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2024 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学答案及解析
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 已知集合. = *1, 2, 3+, = * ∣ 2 = 2+,则 ∩ =
A. {1} B. {2} C. {-1,2} D. {1,2}
【答案】B
【解析】 = *2, 1+, ∩ = *2+, 选 B.
2. 已知向量( = (1, 2), = ( 3, 2), = (1, 1),则( ( + ) =
A. 2 B. 0 C. - 2 D. - 7
【答案】C
【解析】 + = ( 2, 0), ( + ) = 2,选 C.
3.若等比数列 * +满足 1 + 2 = 2, 1 3 = 3,则数列 * +的公比等于
【答案】C
1
2
3 1 3 1
【解析】 = = 1 = , ∴ = ,选 C.
1+ 2 1+ 2 2
4. 已知数据. 1, 2, , 的方差
2 = 0,则
. ∑ 2 =1 = . ∑

=1 (
2
1) =
. ∑ =1 = 0 . ∑
2
=1 ∣ 1 ∣ = 0
【答案】D
【解析】 2 = 0,则 1 = 2 = = , ∴ ∑
2
=1 ∣ 1| > 0, 选 D.
5. 已知 ∈ ,， ε为任意正数，若 ∣ 6 ∣≤ 恒成立，则
. = 6 . = ±6 . > 6 D. A<6
【答案】A
【解析】. = 6时 ∣ 6 ∣≤ , 选 A.
6.定义“真指数” (e 为自然对数的底数)，则
1
+
. 1 2 = 1 2 . 1 2 = ++ + + + 2
+
1+ 2
1 2 . + +
2
+ ≥ 2
2
+ .
1 2 ≤ ( 1+ + )
【答案】C
【解析】

= 1, = 2时， 1
+ 2
1 2 + =
1
= ,
1
+
2
2 = , ∴ ≠
2, A错.
+
1

1
2 = 3
+ 1 1
+ + = 1, 2 = , ∴ 1 ≠ , B错. 2+ 2
1+ 2

1 < 0, 2 < 0时，
1 + 2 = 1 + 1 = 2 2+ + + ;
+
2 2 1
1 < 0,
1 2
2 > 0时， + + + = 1 +
2 > 2√ 2 = 2 2 > 2 2 ;
1 > 0, 2 > 0时， C对.
7.设函数 = ( ) 2是奇函数，若函数。 ( ) = ( ) + 5, (4) = 9,则 ( 4) =
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
【答案】B
【 解析】 ( ) = ( ) 2为奇函数， (4) = 9, ∴ (4) = (4) 16 = 7h(-4)=7, ∴h(-4)=f (-4)-16=7,
∴f (-4)=23, g(-4)=f (-4)+5=23+5=28,选 B.
8. 若 si + os = 2si , si os = si 2 ,则
. 4 os22 = os22 . os22 = 4 os22
. 4 os2 = os2 . os2 = 4 os2
【答案】A
【解析】 si + os = 2si ,则 (si + os )2 = 4si 2
则 1 + 2si os = 4si 2 ,则 1 + 2si 2 = 4si 2
1 1
1 + 2 (1 os2 ) = 4 (1 os2 ), ∴ os2 = 2 os2 ,选 A.
2 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知复数 = os120 + si 120 (i 是虚数单位)，则
. ∣ ∣= 1 . 2 =
. 2
1 1
+ + 1 = 0 . 2 + = 1
【答案】ABC
1 √3
【解析】 = + , ∣ ∣= 1,A对.
2 2
1 √3 1 √3
2 = , = , ∴ 2 = , B对.
2 2 2 2
1 √3 1 √3
2 + + 1 = + + 1 = 0, C对.
2 2 2 2
1 1 1+ 2
+ = = = 1,D错, 选 ABC.
2 2 2
10.设函数 ( ) = ( 3 )l ,则
A. f (x)是偶函数 . ( ) ≥ 0
C. f (x)在区间(0,1)上单调递增 . = 1为 f (x)的极小值点
【答案】BD
【解析】
f (x)定义域为( (0, +∞),非奇非偶，A错.
( ) = ( 2 1)l = ( 1)( + 1)l , 0 < < 1 l 时 , 1 < 0, l < 0, ( ) > 0 > 1 时，
1 > 0, l > 0, ( ) > 0, = 1时， ( ) = 0, ∴ ( ) ≥ 0, B对.
′
1
( ) = (3 2 1)l + ( 3 ) = (3 2 1)l + 2 1

