资源简介

(共107张PPT)
4．机械能守恒定律
第八章　机械能守恒定律
整体感知·自我新知初探
[学习任务]　1．知道什么是机械能，知道动能和势能是可以相互转化的。
2．掌握推导机械能守恒定律的方法。
3．掌握机械能守恒定律的内容，理解守恒条件。
4．掌握运用机械能守恒定律解决问题的方法。
[问题初探]　问题1．只有重力做功，什么能量在相互转化？
问题2．只有弹簧弹力做功，什么能量在相互转化？
问题3．机械能守恒定律内容是什么？
[自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
1．伽利略的斜面实验探究(如图所示)
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由______释放，小球运动到斜
面B上。
知识点一　追寻守恒量　机械能守恒定律
静止
(2)实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的______，不会更高一点，也不会更低一点。
(3)实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是________。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
高度
不变的
2．动能与势能的相互转化
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能______，动能______，__________转化成了动能；若重力做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，______转化为__________。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能______，物体的动能______，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则弹性势能增加，物体的动能减少，动能转化为弹性势能。
(3)机械能：__________、弹性势能和______都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
减少
增加
重力势能
动能
重力势能
减少
增加
重力势能
动能
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以__________，而总的机械能__________。
(2)表达式：
①Ek2－Ek1＝__________，即ΔEk增＝_______。
②Ek2＋Ep2＝__________。
③E2＝____。
(3)守恒条件：物体系统内只有______或______做功。
互相转化
保持不变
Ep1－Ep2
ΔEp减
Ek1＋Ep1
E1
重力
弹力
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下 (忽略轨道的阻力和其他阻力) 。
【问题】
(1)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？
(3)过山车下滑过程中动能与势能的和怎样变化？
提示：(1)过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功。
(2)动能增加，重力势能减少。
(3)动能与势能的和不变。
1．动能与势能的相互转化
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
【微提醒】　机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
角度1　动能与势能的相互转化
【典例1】　(动能与势能)(多选)关于奥运会比赛项目撑竿跳高中的有关情境，下列说法正确的是(　　)
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加
√
√
√
ACD　[加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑竿从开始形变到撑竿恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，竿的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。]
角度2　机械能守恒的判断
【典例2】　(选自教科版教材·机械能守恒的判断)(多选)下列叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒
C．合力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
√
√
BD　[做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，机械能增加，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒，如水平面上做匀加速直线运动的物体，机械能增加，故B正确；外力对物体做功为零，物体的机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，合力对物体做功为零，机械能增加，故C错误；系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故D正确。]
【典例3】　(选自教科版教材·机械能守恒的判断)(多选)“神舟”载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　)
A．飞船升空的阶段
B．飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
√
√
BC　[飞船升空的阶段，推力做正功，飞船的机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受万有引力作用，重力势能和动能之和保持不变，飞船的机械能守恒，B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有万有引力做功，飞船势能减小，动能增加，飞船的机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，飞船克服空气阻力做功，机械能减小，D错误。]
如图所示，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它滑到高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力，重力加速度为g)：
知识点二　机械能守恒定律的应用
【问题】
(1)小球的重力势能减少了多少？
(2)小球的动能增加了多少？
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？
1．机械能守恒定律的不同表达式
表达式 物理意义 说明
从不同
状态看 守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须选参
考平面
表达式 物理意义 说明
从转化
