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(共91张PPT)
4．抛体运动的规律
第五章　抛体运动
整体感知·自我新知初探
[学习任务]　1．知道平抛运动的受力特点，会用运动的合成与分解分析平抛运动。
2．理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。
3．熟练运用平抛运动规律解决相关问题。
4．了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。
[问题初探]　问题1．平抛运动的运动特点有哪些？
问题2．平抛运动的物体可以分解成哪两个方向的分运动？
问题3．两个方向的分运动分别做什么运动？
[自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
将物体以初速度v0______抛出，由于物体只受______作用，t时刻的速度为：
1．水平方向的速度：vx＝____。
2．竖直方向的速度：vy＝____。
知识点一　平抛运动的速度
水平
重力
v0
gt


一人正在练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
【问题】
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
(3)飞镖投出后，水平方向的速度和竖直方向的速度有什么特点？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)飞镖投出后，水平方向速度不变，竖直方向的速度均匀增大。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【典例1】　(平抛运动的特点)关于平抛运动，下面的几种说法正确的是(　　)
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
√
B　[平抛运动是一种在重力作用下的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变，故B正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误；平抛运动的加速度与质量无关，则其运动情况与质量无关，落点远近与其质量无关，故D错误。]
【典例2】　(选自沪科版教材·平抛运动的判断)下列物体的运动不能看作抛体运动的是(　　)
A．洒水车喷出的水
B．运动员推出的铅球
C．向空中抛出的一张纸
D．竖直向下扔出的一粒石子
√
C　[抛体运动是指将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动。洒水车喷出的水，空气阻力可忽略不计，是抛体运动，A不符合题意；运动员推出的铅球，空气阻力可以忽略，是抛体运动，B不符合题意；向空中抛出的一张纸，空气阻力不能忽略，不是抛体运动，C符合题意；竖直向下扔出的一粒石子，空气阻力可忽略不计，是抛体运动，D不符合题意。]
【典例3】　(平抛运动速度的计算)从某一高处以水平速度3 m/s将一个物体水平抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，物体在空中运动0.4 s 落到地面，则物体落地的速度大小为(　　)
A．5 m/s　 B．10 m/s　 C．12 m/s　 D．14 m/s
√
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向的位移：x＝_____。
2．竖直方向的位移：y＝________。
知识点二　平抛运动的位移与轨迹
v0t

抛物线
如图所示是小球做平抛运动的频闪照片的一部分。照片中只拍了小球运动过程中的前四个位置。
【问题】
(1)分析曲线运动的基本思路和方法是什么？
(2)如何能算出小球的第5个位置？
(3)在图中标出小球的第5个位置，并描出其运动轨迹，其轨迹是什么样的曲线？
提示：(1)分析曲线运动的基本思路和方法是将运动分解。
(2)先用水平方向匀速算出运动时间，再用竖直方向自由落体运动算出竖直方向的位移。
(3)轨迹为抛物线。
1．研究方法
研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．运动规律
项目 速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt
项目 速度 位移
合运动
图示
【典例4】　如图所示，在某次滑雪比赛中，滑雪运动员由静止从助滑坡道上A点自由滑下，经C点以50 m/s的速度水平飞出跳台，在坡道K点着陆。若AC高度差H＝136 m，CK高度差h＝80 m，取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，请分析说明：
(1)该运动员在空中飞行的水平距离是多少？
(2)落点K处的速度与水平面的夹角θ的正切值；
(3)以C点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，写出滑雪运动员在空中运动的轨迹方程。
【典例5】　(选自教科版教材·平抛运动的定性分析)如图所示，射击比赛中选手将枪管AB对准竖直墙面上的C点，此时A、B、C在同一水平线上，开枪射击后发现子弹击中靶心O点正下方的D点且与竖直墙面的夹角为θ。设枪管AB始终保持水平，子弹每次射出枪口的速度均不变，不计空气阻力。则(　　)
A．若要子弹击中靶心O，只需将手枪竖直向下平移适当距离即可
B．若要子弹击中靶心O，只需将手枪水平远离墙壁适当距离即可
C．若只将手枪竖直向上平移一段距离，则子弹在空中飞行的时间将变长
D．若只将手枪水平远离墙壁一段距离，则子弹击中墙壁时θ将变小
√
【典例6】　(选自沪科版教材·平抛运动的定量与定性分析)摩托车飞越表演是一项惊险刺激的运动，如图。假设在一次飞越河流的表演中，摩托车以20 m/s的水平速度离开平台，刚好成功落到对面的平台上，测得两岸平台高度差为5 m。若飞越过程中不计空气阻力，摩托车可以看成质点，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．水面宽度可能为21 m
