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2025届高三第一次模拟考试
数学试题
注意事项：
1 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在
试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔
和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4 .考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的。
1 .设集合A = {#c2V10},B={R|r=3”-lT]Z}JlUnB =
A. {-1,4} B. {-2,1} C. {-1) D. {-1,2}
.2.已知向量a=(3,m),6 = (1,-1),且|。+ 6|=5,则加的值为
A. 4 B. -2 C, 4或一2 D. .2
3.设S.为等差数列{4}的前几项和，若S4 = 2(S2 + S3),g】 = 1,则即=
A. -14 B. -12 C. 12 D. 14
4,设0 = 5。。6 =年)°,。= 1唯2,则《汤述的大小关系为
A. a5 .函数f(z)=疝一 | Inz + 11有且只三个零点，则m的取值可以是
A. 3 B. e C. 1 D.-
e
6 .已知抛物线/ = 2件的焦点为F,点A,B,C在抛物线上，F为ZkABC的重心，且
|荏| + |网+|图=12,则p的值为
A. 3 B. 4 C, 5 D. 6
7 .巳知三梭锥4一88中，。。 1平面481)48 = 4。= 25/1田。=6,8 = 2,则三
棱锥A — BCD的外接球表面积
A. 12n B. 24n C. 40n * D. 52n
8 .在△ABC中，Nj3AC=12(T,。为边BC的中点，且AD = 1,则2AB + AC的最大
值为
A. 3 B. 3/3 C. D. 2同
'高三数学试题第1页(共4页)
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9,下列选项正确的是
A.设X是随机变流，若X N(3,2),则E(X)= 3
B.巳知某组数据分别为1,2,3,5,6,6,7,9,则这组数据的上四分位数为6
C.二项式-工)'展开式中的常数项为一8
X
D.设*是随机变髭，若X 口卜］｝则D(3X+5)=6
10.巳知函数f(了)= 2逐sinRCOsA.函数/(动的最小正周期为n
B.函数〃工)的图象关于点(一三,0)中心对称
C.函数的图象向左平移5个单位，得到的函数图.象关于y轴对称
D.函数g(1)=f(①)一az在 上不单调，则a的取值范围为(-4,2)
11 .已知函数〃1)=］3 +42+= + 〃在(-8,0］上是增函数,在［0,2］上是减函数,且
方程/(z) = 0有3个不等实根，它们分别为见明2,则
A.实数c为。 B.工+工为定值 C. /(1)>3 D. |m-n|>3
m n
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共计15分。
12 .设a是第二象限角,P(z,l)为其终边上一点，且cosa = "^tana=__ .
13 .巳知刘,尸2分别为双曲线eg 一 <=1(q>0,，6>0)的左,右焦点，以玛玛为直径'
的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点P,过点P作另一条渐近线的垂线，点玛
恰在此垂线上，则双曲线C的离心率为.
14 .现有"个串联的信号处理器单向传输信号,处理器的工作为:接收信号— 处理并产
生新信号— 发射新信号.当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号
和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会
产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但
由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器.当第一个处
理器只发射一个A类信号至第二个处理器,按上述规则依次类推，若第〃个处理器发
射的B类信号数量记作心，即仇=0,则右=数列｛6 J的通项公式 3
高三数学试题第2页(共4页)
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步躲。
15 .（13 分）
在四梭锥Q-ABCD中，底面ABCD是菱形，/人BC=6（T,4D = 2,QD = QA.
⑴若QA = /^,QC = /7.证明坪面QAD_L平面从BCD；
16 .（15 分）
已知函数/（1）=5以‘一（。4- 3）x4- Inx.
（1）当。=2时,求曲线y=f（N）在（1/（1））处的切线方程;
（2）讨论函数“N）的单调性.