角度看 转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选参考平面
从转移
角度看 增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
【典例4】　(选自教科版教材·重力作用下物体的机械能守恒)在水平地面以20 m/s的速度将一物体竖直上抛。若以水平地面为零势能面，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体上升的最大高度；
(2)物体在上升过程中其重力势能和动能相等的位置距地面的高度。
[答案]　(1)20 m　(2)10 m
【典例5】　(重力和弹力作用下的机械能守恒)如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，不计空气阻力，那么(　　)
A．动能和弹性势能之和先增大后减小
B．重力势能和弹性势能之和保持不变
C．重力势能和动能之和增大
D．重力势能、动能与弹性势能之和保持不变
√
D　[由于只有重力和弹簧弹力做功，则小球与弹簧组成的系统满足机械能守恒，重力势能、动能与弹性势能之和保持不变；由于重力势能逐渐减小，则动能和弹性势能之和逐渐增大；由于动能先增大后减小，则重力势能和弹性势能之和先减小后增大；由于弹性势能增大，则重力势能和动能之和减小。故选D。]
【典例6】　(重力和弹力作用下的机械能守恒)某同学来到游乐园内挑战蹦极项目。弹性绳一端固定在O点，另一端自由下垂到A点。工作人员将弹性绳自由端系在该同学身上，同学竖直跳下后先后到达A、B、C点，在B点加速度为0，C为运动的最低点。不计空气阻力、浮力，同学从跳下到最低点C的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．A到B过程中，该同学处于超重状态
B．A到B过程中，该同学的机械能一直在减少
C．在B点，该同学的机械能最大
D．B到C过程中，该同学的加速度一直增大，
弹性绳对他的拉力大于他对弹性绳的拉力
√
B　[B点是绳子弹力等于同学所受重力的位置，同学从A点运动到B点的过程中合力向下，加速度向下，处于失重状态，故A错误；从A点运动到C点的过程中绳子弹力与运动方向相反，一直做负功，同学机械能一直减小，故B正确，C错误；由牛顿第三定律可知，弹性绳对他的拉力等于他对弹性绳的拉力，故D错误。]
【典例7】　(非质点类物体机械能守恒)如图所示，柔软的绳索放置在光滑水平桌面上，a、c为绳索端点，b为绳索中点，且恰好处于桌面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静止释放绳索后，绳索开始滑动，直至刚离开桌面，此过程中c点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总质量为m，总长度为L，重力加速度为g。整个过程中，绳索的(　　)
√
【典例8】　(非质点类物体机械能守恒)一条长为l、质量为m的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，用手拉住链条的左端使整个链条保持静止，重力加速度为g。
(1)若用手缓慢向左拉动链条，当把整个链条都拉到桌面上时需要做多少功？
(2)若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时的速度多大？
√
√
√
1．轻绳连接的系统
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
知识点三　多物体的机械能守恒
2．轻杆连接的系统
①平动时两物体速度相等，转动时两物体角速度相等，沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3．轻弹簧连接的系统
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
【微提醒】　对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
【典例9】　(选自人教版教材·轻绳连接的系统机械能守恒)一条轻绳跨过光滑定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的2倍。用手托住B球，当滑轮两侧轻绳竖直且刚好被拉紧时，B球离地面的高度是h(h远小于滑轮离地的高度)，A球静止于地面，如图所示。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。现释放B球，求：
(1)当B球刚落地时，A球的速度大小；
(2)A球能上升的最大高度。
[思路点拨]　(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
【典例10】　(轻绳连接的系统机械能守恒)质量为2 kg的物体A和质量为1 kg的物体B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上。开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为1.6 m，如图所示。若不计一切阻力和摩擦，从静止开始放手让它们运动。(斜面足够长，g取10 m/s2)求：
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)绳的拉力对物体A做的功；
(3)物体A着地后，物体B还能沿斜面上滑的距离。
[答案]　(1)4 m/s　(2)－16 J　(3)1.6 m
【典例11】　(轻杆连接的系统机械能守恒)如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝3OB＝3l，将杆从水平位置由静止释放。(重力加速度为g)
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对B球做了多少功？
【典例12】　(轻杆连接的系统机械能守恒)如图所示，一根轻杆长为2L，中点A和右端点B各固定一个小球，mB＝2mA，左端O为光滑水平转轴。开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此过程中以下说法正确的是(　　)
A．A、B两球的机械能都守恒
B．A、B两球的机械能不守恒，但它们组成的
系统机械能守恒
C．这一过程O、A间轻杆对A球做正功
D．这一过程A、B间轻杆对A球做正功
√
√
规律方法　应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
【教用·备选例题】　
1．一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示。已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，重力加速度为g，
若不计一切摩擦，求：
(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。
2．在一长为3L的轻杆上离杆的O端L处固定小球A，在杆的另一端固定小球B，两小球与轻杆组成一个系统。如图甲所示，对轻杆系统的一端施加竖直向上的恒定拉力F ＝ 60 N，使系统加速向上运动，当系统上升的位移为h＝19 m时，系统动能的增加量为ΔEk＝57 J；如图乙所示，轻杆系统可绕O端自由转动，且将轻杆拉到水平位置由静止释放。已知小球A的质量为mA＝1.9 kg，L＝1 m，重力加速度为g＝10 m/s2。求：