B．摩托车落到平台前瞬间的速度大小为30 m/s
C．若仅增加右侧平台的高度，则摩托车在空中的飞行时间将变长
D．若仅增加摩托车飞离平台时的速度，则摩托车在空中的飞行时间将变短
√
【教用·备选例题】　
1．家长与小朋友做沙包抛掷的游戏，游戏时家长与小朋友站在相距3 m的场地两端，家长在离地1.5 m处将质量为100 g的沙包水平扔出，正好落入小朋友手中距地面0.7 m高的塑料筐中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．沙包从抛出至落入筐中用时0.55 s
B．家长水平扔出沙包的速度大小为6.2 m/s
C．沙包即将落入筐中时的速度大小为7.5 m/s
D．沙包从抛出至落入筐中速度的变化量大小为4 m/s
√
2．如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
√
物体抛出的速度v0沿________或________时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
1．水平方向的分运动：物体做__________运动，初速度v0x＝__________。
2．竖直方向的分运动：物体做
竖直上抛或竖直下抛运动，初速
度v0y＝__________。
知识点三　一般的抛体运动
斜上方
斜下方
匀速直线
v0cos θ
v0sin θ
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等，都可以看作是斜上抛运动，以推铅球为例。
【问题】
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、加速度有何特点？
(2)铅球离开手时速度有什么特点？
(3)铅球在最高点的速度是零吗？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g。
(2)其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(3)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
2．斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明)
(1)分析思路：斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
【典例7】　(斜抛的定性分析)以大小相同的初速度、不同的抛射角同时从地面抛出3个小球A、B、C，3球从抛出到落地在空中的运动轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列叙述正确的是(　　)
A．A、B、C三球在运动过程中，A球的
加速度最大
B．B球的射程最远，所以B最后落地
C．A、C两球的射程相等，所以它们的水平分速度相等
D．B球的射程最远，B抛出时速度与水平方向的夹角最接近45°
√
【典例8】　(斜抛的计算)如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
[答案]　(1)30 m/s，与水平方向夹角为37°　(2)3.6 s
【典例9】　(斜抛的计算)一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为2 m/s，方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角。不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小球抛出时的初速度为多大；
(2)小球由A到B的运动时间。
应用迁移·随堂评估自测
1．(多选)物体在做平抛运动时，在相等时间内，相等的量是(　　)
A．速度的增量　　　　 B．加速度
C．位移的增量 D．位移
√
2
4
3
题号
1
√
2
4
3
题号
1
2．做斜上抛运动的物体，到达最高点时(　　)
A．具有水平方向的速度和水平方向的加速度
B．速度为零，加速度向下
C．速度不为零，加速度为零
D．具有水平方向的速度和向下的加速度
2
3
题号
1
4
√
D　[斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。当物体到达最高点时，竖直方向上的速度减为零，水平方向上的速度不变。由于只受重力作用，所以物体始终具有竖直向下的加速度g，故D正确。]
3．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　)
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
4．在抗震救灾中，为了给灾区人民投放物资，欲用一架飞机进行投送，该飞机在距离地面2 000 m的高空以20 m/s的速度水平匀速飞行，若忽略空气阻力的影响，取重力加速度g＝10 m/s2，试求：
(1)从飞机上掉下来的物资，经多长时间落到地面；
(2)飞机应距救灾点水平距离多远处投放物资；
(3)物体落地时的速度。
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
[答案]　(1)20 s　(2)400 m　(3)201 m/s，方向与水平方向夹角为arctan 10
回归本节知识，完成以下问题：
1．平抛运动的条件是什么？
提示：只有水平初速度，仅受重力作用。
2．平抛运动有哪些动力学特点？
提示：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。
3．平抛运动的常用处理方法是什么？
提示：运动的分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动。
阅读材料·拓宽物理视野
实际弹道曲线