√3 ′ √3 0 < < 时 ( ) > 0, < < 1时， ′( ) < 0,f (x)在(0,1)先增后减
3 3
> 1时， ′( ) > 0, f (x)在. = 1l 处取极小值, D 对, C错, 选 BD.
2
11.设曲线 : ∣ ∣= 1,直线 = + 与曲线 C的交点的可能个数的集合记为 D(a，b)，则
4
. ( , ) = *0, 1, 2, 3+ . ( , 2) = *0, 1, 2+
1
. ( , 3 ) = *0, 1, 2+ D. 若 ( , ) = *3+,则 ∣ ∣> 且 < 0
2
【答案】ACD
2
2 = 1, ≥ 0
【解析】方法一：曲线(C * 42 ,对于 A，如图， (
, ) = *0, 1, 2, 3+,

+ 2 = 1, < 0
4
A对.
对于 B, D(a,2)过 A(0,2), 过 A(0,2)的直线与曲线 C一定有交点, ∴B错.
对于 C， ( , 3 )过定点 B(3,0), 如图. ( , 3 ) = *0, 1, 2+, C对.
2 1 1 1
对于 D，双曲线 2 = 1的渐近线， = ± ,斜率 ± , ( , = *3+,则 ∣ ∣> 且 < 0, D 对.
4 2 2 2
2 2
方法二：曲线 C : ≤ 0时， + 2 = 1, > 0时， 2 = 1,作出曲线 C的大致图象如下：
4 4
1
当 l:y=-2, 此时 ( , ) = 0, : = , ( , ) = 1, : = 0, ( , ) = 2
2
: = 2, ( , ) = 3, ∴ ( , ) = *0, 1, 2, 3+, A正确.
对于 B，当 = 2时，直线 = + 2恒过定点 P(0,2),结合图象,. = + 2与曲线 C 至少有一个交点，
不可能无交点，故 B 错.
1
对于 C， = 3 时，直线 l： : = ( 3)恒过定点(3，0)，当 l 与双曲线渐近线 = 平行
2
时，即
当 l 与半椭圆相切时， ( , 3 ) = 1,相交时， ( , 3 ) = 2,其他情况至多两个
( , 3 ) = *0, 1, 2+, C正确.
对于 D，要使 ( , ) = *3+,，如图，则直线 l： = + 必然与双曲线同一上半支交于两点，并且与椭圆
1
交于一点，结合图象|a|必然大于双曲线渐近线的斜率== ∣ ∣> 且 < 0, D 正确.选: ACD.
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 曲线 = 3 在点(0，1)处的切线方程是 .
【答案】 = l 3 + 1
【解析】 ′ = 3 l 3, = l 3,切线 1 = l 3, ∴ = l 3 + 1.
13.已知⊙O是单位圆，正三角形 ABC的顶点 A，B在⊙O上，则|OC|的最大值为
【答案】2

【 解析】AB中点设为 M ，则 , , = = √3 .
t
6
锤子点评：题直线与圆的位置关系，最后用三角换元求出最值。
14.甲、乙、丙三人分别从 2 个不同的数中随机选择若干个数(可以不选)，分别构成集合 A，B，C，记
∩ ∩ 中元素的个数为 m，则 ≥ 1l 的概率为 .
15
【答案】
64
【解析】
方法一：A，B，C 总的情况有 43 = 64种， ≥ 1l 的情形分为①当 = 11 时, (i) 三
个集合均为{1}或{2}或 2种;
(ii) 有两个集合为{1}或{2}, 另一个集合为{1,2}, 有 12
2
3 = 6种；
(iii) 有一个集合为{1}或{2}, 另两个集合为{1,2}, 有 12
1
3 = 6种.
15
②当 = 22 时，则三个集合均为{1，2}有 1 种，共 15 种， ∴ = .
64
方法二：甲可选 0 个数， 1 个数，2 个数，共 4 个结果.乙丙的选择也有 4个结果.
3 人共有 43 = 64个结果. = 2时， 只有一个结果.
= 1时，不妨设原来的两个数为 {1， 2}，则 = = = *1+, 1 个结果，
= = = *2+, 1 个结果.
1+1+1+12 15
若 A，B，C有 1 选 2 个数时共有 12 (
1
3 +
2
3 ) = 12, = = . 64 64

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