(1)小球B的质量；
(2)在图乙中，轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中对小球B所做的功；
(3)在图乙中，当轻杆摆到竖直位置时，轻杆OA段拉力与AB段拉力大小之比。
A．小钢珠落到Q点前瞬间，重力的功率为0.25 W
B．小钢珠到达N点时，对上管壁的压力大小为0.05 N
C．小钢珠从N到Q的运动时间为0.4 s
D．弹簧枪储存的弹性势能为0.12 J
√
√
应用迁移·随堂评估自测
1．(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　　)
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
√
2
4
3
题号
1
B　[铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度，加速度保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D错误。故选B。]
2
4
3
题号
1
2．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
2
3
题号
1
4
√
2
3
题号
1
4
2
3
题号
4
1
√
√
√
2
3
题号
4
1
2
4
3
题号
1
√
2
4
3
题号
1
回归本节知识，完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
阅读材料·拓宽物理视野
潮汐发电
由于月球、太阳的引力以及地球自转的影响，海水和江水每天有两次的涨落现象，早上的称为潮，晚上的称为汐。潮汐作为一种自然现象，为人类的航海、捕捞和晒盐等活动提供了方便。
潮汐发电是一种水力发电的形式，其原理如图所示。在涨潮时将海水储存在水库内，储存重力势能；在退潮时放出海水，利用高、低潮位之间的落差，将海水的重力势能转化为动能，推动水轮机旋
转，带动发电机发电，与河水不同的是，海水涨潮与退潮落差不大，但流量较大，并且呈间歇性。相比风能与太阳能这些受环境影响较大的能源，利用潮汐发电，工作时间可预知，能量规模庞大且稳定，能产生洁净无污染的高质量能源。
我国潮汐能资源丰富。据不完全统计，全国潮汐能蕴藏量为1.9亿千瓦，其中可供开发的约3 850万千瓦。我国潮汐能发展起步较早，1957年就在山东建成了第一座潮汐发电站。目前，我国潮汐电站总装机容量已有1万多千瓦，在我国优化电力结构、促进能源结构升级的大背景下，发展潮汐发电是顺应社会趋势之为。
问题　(1)潮汐发电站发电过程中发生了怎样的能量转化？
(2)若减少的重力势能全部用于发电，那么一装机容量为 1 000 kW 的发电站，每天至少有多少重力势能转化为电能？
提示：(1)重力势能转化为动能，推动水轮机转动，带动发电机发电。
(2)每天发出的电能即为至少转化的重力势能，大小为1 000× 103×24×3 600 J＝8.64×1010 J。
?题组一　机械能守恒条件及判断
1．下列说法正确的是(　　)
A．物体做匀速直线运动的过程中，机械能一定守恒
B．物体做匀变速直线运动的过程中，机械能不可能守恒
C．物体做匀速圆周运动的过程中，机械能一定守恒
D．物体做抛体运动的过程中，机械能一定守恒
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
√
10
11
12
课时分层作业（十七）
D　[物体做匀速直线运动，只能保证动能不变，重力势能可能改变，机械能不一定守恒，A错误；物体做自由落体运动时，只有重力做功，机械能守恒，B错误；如果小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则动能不变，重力势能在不断地变化，机械能不守恒，C错误；物体做抛体运动的过程中，只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2．(多选)如图所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是(　　)
A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图丙中如果小车运动时，木块相对于小车滑动
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
AC　[弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故选项A正确；运动员越跳越高，表明运动员在不断做功，机械能不守恒，故选项B错误；由于一对静摩擦力做功的代数和为0，系统中只有弹簧弹力做功不为0，机械能守恒，故选项C正确；滑动摩擦力做功的代数和不为0，系统机械能不守恒，故选项D错误。]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中(　　)
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C　[斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4．(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
AC　[在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。]
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
?题组二　机械能守恒定律的应用
5．如图所示，以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则(　　)
A．h1＝h2>h3　　　　 B．h1＝h2C．h1＝h3

h2
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9．(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一固定圆弧轨道BC，它与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。长为R的轻杆的两端分别固定小球a、b(可视为质点)，小球a的质量为m，小球b的质量为3m，现使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后将其由静止释放，小球a、b沿轨道下滑且始终与
轨道接触，重力加速度大小为g，下列说法正确
的是(　　)
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10．如图所示，一根轻弹簧竖直立在水平地面上，一小球从距弹簧上端h0处自由下落到将弹簧压缩至最短的过程中，弹簧始终处于弹性限度内。若以地面为零势能面，则小球下降过程中的机械能随下降的高度h变化的关系图像可能为(　　)
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A　　　　　　 　　　B
C　　　　　　 　　　D
√