弹头飞行时其重心所经过的路线谓之“弹道曲线”。由于重力作用和空气阻力的影响，使弹道形成不均等的弧形。升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。膛外弹道学专门研究弹头在空中运动的规律，例如，弹头的重心运动、稳定性等也都会影响到弹道曲线。斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不会是理想曲线。物体在空气中运动受到的阻力，与物体
运动速率的大小有密切关系：物体的速率低于200 m/s时，可认为阻力与物体速率大小的平方成正比；速率达到400～600 m/s时，空气阻力和速率大小的三次方成正比；在速率很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。总之，物体运动的速率越小，空气阻力的影响就越小，抛体的运动越接近理想情况。例如，不计空气阻力，某低速迫击炮的理想射程是360 m，实际上能达到350 m，空气阻力的作用处于次要地位；加农炮弹的速度很大，在不计阻力时计算的理想射程能达46 km，而实
际只能达到13 km，空气的
阻力是不能忽视的。
问题
(1)实际的弹道曲线由哪些因素决定？
(2)怎样增大枪炮的射程？
提示：(1)空气阻力和初速度。
(2)增添附加装置，以便在弹头飞行过程增大推力或减小空气阻力等。
课时分层作业（三）
?题组一　平抛运动及其规律应用
1．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．平抛运动是匀速运动
B．平抛运动是加速度不断变化的运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做平抛运动的物体落地时速度方向可能是竖直向下的
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
C　[做平抛运动的物体只受重力，加速度始终为重力加速度，其运动性质是匀变速曲线运动，又因平抛运动水平方向速度不变，故落地时速度方向和加速度方向不可能在同一直线上，C正确，A、B、D错误。]
1
题号
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2．(多选)关于平抛物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．平抛运动是物体只在重力作用下的运动
B．平抛运动是物体不受任何外力作用的运动
C．做平抛运动的物体在水平方向初速度为0
D．做平抛运动的物体在竖直方向初速度为0
√
1
题号
2
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13
√
AD　[平抛运动是物体只在重力作用下的运动，A正确，B错误；做平抛运动的物体在竖直方向初速度为0，水平初速度不为零，C错误，D正确。]
题号
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1
3．如图所示，小杰在同一位置先后水平抛出三个相同的小球，分别落到水平地面的A、B、C三点，不计空气阻力，则(　　)
A．落到A点的球初速度最大
B．落到B点的球初速度最大
C．落到C点的球初速度最大
D．三个球的初速度大小相等
√
题号
2
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1
C　[小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。三个小球抛出点的高度相同，所以落地时间相同，由题图可知落到C点的球水平位移最大，所以其初速度最大，故C正确。故选C。]
题号
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√
题号
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题号
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1
5．在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中P点相遇，则(　　)
A．应先抛出A球
B．应先抛出B球
C．相遇时A球速率小于B球速率
D．抛出时A球的初速度大于B球的初速度
√
题号
2
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1
题号
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1
?题组二　一般抛体运动
6．如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D．物体在A、B两点的竖直分速度相同
√
题号
2
3
4
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6
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1
C　[物体在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。]
题号
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1
7．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　)
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
√
题号
2
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1
√
CD　[A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确。]
题号
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√
题号
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1
√
√
题号
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1