17 .（15 分）
为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器
人在动态环境中执行路径规划任务.任务规则如下:该机器人褥要依次通过5个关键区
域,成功通过3个区域即认为其完成任务.每个区域存在动态障碍物,机器人成功通过一
个区域的概率为工被障碍物阻挡的概率为J.每成功通过一个区域得6分，每被障碍物
阻挡一次扣3分.每个区域的测试结果相互独立，若机器人累计成功通过3个区域，任务
提前结束,若机器人被障碍物阻挡的次数达到3次，则任务无法完成，任务结束.
（1）若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率；
（2）记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X,求X的分布列和数学期显.
高三数学试题第3页（共4页）
18 .(17 分)
已知椭圆E:/ + $ = l(a>6>0)过G(—4,0),H(2,3)两点，椭圆E的所有外切
矩形的顶点在一个定回Q：/ + y = / +加上,称此圆为椭圆E的蒙日圆.
(1)求椭圆E的标准方程； 外、,》
(2)矩形ABC。为椭圆E的外切矩形，求矩形 /二
ABC。面积的取值范围； 卜 广、x
(3)过椭圆E的蒙日圆上一点尸作椭圆的两条切 卜 __
线，切点分别为M,N,且直线OM,ON的斜率品口区］\ j/ 柒
都存在，证明".戊附为定值.
19 .(17 分)
数学中的数除了实数、复数之外，还有四元数.一般地，形如z = a +友+数为四元数，其中a,6,c,d都是实数都是虚数单位，这些虚数单位满足产=/ =
5=—1.其中z的模为= +6 + c2 +/2 #的共舸四元数记作一历一回一
成.给定两个四元数，可以进行同复数类似的加减运算，例如：(a】 +仇 +c】j+d㈤+
(a2+ 6zx+ Ctj + 〃2%)=(。1 +。2)+(优 + 占2” + + + G)，+(4 + 42)人对于四元数
的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律，规定：歹=一八=居於=一均=%.
ki = _ ik=j.
(1)若z= 1 + 2 +町+ 4"求z三的值；
(2)已知四元数21, = & +。/+ 4，十乙*.
①若外=( ) , 4=了春，q=sin , 4=^— 一，求证：lz】+ 与 + z3H--- Fz l<2；
②若数列｛词,｛九｝，亿｝,｛4｝均为正项数列，且|2】+ 22 +勾+-+与|="匕为常
T 2
数)，求证：3|2+|与『+区『+…
n
高三数学试题第4页(共4页)
2025届高三一模数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
ID 2.C 3.A 4.B 5B 6.B 7.D 8.C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.如果选择题有三个正确答案，答对一
个给2分，二个给4分，全答对给6分：如果有两个正确答案，答对一个给3分，全对给6分。若有选错
的本小题得0分。
9. AC 10.ACD 11.ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共计15分。
12.13.2
3
0 , 〃 = 1
14. 8, （第一空2分，第二空3分）
3 x 2"~2 -n^n > 2
14. 简析：设第n个处理器发射的A类信号款信记为%,第n个处理器发射的B类信号数量记为4，
% =1,4=0由题意逐步递推可得4=8.
由题意可得时，an-n-\,
当2时也=* +2>_】,即"=〃-2 + 2岫
可得6. + 〃 = 2（"t +/7-1）,计算得勾=3*2""N2）
[0 , /7= 1
所以,
3x2-2_〃,〃n2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）
解：（1）证明：连接C与AD的中点0,再连接。。
. 乙45c = 60°，底面力BCD是菱形
:.COl.AD,CO = yl3
又 / AD = 2,0D = QA = 45
00 LAD,00 = ylQD2-OD2 = 2
1
又QC =不 由勾股定理可得QU = CO2+OQ2
/. CO 1OQ '： AD u 平面4。。,00 u 平面400
平面力。。
又-CO u平面力38 所以平而Q4D1平面ABCD.