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11．如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，细绳在伸直时，沿绳方向速度变为零，绳摆动速度不变，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小为3.5mg，方向竖直向下。
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12．如图所示，套在光滑竖直细杆上质量为m的小球B，由跨过小定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为2m的重物A相连。杆与定滑轮的距离为l，初始时B与定滑轮等高。静止释放重物A，全程A、B都未接触滑轮和地面，重力加速度大小为g，求：
(1)小球B最大下落高度；
(2)当小球B下落h＝l时，A的速度大小。
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
124．机械能守恒定律
[学习任务]　1．知道什么是机械能，知道动能和势能是可以相互转化的。
2．掌握推导机械能守恒定律的方法。
3．掌握机械能守恒定律的内容，理解守恒条件。
4．掌握运用机械能守恒定律解决问题的方法。
[问题初探]　问题1．只有重力做功，什么能量在相互转化？
问题2．只有弹簧弹力做功，什么能量在相互转化？
问题3．机械能守恒定律内容是什么？
[自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
机械能守恒定律
　追寻守恒量　机械能守恒定律
1．伽利略的斜面实验探究(如图所示)
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上。
(2)实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。
(3)实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是不变的。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
2．动能与势能的相互转化
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，动能转化为重力势能。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则弹性势能增加，物体的动能减少，动能转化为弹性势能。
(3)机械能：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)表达式：
①Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减。
②Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
③E2＝E1。
(3)守恒条件：物体系统内只有重力或弹力做功。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下 (忽略轨道的阻力和其他阻力) 。
【问题】
(1)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？
(3)过山车下滑过程中动能与势能的和怎样变化？
提示：(1)过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功。
(2)动能增加，重力势能减少。
(3)动能与势能的和不变。
1．动能与势能的相互转化
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)

【微提醒】　机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
　动能与势能的相互转化
【典例1】　(动能与势能)(多选)关于奥运会比赛项目撑竿跳高中的有关情境，下列说法正确的是(　　)
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加
ACD　[加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑竿从开始形变到撑竿恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，竿的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。]
　机械能守恒的判断
【典例2】　(选自教科版教材·机械能守恒的判断)(多选)下列叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒
C．合力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
BD　[做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，机械能增加，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒，如水平面上做匀加速直线运动的物体，机械能增加，故B正确；外力对物体做功为零，物体的机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，合力对物体做功为零，机械能增加，故C错误；系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故D正确。]
【典例3】　(选自教科版教材·机械能守恒的判断)(多选)“神舟”载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱(与地球组成的系统)的机械能是守恒的(　　)
A．飞船升空的阶段
B．飞船绕地球在椭圆轨道上的运行阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
BC　[飞船升空的阶段，推力做正功，飞船的机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受万有引力作用，重力势能和动能之和保持不变，飞船的机械能守恒，B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有万有引力做功，飞船势能减小，动能增加，飞船的机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，飞船克服空气阻力做功，机械能减小，D错误。]
　机械能守恒定律的应用
如图所示，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它滑到高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力，重力加速度为g)：
【问题】
(1)小球的重力势能减少了多少？
(2)小球的动能增加了多少？
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？
提示：(1)重力势能的减少量为ΔEp＝mgh1－mgh2。
(2)动能增加量为ΔEk＝。