10．小刘和小李在篮筐前方进行投篮练习，某次练习中，小刘将篮球刚好垂直打到篮板上，小李在其正后方几步同一高度处继续投篮，篮球也刚好垂直打到篮板上同一位置，忽略空气阻力，假设二人身高相同。下列说法正确的是(　　)
A．两篮球垂直击中篮板的速度大小相同
B．小李投篮时，篮球出手速度方向与竖直方向
夹角更大
C．小刘投篮时，篮球在空中运动的时间更长
D．小李投篮时，篮球的速度变化率更大
√
题号
2
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1
题号
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1
11．一物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平向左的恒力作用，则物体在空中运动的轨迹是(　　)
√
题号
2
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1
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[一物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平向左的恒力作用，两个力的合力是恒力，向左下，所以物体向左下做匀加速直线运动，轨迹为题图A。]
12．奥运会50 m步枪射击项目所用靶的直径为154.4 mm。如图所示，若某步枪运动员沿水平方向射击，正好对准靶的中心。g取10 m/s2，不计空气阻力，分析说明：
题号
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1
(1)若子弹飞出枪膛的速度为600 m/s，能否击中靶？
(2)若子弹飞出枪膛的速度为350 m/s，能否击中靶？
(3)实际射击时，运动员应该如何瞄准才能取得更好的成绩？
题号
2
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13
1
[解析]　(1)由于步枪运动员沿水平方向射击，正好对准靶的中心，则子弹在空中可视为平抛运动，在水平方向有
x＝v0t
题号
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1
[答案]　(1)能　(2)不能　(3)实际射击时，运动员应该瞄准略高于靶心的地方才能取得更好的成绩
题号
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1
(1)求飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小vy；
(2)求开始掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔Δt；
(3)假设飞镖击穿气球后，水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度减小为击穿前的二分之一，求飞镖的落地点与B点的水平距离x。
题号
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14．抛体运动的规律
[学习任务]　1．知道平抛运动的受力特点，会用运动的合成与分解分析平抛运动。
2．理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。
3．熟练运用平抛运动规律解决相关问题。
4．了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。
[问题初探]　问题1．平抛运动的运动特点有哪些？
问题2．平抛运动的物体可以分解成哪两个方向的分运动？
问题3．两个方向的分运动分别做什么运动？
[自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
　平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为：
1．水平方向的速度：vx＝v0。
2．竖直方向的速度：vy＝gt。
3．合速度
一人正在练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
【问题】
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
(3)飞镖投出后，水平方向的速度和竖直方向的速度有什么特点？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)飞镖投出后，水平方向速度不变，竖直方向的速度均匀增大。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【典例1】　(平抛运动的特点)关于平抛运动，下面的几种说法正确的是(　　)
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
B　[平抛运动是一种在重力作用下的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变，故B正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误；平抛运动的加速度与质量无关，则其运动情况与质量无关，落点远近与其质量无关，故D错误。]
【典例2】　(选自沪科版教材·平抛运动的判断)下列物体的运动不能看作抛体运动的是(　　)
A．洒水车喷出的水
B．运动员推出的铅球
C．向空中抛出的一张纸
D．竖直向下扔出的一粒石子
C　[抛体运动是指将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动。洒水车喷出的水，空气阻力可忽略不计，是抛体运动，A不符合题意；运动员推出的铅球，空气阻力可以忽略，是抛体运动，B不符合题意；向空中抛出的一张纸，空气阻力不能忽略，不是抛体运动，C符合题意；竖直向下扔出的一粒石子，空气阻力可忽略不计，是抛体运动，D不符合题意。]