（2）解法1：由（1）可得C。、0。、力。两两垂直
以。0、0D、。0分别为x、A z轴建立空间直角坐标系
设。。=/ 则 ^（0,-1,0）,C（V3,0,0,）,L＞（0,1,0）,2（0,0,/）
由Q）知平面QWJ■平面加C。，
又因为〃0_L四，可得0Q.#而四⑶
所以平面力C。的法向量可设为力=做仪。
设平面CO0的法向量为比=（x,y,=）,
友=忘-1,0）诙=（0,-1/）
则/满足令x=l,则、=0/ =号
又因为二面角Q — CO — /的大小为60°;cos,蔡）=g
解法2：
过点0做如 LCD与点H ,链接QH
由 ⑴ 知平面,。JL平面43CD,又因为0。LAD,可得。。J.面片用刀
Q
所以。0_L平面力5c。，0。_L切网得O0_L平面力
OQ LCD ,所以N0M二面角。一C。一%的平面角即/幽 =60°
2 B C
在bODH中，可求得OH =—
2
设3=房则00 =7r-l
在R1AQH0中，360 =罚=飞「=爽
~T
解得才=姮，即op=』l
2 2
16. (15 分)
解：(1)当 a = 2 时，f(x)=3x2 -5x + lnx , x>0,
/'(x) = 6x — 5 + J 所以/'(1 肛2,又〃1)=3-5 = -2,
所以曲线歹= /(x)在点(1,/(1))处的切线方程为歹+2 = 2(x-l),即歹= 2x-4
(2) /，3 =的土31 =—空—>0)，
X X
当aWO,令/'仁)=0得x=工，由/'(x)>0得0!，
3 3 3
1 (1 A
所以/(X)的单调递增区间为(0, ,单调递减区间为|j,+8j
当a>0,令/'(幻=。得X] =：,
。~ 3
当00得0,，由，(x)<0得,<工3 a 3 a
所以/(x)的单调递增区间为呜)和g+oo),单调递减区间为
当a = 3时，/(幻=色二1)_之0,所以/(x)的单调增区间为(0,*o),无单调减区间;
X
当a>3时，由/'(x)>0得01,由/'(x)<0得La 3 a 3
所以/(X)的单调增区间为(o')和(；,+8),单调递减区间为
17. (15 分)
3
（1） 4 为事件 a, P（A）= C] f|
2 2 8
解： 设“任务在第 个区域终止且机器人成功完成” 5 27
(2) X的可能取值为 18, -9, 15, -3, 12, 3,
则P M P(X2) = 1
27
P(^ = 15) = CU1 2 2、 亲 P(X = -3) = C；工丫
7
2 2
停唱一（务
P(X = 12) = C； I1 2 .，P(X = 3) = C； 8--- , 81
X的分布列如表所示
X —9 -3 3 12 15 18
1 2 8 16 8
P
27 27 81 81 27 Q7
i 2
E(X)= —9x (—3)x +3x + 15x±+18x± = 107所以 药+ 万
27 27 9
18. (17 分)
解：（1）由题意设椭圆E的标准方程为 +4=1
因为椭圆E过G(-4,0), HQ,3)
4=1
所以满足, a2 = 164 .9 _
a2 十官一 b2 = 12
所以椭圆E的标准方程为5+烂1.
(2)
因为矩形ABCD为椭圆E的外切矩形，所以矩形ABCD为椭圆E的蒙日圆的内接
矩形，由题意可知椭圆E的蒙日圆方程为x2 + y2 = 28,
设原点到AD的距离为d,过点。做AD的垂线段OS,垂足为S ，则OS=d,
OS交椭圆与点R,设AD与椭圆切与点T,链接0T,
显然"KdWOT,点R和T为椭圆上的点,
所以勿 ，。7取值范围都为卜43,4]所以W4）
AB=2d,贝I」AD =2528-1
4
矩形 ABCD 的面积 s= |力叫X I = 4&28-/)/=47-(^2-14)2 + 142
因为"2 e[l2,16],
所以矩形ABCD面积S [323.56].