(3)小球下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，表达式为。
(4)由(3)变形可知mgh1－mgh2＝，即小球重力势能减少量等于动能增加量。
1．机械能守恒定律的不同表达式
表达式 物理意义 说明
从不同 状态看 守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须选参 考平面
从转化 角度看 转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选参 考平面
从转移 角度看 增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
【典例4】　(选自教科版教材·重力作用下物体的机械能守恒)在水平地面以20 m/s的速度将一物体竖直上抛。若以水平地面为零势能面，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)物体上升的最大高度；
(2)物体在上升过程中其重力势能和动能相等的位置距地面的高度。
[解析]　(1)物体上升的最大高度，根据机械能守恒
mgH＝
解得
H＝20 m。
(2)设物体上升的高度为h时重力势能和动能相等
＝mgh＋mv2
又
mgh＝mv2
解得
h＝10 m。
[答案]　(1)20 m　(2)10 m
【典例5】　(重力和弹力作用下的机械能守恒)如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，不计空气阻力，那么(　　)
A．动能和弹性势能之和先增大后减小
B．重力势能和弹性势能之和保持不变
C．重力势能和动能之和增大
D．重力势能、动能与弹性势能之和保持不变
D　[由于只有重力和弹簧弹力做功，则小球与弹簧组成的系统满足机械能守恒，重力势能、动能与弹性势能之和保持不变；由于重力势能逐渐减小，则动能和弹性势能之和逐渐增大；由于动能先增大后减小，则重力势能和弹性势能之和先减小后增大；由于弹性势能增大，则重力势能和动能之和减小。故选D。]
【典例6】　(重力和弹力作用下的机械能守恒)某同学来到游乐园内挑战蹦极项目。弹性绳一端固定在O点，另一端自由下垂到A点。工作人员将弹性绳自由端系在该同学身上，同学竖直跳下后先后到达A、B、C点，在B点加速度为0，C为运动的最低点。不计空气阻力、浮力，同学从跳下到最低点C的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．A到B过程中，该同学处于超重状态
B．A到B过程中，该同学的机械能一直在减少
C．在B点，该同学的机械能最大
D．B到C过程中，该同学的加速度一直增大，弹性绳对他的拉力大于他对弹性绳的拉力
B　[B点是绳子弹力等于同学所受重力的位置，同学从A点运动到B点的过程中合力向下，加速度向下，处于失重状态，故A错误；从A点运动到C点的过程中绳子弹力与运动方向相反，一直做负功，同学机械能一直减小，故B正确，C错误；由牛顿第三定律可知，弹性绳对他的拉力等于他对弹性绳的拉力，故D错误。]
【典例7】　(非质点类物体机械能守恒)如图所示，柔软的绳索放置在光滑水平桌面上，a、c为绳索端点，b为绳索中点，且恰好处于桌面边缘。开始时绳索在外力的作用下处于静止状态，由静止释放绳索后，绳索开始滑动，直至刚离开桌面，此过程中c点未落至地面。已知质量分布均匀的绳索总质量为m，总长度为L，重力加速度为g。整个过程中，绳索的(　　)
A．重力势能减少了mgL
B．末速度为
C．动能增加了mgL
D．机械能增加了mgL
B　[选零势能参考平面，此题可以以桌面为参考平面。分析整个过程中绳索重力势能的减少量，重力势能减少了ΔEp＝－mgL。整个过程中，绳索满足机械能守恒，机械能保持不变，可知绳索动能增加了ΔEk＝ΔEp＝mgL，设绳索末速度大小为v，则有ΔEk＝mv2－0＝mgL，解得v＝，故选B。]
【典例8】　(非质点类物体机械能守恒)一条长为l、质量为m的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，用手拉住链条的左端使整个链条保持静止，重力加速度为g。
(1)若用手缓慢向左拉动链条，当把整个链条都拉到桌面上时需要做多少功？
(2)若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时的速度多大？
[解析]　(1)根据功能关系可知，把整个链条都拉到桌面上时需要做功为
WF＝mg·l＝mgl。
(2)若撤去F，当整个链条全部脱离桌面时，设速度大小为v，根据机械能守恒可得
mg·l＝mv2
解得
v＝。
[答案]　(1)mgl　(2)
【教用·备选例题】　
1．有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力加速度g＝10 m/s2，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 m/s，则金属链条的长度为(　　)
A．0.6 m B．1 m　　
C．2 m　　 D．2.6 m
C　[设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin 30°－×2mg×＋0＝－mgL(1＋sin 30°)，链条全部滑出后，动能为E′k ＝ ×2mv2，重力势能为E′p＝－2mg，由机械能守恒可得E＝E′k＋E′p，即－mgL(1＋sin 30°)＝mv2－mgL，解得L＝2 m，故选C。]
2．(多选)如图所示，可视为质点的物块与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的上端固定在天花板上，让物块从A点由静止释放，当物块运动到B点时速度刚好为0，且弹簧刚好处于原长，O点是AB 的中点，O、B两点间的距离为h，已知物块在O点时，加速度恰好为0，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是(　　)
A．物块从A到B的过程中，物块的机械能先增大后减小
B．物块在B点刚好处于完全失重状态
C．物块在O点时动能达到最大值
D．物块的质量为
BC　[当物块运动到B点时速度刚好为0，且弹簧刚好处于原长，物块从A到B的过程中，弹簧弹力始终对A做正功，物块的机械能增大，故A错误；物块在 B点只受重力作用，刚好处于完全失重状态，故B正确；已知物块在O点时，加速度恰好为0，速度最大，动能最大，故C正确；在O点mg＝kh，解得m＝，故D错误。]
　多物体的机械能守恒
1．轻绳连接的系统
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
2．轻杆连接的系统
①平动时两物体速度相等，转动时两物体角速度相等，沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3．轻弹簧连接的系统
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
【微提醒】　对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
【典例9】　(选自人教版教材·轻绳连接的系统机械能守恒)一条轻绳跨过光滑定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的2倍。用手托住B球，当滑轮两侧轻绳竖直且刚好被拉紧时，B球离地面的高度是h(h远小于滑轮离地的高度)，A球静止于地面，如图所示。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。现释放B球，求：