【典例3】　(平抛运动速度的计算)从某一高处以水平速度3 m/s将一个物体水平抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，物体在空中运动0.4 s落到地面，则物体落地的速度大小为(　　)
A．5 m/s　 B．10 m/s　 C．12 m/s　 D．14 m/s
A　[物体在竖直方向上做自由落体运动，则vy＝gt＝4 m/s，则物体落地的速度大小为v＝＝5 m/s，故A正确，BCD错误。]
　平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向的位移：x＝v0t。
2．竖直方向的位移：y＝gt2。
3．合位移
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝，代入y＝gt2得y＝x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
如图所示是小球做平抛运动的频闪照片的一部分。照片中只拍了小球运动过程中的前四个位置。
【问题】
(1)分析曲线运动的基本思路和方法是什么？
(2)如何能算出小球的第5个位置？
(3)在图中标出小球的第5个位置，并描出其运动轨迹，其轨迹是什么样的曲线？
提示：(1)分析曲线运动的基本思路和方法是将运动分解。
(2)先用水平方向匀速算出运动时间，再用竖直方向自由落体运动算出竖直方向的位移。
(3)轨迹为抛物线。
1．研究方法
研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．运动规律
项目 速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝
图示
3．平抛运动的时间、水平位移、落地速度的决定因素
(1)运动时间：t＝，做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(3)落地速度：v＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
【典例4】　如图所示，在某次滑雪比赛中，滑雪运动员由静止从助滑坡道上A点自由滑下，经C点以50 m/s的速度水平飞出跳台，在坡道K点着陆。若AC高度差H＝136 m，CK高度差h＝80 m，取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，请分析说明：
(1)该运动员在空中飞行的水平距离是多少？
(2)落点K处的速度与水平面的夹角θ的正切值；
(3)以C点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，写出滑雪运动员在空中运动的轨迹方程。
[解析]　(1)滑雪运动员由静止从助滑坡道上A点自由滑下，经C点平抛，水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。
x＝vCt
h＝gt2
解得
x＝vC＝50× m＝200 m。
(2)竖直方向上做自由落体运动，则vy＝gt＝10× m/s＝40 m/s
则落点K处的速度与水平面的夹角θ的正切值为tan θ＝。
(3)从C点飞出后做平抛运动，则x＝vCt，y＝gt2，消去时间t，就可以得到滑雪运动员在空中运动的轨迹方程为
y＝g·×10×x2(m)
x的取值范围为0≤x≤200 m。
[答案]　(1)200 m　(2)tan θ＝　(3)y＝x2(m)，0≤x≤200 m
【典例5】　(选自教科版教材·平抛运动的定性分析)如图所示，射击比赛中选手将枪管AB对准竖直墙面上的C点，此时A、B、C在同一水平线上，开枪射击后发现子弹击中靶心O点正下方的D点且与竖直墙面的夹角为θ。设枪管AB始终保持水平，子弹每次射出枪口的速度均不变，不计空气阻力。则(　　)
A．若要子弹击中靶心O，只需将手枪竖直向下平移适当距离即可
B．若要子弹击中靶心O，只需将手枪水平远离墙壁适当距离即可
C．若只将手枪竖直向上平移一段距离，则子弹在空中飞行的时间将变长
D．若只将手枪水平远离墙壁一段距离，则子弹击中墙壁时θ将变小
D　[子弹每次射出枪口的速度均不变，则若要子弹击中靶心O，只需将手枪竖直向上平移适当距离即可，选项A错误；若要子弹击中靶心O，就要减小水平距离，这样可减小运动时间，则只需将手枪水平靠近墙壁适当距离即可，选项B错误；若只将手枪竖直向上平移一段距离，水平距离不变，则子弹在空中飞行的时间不变，选项C错误；若只将手枪水平远离墙壁一段距离，子弹运动时间变长，根据tan θ＝，则子弹击中墙壁时θ将变小，选项D正确。]
【典例6】　(选自沪科版教材·平抛运动的定量与定性分析)摩托车飞越表演是一项惊险刺激的运动，如图。假设在一次飞越河流的表演中，摩托车以20 m/s的水平速度离开平台，刚好成功落到对面的平台上，测得两岸平台高度差为5 m。若飞越过程中不计空气阻力，摩托车可以看成质点，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．水面宽度可能为21 m
B．摩托车落到平台前瞬间的速度大小为30 m/s
C．若仅增加右侧平台的高度，则摩托车在空中的飞行时间将变长
D．若仅增加摩托车飞离平台时的速度，则摩托车在空中的飞行时间将变短
C　[根据平抛运动竖直距离与时间关系得h＝gt2，解得t＝，可知若仅增加右侧平台的高度，则摩托车在空中的飞行时间将变长，故C正确；代入数据解得t＝1 s，水面最大宽度为x＝v0t＝20 m，故A错误；落地时竖直速度为vy＝gt＝10 m/s，由速度的合成得v＝＝10 m/s，故B错误；根据t＝可知仅增加摩托车飞离平台时的速度，则摩托车在空中的飞行时间不变，故D错误。]
【教用·备选例题】　
1．家长与小朋友做沙包抛掷的游戏，游戏时家长与小朋友站在相距3 m的场地两端，家长在离地1.5 m处将质量为100 g的沙包水平扔出，正好落入小朋友手中距地面0.7 m高的塑料筐中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．沙包从抛出至落入筐中用时0.55 s
B．家长水平扔出沙包的速度大小为6.2 m/s
C．沙包即将落入筐中时的速度大小为7.5 m/s
D．沙包从抛出至落入筐中速度的变化量大小为4 m/s
