级统考阶段练习）如,则 .
14．（2023下·七年级课时练习）如果不等式的解集是，那么a必须满足 ．
15．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）不等式2x-5的解集为 ．
16．（2023下·七年级单元测试）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为 ．
三、解答题
17．（2023下·七年级课时练习）利用不等式的性质解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2023下·七年级课时练习）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
19．（2023下·福建三明·八年级校考阶段练习）利用不等式的性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．
20．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）2022年，中国元素闪耀卡塔尔世界杯，特别是中国承建的大型基建项目卢赛尔体育场，是目前全球技术最先进的世界杯主场馆．它的整体外形呈马鞍状，外幕墙是铜色圆形玻璃，配上内部灯光，使得它在夜间格外璀璨，像极了沙漠中的一只“金腕”．该外幕墙的搭建由甲、乙两个工程队联合承揽．若两队一起搭建了5个月后，剩下的部分由甲队单独搭建，则还需1个月．
(1)若甲队单独搭建需要12个月，乙队单独搭建需要多少时间？
(2)若甲队单独搭建的时间为a个月（）．甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？
21．（2023下·北京通州·七年级统考期末）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有一些特殊的性质？
请解答下列问题：
(1)完成下列填空（填“”或“”），
已知可得________；已知可得________；已知可得________；
(2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性；
(3)已知，且，，请直接写出的取值范围．
22．（2022·浙江杭州·校考模拟预测）关于x的不等式的解集是，求关于x的不等式的解集．
23．（2022下·北京昌平·七年级校联考期中）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用去表示，然后根据题中已知的取值范围，构建的不等式，从而确定的取值范围，同理再确定的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．
【解决问题】解：，．
，，．
，，
同理，得．
由，得，
的取值范围是．
【尝试应用】（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）已知，，若成立，求的取值范围结果用含的式子表示．
24．（2023下·江西吉安·八年级统考期中）如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等②的“蕴含不等式”．例如不等式的解都是不等式的解，则称不等式是不等式的“蕴含不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，是的“蕴含不等式”的是_________（填序号）．
(2)若不等式是不等式的“蕴含不等式”，求m的取值范围，
(3)已知是的“蕴含不等式”，试判断是不是的“蕴含不等式”，并说明理由．
25．（2022下·河北保定·七年级统考期末）阅读材料：
形如的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一：转化为不等式组求解， 即，解不等式组，得；方法二：利用不等式性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．
根据上述材料解决下列问题：
(1)请你将双连不等式转化为不等式组并求解；
(2)利用不等式的性质解双连不等式；
(3)已知，则可取的整数值为___________．
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