(1)当B球刚落地时，A球的速度大小；
(2)A球能上升的最大高度。
[思路点拨]　(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
[解析]　(1)B球下落的过程中，由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒
2mgh－mgh＝(2m＋m)v2
整理得
v＝。
(2)B球着地后，A球做竖直上抛运动，则由机械能守恒定律
mgh2＝mv2
解得
h2＝h
则A球上升的最大高度
H＝h＋h2＝h。
[答案]　(1)　(2)h
【典例10】　(轻绳连接的系统机械能守恒)质量为2 kg的物体A和质量为1 kg的物体B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上。开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为1.6 m，如图所示。若不计一切阻力和摩擦，从静止开始放手让它们运动。(斜面足够长，g取10 m/s2)求：
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)绳的拉力对物体A做的功；
(3)物体A着地后，物体B还能沿斜面上滑的距离。
[解析]　(1)物体A、B速度大小任意时刻相等，以地面为参考平面，A、B系统机械能守恒，根据机械能守恒定律有
mAgh＝mBgh sin 30°＋(mA＋mB)v2
代入数据解得
v＝4 m/s。
(2)对物体A，由动能定理
mAgh－W＝mAv2
解得
W＝－16 J。
(3)A着地后，B机械能守恒，则B上升到最大高度过程中，根据机械能守恒定律有
mBv2＝mBgx sin 30°
代入数据解得
x＝1.6 m。
[答案]　(1)4 m/s　(2)－16 J　(3)1.6 m
【典例11】　(轻杆连接的系统机械能守恒)如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝3OB＝3l，将杆从水平位置由静止释放。(重力加速度为g)
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对B球做了多少功？
[解析]　(1)设杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，小球A和B及杆组成的系统机械能守恒，则有
mg·3l－mgl＝
又
vA＝ω·3l，vB＝ωl
联立解得
vA＝，vB＝。
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对B球做的功等于B球增加的机械能，则有
W＝mgl。
[答案]　(1)　(2)mgl
【典例12】　(轻杆连接的系统机械能守恒)如图所示，一根轻杆长为2L，中点A和右端点B各固定一个小球，mB＝2mA，左端O为光滑水平转轴。开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动至竖直，在此过程中以下说法正确的是(　　)
A．A、B两球的机械能都守恒
B．A、B两球的机械能不守恒，但它们组成的系统机械能守恒
C．这一过程O、A间轻杆对A球做正功
D．这一过程A、B间轻杆对A球做正功
B　[两小球及轻杆组成的系统的机械能守恒，设摆到竖直时角速度为ω，mB＝2mA＝2m，则有m(Lω)2＋×2m(2Lω)2＝mgL＋2mg·2L，解得ω＝，即A的动能为EkA＝m(ωL)2＝mgL<＝mgL，B的动能为EkB＝mgL>＝4mgL，可知A球的机械能减少，B球的机械能增加，故A错误，B正确；由于A、B两球组成的系统机械能守恒，则下摆的过程O、A间轻杆的弹力沿杆方向不做功；由于A球的机械能减少，则A、B之间轻杆对A球做负功，故C、D错误。]
【典例13】　(轻弹簧连接的系统机械能守恒)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，重力加速度为g，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
A．弹簧对圆环先做正功后做负功
B．弹簧弹性势能增加了mgL
C．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终减小
D．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
B　[弹簧一直伸长，故弹簧对圆环一直做负功，故A错误；由题可知，整个过程动能的变化量为零，根据几何关系可得圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律可知弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能量的减小量，即ΔEp弹＝－ΔEp重＝mgh＝mgL，故B正确；弹簧与圆环组成的系统机械能守恒，则有由于圆环在下滑到最大距离的过程中先是做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，所以动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，故C错误；圆环由静止开始下滑，速度增大，到最大距离时速度为零，可知圆环在运动的过程中先是做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，圆环下滑到最大距离时，所受合力竖直向上，且不为零，故D错误。]
　应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
【教用·备选例题】　
1．一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示。已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，重力加速度为g，若不计一切摩擦，求：
(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。
[解析]　(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点的过程，以A、B为系统，根据机械能守恒定律有
2mgR－mg(R)＝
球A沿绳的分速度等于球B的速度，则有
vA cos 45°＝vB
联立解得
vA＝。
(2)当A球速度为0时，A球沿圆柱面运动的位移最大，设为s，则根据机械能守恒定律得
2mg－mgs＝0
解得
s＝R。
[答案]　(1)　(2)R
2．在一长为3L的轻杆上离杆的O端L处固定小球A，在杆的另一端固定小球B，两小球与轻杆组成一个系统。如图甲所示，对轻杆系统的一端施加竖直向上的恒定拉力F ＝ 60 N，使系统加速向上运动，当系统上升的位移为h＝19 m时，系统动能的增加量为ΔEk＝57 J；如图乙所示，轻杆系统可绕O端自由转动，且将轻杆拉到水平位置由静止释放。已知小球A的质量为mA＝1.9 kg，L＝1 m，重力加速度为g＝10 m/s2。求：
(1)小球B的质量；