D　[根据平抛运动的规律有h＝gt2，x＝v0t，代入数据可得t＝0.4 s，v0＝7.5 m/s，A、B错误；沙包即将落入筐中时，水平方向的速度大小vx＝v0＝7.5 m/s，竖直方向的速度大小vy＝gt＝4 m/s，合速度大小v合＝>v0＝7.5 m/s，C错误；沙包从抛出至落入筐中，速度的变化量大小为Δv＝gt＝4 m/s，D正确。]
2．如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
D　[由题意可将水从喷水口中水平喷出后的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，水从喷出到落入池中的时间一定，故A错误，D正确；水平方向有x＝v0t＝v0 ，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越远，故B、C错误。]
　一般的抛体运动
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
1．水平方向的分运动：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos θ。
2．竖直方向的分运动：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝v0sin θ。
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等，都可以看作是斜上抛运动，以推铅球为例。
【问题】
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、加速度有何特点？
(2)铅球离开手时速度有什么特点？
(3)铅球在最高点的速度是零吗？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g。
(2)其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(3)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
2．斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明)
(1)分析思路：斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
(2)速度规律(如图所示)
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝。
(3)位移规律
水平位移：x＝v0xt＝v0t cos θ。
竖直位移：y＝v0t sin θ－gt2。
t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan α＝。
(4)如果物体的落点与抛出点在同一水平面上，则飞行时间：t＝
射高：Y＝
射程：X＝v0cos θ·t＝。
【典例7】　(斜抛的定性分析)以大小相同的初速度、不同的抛射角同时从地面抛出3个小球A、B、C，3球从抛出到落地在空中的运动轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列叙述正确的是(　　)
A．A、B、C三球在运动过程中，A球的加速度最大
B．B球的射程最远，所以B最后落地
C．A、C两球的射程相等，所以它们的水平分速度相等
D．B球的射程最远，B抛出时速度与水平方向的夹角最接近45°
D　[A、B、C三球在运动过程中，只受重力作用，加速度均为g，选项A错误；从最高点到落地可看作平抛运动，根据t＝可知，最大高度越大，则时间越长，故A球运动的时间最长，所以A球最后落地，选项B错误；A、C两球的射程相等，但是A球运动时间较长，根据vx＝可知，C球的水平初速度较大，选项C错误；根据射程x＝v cos θ·，可知当θ＝45°时射程最大，因B球的射程最远，B球抛出时速度与水平方向的夹角最接近45°，选项D正确。]
【典例8】　(斜抛的计算)如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
[解析]　(1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s
设与水平方向夹角为θ，则cos θ＝
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝ m/s＝18 m/s
故飞行时间t＝＝2× s＝3.6 s。
[答案]　(1)30 m/s，与水平方向夹角为37°　(2)3.6 s
【典例9】　(斜抛的计算)一小球从空中某点水平抛出，经过A、B两点，已知小球在A点的速度大小为2 m/s，方向与水平方向成30°角，小球在B点的速度方向与水平方向成60°角。不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小球抛出时的初速度为多大；
(2)小球由A到B的运动时间。
[解析]　(1)小球水平方向做匀速直线运动，则小球抛出时的初速度为
v0＝vA cos 30°＝ m/s。
(2)小球在竖直方向做自由落体运动，则
v0tan 60°＝v0tan 30°＋gt
得小球由A到B的运动时间为
t＝0.2 s。
[答案]　(1) m/s　(2)0.2 s
1．(多选)物体在做平抛运动时，在相等时间内，相等的量是(　　)
A．速度的增量　　　　 B．加速度
C．位移的增量 D．位移
AB　[平抛运动在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt，故A项正确；平抛运动是匀变速曲线运动，加速度是恒定的，故B项正确；在相等时间间隔Δt内，水平位移增量Δx＝v0Δt相等，而竖直位移增量Δy＝＝gt·Δt＋g(Δt)2，是随时间增大的，所以位移不是均匀变化的，故C、D项错误。]
2．做斜上抛运动的物体，到达最高点时(　　)
A．具有水平方向的速度和水平方向的加速度
B．速度为零，加速度向下
C．速度不为零，加速度为零
D．具有水平方向的速度和向下的加速度