(3)证明：设直线PM所在直线方程为y = kx + t,
与哈+。=1联立得得+出泮=1,
整理得(3 + 4k2)x2 + 8A/X+ 4/ -48 = 0，
因为直线PM与椭圆E相切所以△ =(8切2 -4(3+4/加2 _48)= 0.
Abt
整理得产=1642+ 12 此时M点的横坐标为修,=-丁77T,
3 + 4 k
.(4Az 1 , 37， , 3
设直线PN所在直线方程为y = ± X + s, Qv =彳
9
所以卜0河 k0N =-- 所以koM，k。n为
19. (17 分)
解：(l)z 亍= (l + 2，+3/ + 4”Xl — 2，— 3J —4%)
= i(l-2/-3j-4A)+2/(l-2/-3y-4A)+3j(l-2/-3y-4A>+^(l-2/-3y-4^)
= l-2i-3j—4k+2i—4i -6ij—市 k+3j-6ji—9/一I2jk+4k—8ki^3kR16k2
=1—2/—3j—4k +2/+4—6Z+8J+3/ +6Z+9—12/ +4% —8/ + 12/+16
=1+4+9+16=30
<2)①由题意可知与+二，+为+~+=“
=(% +% +…+ 可)+(4 +4 + …+ 6〃> + (C[ +c + …+c”》+(4 +& +…+ d“)k
则
|-1 +-2 +三3 + …+2〃|
=必+%+…+%y+(4+&+…+bj+(4+。2+. +%)+(4+&+...+4J
bn = —z---=------ , A + A = 1--- 1----- f h-------= 1-----< 1
+ 1 2 2 3 n n + \ n + \
c.t — si,n —n7r , G + C2 +…+ % = 1 +0 + (- 1)+0 + 1 + 0 + (-1) + 0 + ... + $仙学=0或1;
〃 2
5
所以 + % + …+。〃) + (4 + & + ，，+ 6〃) + (。］++ …+ %)~ + 1 + & + …+ dn< 2
\z［ + z2+z3+--+z \<2
②由匕］+々+为+…+4 =」可得
血+%+ …+ q,)2+(q+d+…+ 幻2+(q+C2+ …+ %)2+(4 + /+.- + 4,)2 =L
即(％ +% +…+ %, j +(4 +% +…+ 幻2 +(q +。2+…+cj +(4 +2 + …+d“)2 = J}
又因伉 +%+…+ q,)2 = q(4+& + …+ %)+%(%+%+…+ %)+…+ 4(q+%+, , + /)
= (aj +…+。1%)+(/根*2~ +…+ /%)+…+("M + 〃"% + …+ %；)
) + ■
o 2 0 2
+ (%二尤+ 应+…+嫣)
2 2 "
=〃卜；+%2+... + %：) (1)式
当且仅当q=% =…=%时"=”成立；
同理(4 +仇 + …+ bj +02 + …+“)； (2)式
(C1 + c2 + + c,；)2 < w^ |2 + c22 + + < 2)； (3、)式
(4 + 出 + …+ "J- W 〃(d「+ + , , + d”~)； 奥M 式
(1) + (2) +(3) + (4)式得
(q +a2 + …+ a“)- +(4 +优 +…+ 4)- +(G +。2 +…+ %)- +(4 +4 +% + dJ
< +%2 +... + 42)+从6； +b22 + + %，+〃■ +4 +…+ c「)+〃(dj +42 +…+ 4：)
所以一 一
〃(42 +%2 +…+ %2)+〃肾 +&2 +…+b,j)+〃6 +C22 + …+ C“2)+加；+ d^ +'''+d^> 2
HF+匕2 「+"|2+…+ 蜀2
=+ 42 + J +《2卜@2 + b2 + c2 +学井…+铸十”2+%2十/2 )
=0； +%2 + …+ %2)+,2+42 + …+42)+&： + C,2+ + ( ,+---+<2)
所以用， +川， +町， +…+町,党；2
6

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