(2)在图乙中，轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中对小球B所做的功；
(3)在图乙中，当轻杆摆到竖直位置时，轻杆OA段拉力与AB段拉力大小之比。
[解析]　(1)根据动能定理有
Fh－(mA＋mB)gh＝ΔEk
解得小球B的质量为
mB＝3.8 kg。
(2)轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中对系统根据机械能守恒有
mAgL＋mBg·3L＝mA(ωL)2＋mB(ω·3L)2
解得
ω＝ rad/s
轻杆从水平位置摆到竖直位置的过程中对小球B根据动能定理有
mBg·3L＋W＝mB(ω·3L)2
解得
W＝12 J。
(3)根据牛顿第二定律有
FOA－FAB－mAg＝mAω2L
FAB－mBg＝mBω2·3L
轻杆OA段拉力与AB段拉力大小之比
。
[答案]　(1)3.8 kg　(2)12 J　(3)
3．(多选)如图所示，MN为半径R＝0.8 m、固定于竖直平面内的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，OP为水平桌面，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m＝5 g的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到与O点距离为2R的Q点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．小钢珠落到Q点前瞬间，重力的功率为0.25 W
B．小钢珠到达N点时，对上管壁的压力大小为0.05 N
C．小钢珠从N到Q的运动时间为0.4 s
D．弹簧枪储存的弹性势能为0.12 J
BC　[小钢珠从N点飞出后做平抛运动，竖直方向有t＝＝0.4 s，vy＝＝4 m/s，水平方向有vx＝＝4 m/s，小钢珠在N点，根据牛顿第二定律有mg＋N＝，解得N＝0.05 N，由牛顿第三定律可知，小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为0.05 N，小钢珠落到Q点前瞬间，重力的功率为P＝mgvy＝0.2 W，故A错误，B、C正确；根据机械能守恒有Ep ＝＋mgR＝0.08 J，故D错误。]
1．(2023·全国甲卷)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中(　　)
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
B　[铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度，加速度保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D错误。故选B。]
2．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C　[小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，下落h高度过程中，有mgh＝，解得v＝，选项B错误；设小环位置与P点连线所对的圆心角为θ，小环下滑过程滑过的弧长s＝Rθ，由几何关系知h＝R(1－cos )，则v＝，选项A错误；小环位置到P点的距离L＝2R sin ，h＝R(1－cos θ)，又1－cos θ＝2sin2，则h＝2R sin2，解得v＝＝L，可知v与L成正比，即小环的速率与小环到P点的距离成正比，选项C正确；小环位置与P点连线扫过的面积A＝R2θ－R2sinθ，分析知与v不成正比，选项D错误。]
3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是(　　)
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为
BCD　[以地面为零势能面，则物体落到海平面时的势能为－mgh，选项A错误；重力对物体做的功为mgh，选项B正确；根据动能定理，物体在海平面上的动能为Ek＝＋mgh，选项C正确；物体在地面上时的机械能为，物体的机械能守恒，则在海平面上的机械能为，选项D正确。]
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R　 B．　　　
C．　　　 D．
C　[设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，上升的高度为h′＝，解得h′＝R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝R，选项C正确。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
提示：＋mgh1＝＋mgh2。
潮汐发电
由于月球、太阳的引力以及地球自转的影响，海水和江水每天有两次的涨落现象，早上的称为潮，晚上的称为汐。潮汐作为一种自然现象，为人类的航海、捕捞和晒盐等活动提供了方便。
潮汐发电是一种水力发电的形式，其原理如图所示。在涨潮时将海水储存在水库内，储存重力势能；在退潮时放出海水，利用高、低潮位之间的落差，将海水的重力势能转化为动能，推动水轮机旋转，带动发电机发电，与河水不同的是，海水涨潮与退潮落差不大，但流量较大，并且呈间歇性。相比风能与太阳能这些受环境影响较大的能源，利用潮汐发电，工作时间可预知，能量规模庞大且稳定，能产生洁净无污染的高质量能源。
我国潮汐能资源丰富。据不完全统计，全国潮汐能蕴藏量为1.9亿千瓦，其中可供开发的约3 850万千瓦。我国潮汐能发展起步较早，1957年就在山东建成了第一座潮汐发电站。目前，我国潮汐电站总装机容量已有1万多千瓦，在我国优化电力结构、促进能源结构升级的大背景下，发展潮汐发电是顺应社会趋势之为。
　(1)潮汐发电站发电过程中发生了怎样的能量转化？
(2)若减少的重力势能全部用于发电，那么一装机容量为 1 000 kW 的发电站，每天至少有多少重力势能转化为电能？
提示：(1)重力势能转化为动能，推动水轮机转动，带动发电机发电。
(2)每天发出的电能即为至少转化的重力势能，大小为1 000×103×24×3 600 J＝8.64×1010 J。
课时分层作业(十七)
?题组一　机械能守恒条件及判断
1．下列说法正确的是(　　)
A．物体做匀速直线运动的过程中，机械能一定守恒
B．物体做匀变速直线运动的过程中，机械能不可能守恒
C．物体做匀速圆周运动的过程中，机械能一定守恒
D．物体做抛体运动的过程中，机械能一定守恒
D　[物体做匀速直线运动，只能保证动能不变，重力势能可能改变，机械能不一定守恒，A错误；物体做自由落体运动时，只有重力做功，机械能守恒，B错误；如果小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则动能不变，重力势能在不断地变化，机械能不守恒，C错误；物体做抛体运动的过程中，只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。]
2．(多选)如图所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是(　　)
A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图丙中如果小车运动时，木块相对于小车滑动