D　[斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。当物体到达最高点时，竖直方向上的速度减为零，水平方向上的速度不变。由于只受重力作用，所以物体始终具有竖直向下的加速度g，故D正确。]
3．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
B　[由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B。]
4．在抗震救灾中，为了给灾区人民投放物资，欲用一架飞机进行投送，该飞机在距离地面2 000 m的高空以20 m/s的速度水平匀速飞行，若忽略空气阻力的影响，取重力加速度g＝10 m/s2，试求：
(1)从飞机上掉下来的物资，经多长时间落到地面；
(2)飞机应距救灾点水平距离多远处投放物资；
(3)物体落地时的速度。
[解析]　(1)从飞机上掉下来的物资落到地面的时间
t＝ s＝20 s。
(2)物资在水平方向做匀速运动，则飞机投放物资时距救灾点水平距离
x＝v0t＝400 m。
(3)物体落地时的速度
v＝ m/s＝20 m/s≈201 m/s
速度方向与水平方向的夹角的正切值
tan θ＝＝10。
[答案]　(1)20 s　(2)400 m　(3)201 m/s，方向与水平方向夹角为arctan 10
回归本节知识，完成以下问题：
1．平抛运动的条件是什么？
提示：只有水平初速度，仅受重力作用。
2．平抛运动有哪些动力学特点？
提示：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。
3．平抛运动的常用处理方法是什么？
提示：运动的分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动。
实际弹道曲线
弹头飞行时其重心所经过的路线谓之“弹道曲线”。由于重力作用和空气阻力的影响，使弹道形成不均等的弧形。升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。膛外弹道学专门研究弹头在空中运动的规律，例如，弹头的重心运动、稳定性等也都会影响到弹道曲线。斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不会是理想曲线。物体在空气中运动受到的阻力，与物体运动速率的大小有密切关系：物体的速率低于200 m/s时，可认为阻力与物体速率大小的平方成正比；速率达到400～600 m/s时，空气阻力和速率大小的三次方成正比；在速率很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。总之，物体运动的速率越小，空气阻力的影响就越小，抛体的运动越接近理想情况。例如，不计空气阻力，某低速迫击炮的理想射程是360 m，实际上能达到350 m，空气阻力的作用处于次要地位；加农炮弹的速度很大，在不计阻力时计算的理想射程能达46 km，而实际只能达到13 km，空气的阻力是不能忽视的。
(1)实际的弹道曲线由哪些因素决定？
(2)怎样增大枪炮的射程？
提示：(1)空气阻力和初速度。
(2)增添附加装置，以便在弹头飞行过程增大推力或减小空气阻力等。
课时分层作业(三)
?题组一　平抛运动及其规律应用
1．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．平抛运动是匀速运动
B．平抛运动是加速度不断变化的运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做平抛运动的物体落地时速度方向可能是竖直向下的
C　[做平抛运动的物体只受重力，加速度始终为重力加速度，其运动性质是匀变速曲线运动，又因平抛运动水平方向速度不变，故落地时速度方向和加速度方向不可能在同一直线上，C正确，A、B、D错误。]
2．(多选)关于平抛物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．平抛运动是物体只在重力作用下的运动
B．平抛运动是物体不受任何外力作用的运动
C．做平抛运动的物体在水平方向初速度为0
D．做平抛运动的物体在竖直方向初速度为0
AD　[平抛运动是物体只在重力作用下的运动，A正确，B错误；做平抛运动的物体在竖直方向初速度为0，水平初速度不为零，C错误，D正确。]
3．如图所示，小杰在同一位置先后水平抛出三个相同的小球，分别落到水平地面的A、B、C三点，不计空气阻力，则(　　)
A．落到A点的球初速度最大
B．落到B点的球初速度最大
C．落到C点的球初速度最大
D．三个球的初速度大小相等
C　[小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。三个小球抛出点的高度相同，所以落地时间相同，由题图可知落到C点的球水平位移最大，所以其初速度最大，故C正确。故选C。]
4．如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。从抛出开始计时，质点到A点与质点到B点的时间之比是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．条件不够，无法求出
B　[设初速度为v0，将A、B两点的速度分解，在A点tan 30°＝，解得tA＝；在B点tan 45°＝，解得tB＝，则，故B正确。]
5．在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，两球在空中P点相遇，则(　　)
A．应先抛出A球
B．应先抛出B球
C．相遇时A球速率小于B球速率
D．抛出时A球的初速度大于B球的初速度
D　[由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移h相同，由h＝gt2，可知两球下落时间相同，两球应同时抛出，故A、B错误；根据以上分析A、B做平抛运动的时间相同，但xA>xB，由于水平方向做匀速直线运动，则vAx>vBx，相遇时v＝，则相遇时A球速率大于B球速率，故C错误，D正确。]
?题组二　一般抛体运动
6．如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D．物体在A、B两点的竖直分速度相同