AC　[弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故选项A正确；运动员越跳越高，表明运动员在不断做功，机械能不守恒，故选项B错误；由于一对静摩擦力做功的代数和为0，系统中只有弹簧弹力做功不为0，机械能守恒，故选项C正确；滑动摩擦力做功的代数和不为0，系统机械能不守恒，故选项D错误。]
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中(　　)
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
C　[斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
4．(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
AC　[在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。]
?题组二　机械能守恒定律的应用
5．如图所示，以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则(　　)
A．h1＝h2>h3　　　　 B．h1＝h2C．h1＝h3

h2
D　[竖直上抛和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝，所以h＝，斜上抛运动物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝，所以h26．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两侧液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　)
A．　B．　C．　D．
A　[设液体总质量为m，当两侧液面高度相等时，相当于右管h高的液体移到左管，重心下降，这部分液体质量为，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得，解得v＝，选项A正确。]
7．如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　　)
A． B．
C． D．
B　[从小物块滑入轨道到轨道上端，根据机械能守恒定律有mv2＝＋mg·2R，小物块水平飞出后，根据平抛运动的规律有x＝v0t，2R＝gt2，联立可得x＝，结合数学知识可知，当R＝时，水平距离最大，选项B正确。]
8．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hA． B．
C． D．
A　[A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝(m＋3m)v2，解得v＝，又h9．(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一固定圆弧轨道BC，它与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。长为R的轻杆的两端分别固定小球a、b(可视为质点)，小球a的质量为m，小球b的质量为3m，现使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后将其由静止释放，小球a、b沿轨道下滑且始终与轨道接触，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．下滑过程中a球的机械能减小
B．下滑过程中b球的机械能减小
C．小球a滑过C点后，a球的速度大小为
D．从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做的功为mgR
AD　[根据题意，对于两个小球组成的系统，下降过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律有mg·2R＋3mgR＝(m＋3m)v2，解得v＝，则小球a的机械能变化量为ΔEa＝－mg·2R＝－mgR，则小球b的机械能变化量为ΔEb＝－ΔEa＝mgR，即下滑过程中a球机械能减小mgR，b球机械能增加mgR，故A正确，B、C错误；根据题意，设从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做功为W，对小球b，由动能定理有3mgR＋W＝·3mv2，解得W＝mgR，即从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做的功为mgR，故D正确。]
10．如图所示，一根轻弹簧竖直立在水平地面上，一小球从距弹簧上端h0处自由下落到将弹簧压缩至最短的过程中，弹簧始终处于弹性限度内。若以地面为零势能面，则小球下降过程中的机械能随下降的高度h变化的关系图像可能为(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
C　[在未接触弹簧过程小球只有重力做功，机械能不变。接触弹簧后，弹力随位移均匀变化，下落位移h>h0过程，弹簧压缩h－h0，此过程弹力做功W＝(h－h0)＝k(h－h0)2，弹力做负功，小球机械能减少，接触后机械能E＝E0－W＝E0－k(h－h0)2，接触后图像为开口向下的抛物线，选项C正确。]
11．如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，细绳在伸直时，沿绳方向速度变为零，绳摆动速度不变，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
[解析]　(1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，由几何关系知小球下降的高度
h＝2l sin 30°
根据机械能守恒定律得mgh＝
解得v1＝。
(2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据速度的分解得
v2＝v1cos 30°＝
设小球运动到最低点A时的速度为v3，以A点所在的水平面为零势能面，小球由细绳刚伸直到最低点A的过程，根据机械能守恒定律得
＋mgl(1－sin 30°)＝
联立解得v3＝
小球在最低点，由牛顿第二定律得
T－mg＝
解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小为3.5mg，方向竖直向下。
[答案]　(1)　(2)3.5mg，方向竖直向下
12．如图所示，套在光滑竖直细杆上质量为m的小球B，由跨过小定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为2m的重物A相连。杆与定滑轮的距离为l，初始时B与定滑轮等高。静止释放重物A，全程A、B都未接触滑轮和地面，重力加速度大小为g，求：
(1)小球B最大下落高度；
(2)当小球B下落h＝l时，A的速度大小。
[解析]　(1)A、B组成的系统机械能守恒，有
mghm＝－l)
解得
hm＝l。
(2)A、B组成的系统机械能守恒，有
mgh－2mg(－l)＝
vB＝vA
解得
vA＝。
[答案]　(1)l　(2)

展开更多......

收起↑