C　[物体在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。]
7．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则(　　)
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
CD　[A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确。]
8．(多选)如图所示，一物体以初速度v0做斜抛运动，v0与水平方向成θ角。AB连线水平，则从A到B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．上升时间t＝
B．最大高度h＝
C．在最高点速度为0
D．AB间位移xAB＝
ABD　[将物体的初速度沿着水平和竖直方向分解，有v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ，上升时间t＝，故A正确；根据位移公式，最大高度为h＝，故B正确；在最高点速度的竖直分量为零，但水平分量不为零，故最高点速度不为零，故C错误；结合竖直上抛运动的对称性可知，运动总时间为t′＝2t＝，所以AB间的位移xAB＝v0xt′＝，故D正确。]
9．如图所示是航天员在月球表面水平抛出一小球的频闪照片的一部分。已知照片上小方格的实际边长为a，闪光周期为T，据此可知(　　)
A．小球平抛的初速度为
B．月球上的重力加速度为
C．照片上A点不是平抛的起始位置
D．小球运动到D点时竖直速度大小为
D　[水平方向匀速运动，平抛运动的初速度v0＝，故A错误；根据Δy＝2a＝gT2得，月球表面的重力加速度g＝，故B错误；B点竖直方向上的分速度为vBy＝，则A点的竖直分速度为vAy＝vBy－gT＝·T＝0，可知A点是平抛运动的起始位置，故C错误；D点的竖直分速度为vDy＝vBy＋g·2T＝·2T＝，故D正确。]
10．小刘和小李在篮筐前方进行投篮练习，某次练习中，小刘将篮球刚好垂直打到篮板上，小李在其正后方几步同一高度处继续投篮，篮球也刚好垂直打到篮板上同一位置，忽略空气阻力，假设二人身高相同。下列说法正确的是(　　)
A．两篮球垂直击中篮板的速度大小相同
B．小李投篮时，篮球出手速度方向与竖直方向夹角更大
C．小刘投篮时，篮球在空中运动的时间更长
D．小李投篮时，篮球的速度变化率更大
B　[篮球的运动可逆向看成平抛运动，两次投篮竖直高度相同，时间相同，小李投篮时水平距离更远，所以水平速度更大，即击中篮板的速度更大，A、C错误；两次投篮的竖直速度分量相同，而小李投篮时水平速度更大，设出手速度方向与竖直方向夹角设为θ，可得tan θ＝，所以小李投篮时篮球出手速度方向与竖直方向夹角更大，B正确；篮球的速度变化率就是加速度，两次的加速度均为g，D错误。]
11．一物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平向左的恒力作用，则物体在空中运动的轨迹是(　　)
　　　
A　　　　　　　　B
　　　
C　　　　　　　　　D
A　[一物体在从静止开始下落的过程中，除了重力之外还受到水平向左的恒力作用，两个力的合力是恒力，向左下，所以物体向左下做匀加速直线运动，轨迹为题图A。]
12．奥运会50 m步枪射击项目所用靶的直径为154.4 mm。如图所示，若某步枪运动员沿水平方向射击，正好对准靶的中心。g取10 m/s2，不计空气阻力，分析说明：
(1)若子弹飞出枪膛的速度为600 m/s，能否击中靶？
(2)若子弹飞出枪膛的速度为350 m/s，能否击中靶？
(3)实际射击时，运动员应该如何瞄准才能取得更好的成绩？
[解析]　(1)由于步枪运动员沿水平方向射击，正好对准靶的中心，则子弹在空中可视为平抛运动，在水平方向有
x＝v0t
代入数据有
t＝ s
则子弹在竖直方向下落的距离为
h＝gt2≈0.034 7 m
由于步枪射击项目所用靶的直径为154.4 mm，则其半径为0.077 2 m，由于0.034 7 m <0.077 2 m，则子弹能击中靶。
(2)由于步枪运动员沿水平方向射击，正好对准靶的中心，则子弹在空中可视为平抛运动，在水平方向有
x＝v0′t′
代入数据有
t′＝ s
则子弹在竖直方向下落的距离为
h′＝gt′2≈0.102 m
由于0.102 m > 0.077 2 m，则子弹不能击中靶。
(3)根据以上分析可知，实际射击时，运动员应该瞄准略高于靶心的地方才能取得更好的成绩。
[答案]　(1)能　(2)不能　(3)实际射击时，运动员应该瞄准略高于靶心的地方才能取得更好的成绩
13．如图所示，在距地面高为6.5l的A处以水平初速度v1＝2投掷飞镖，与A点水平距离为6l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度v2＝匀速上升，在升空过程中恰好被飞镖击中。飞镖在飞行过程中空气阻力不计，飞镖和气球均视为质点，重力加速度为g。
(1)求飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小vy；
(2)求开始掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔Δt；
(3)假设飞镖击穿气球后，水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度减小为击穿前的二分之一，求飞镖的落地点与B点的水平距离x。
[解析]　(1)从飞镖飞出到击中气球过程中，对飞镖来说
6l＝v1t
vy＝gt
飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小
vy＝gt＝3。
(2)飞镖的竖直位移
h＝gt2
气球上升的位移
H＝6.5l－h
气球上升的时间
t′＝
两个动作之间的时间间隔为
Δt＝t－t′＝。
(3)竖直方向上速度变为
v′y ＝ vy ＝
根据运动学公式
H ＝ v′y t″＋gt″2
解得
t″＝
飞镖的落地点与B点的水平距离
x＝t″v1＝2l。
[答案]　(1)3　(2)　(3)2l

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