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中考数学《知识清单》
第 10节 平面直角坐标系及函数的概念
一、平面直角坐标系
1．各象限内点的坐标特征
点 P(x，y)在第一象限内 x＞0，y＞0
点 P(x，y)在第二象限内 x＜0，y＞0
点 P(x，y)在第三象限内 x＜0，y＜0
点 P(x，y)在第四象限内 x＞0，y＜0
2.坐标轴上点的坐标特征
(1) 点 P(x，y) 在 x 轴上 y＝0
(2) 点 P(x，y) 在 y 轴上 x＝0
(3) 点 P(x，y) 在原点处 x＝0，y＝0
3．各象限角平分线上点的坐标特征
(1) 点 P(x，y) 在第一、三象限角平分线上 x＝y
(2) 点 P(x，y) 在第二、四象限角平分线上 x＝－y
4．点到坐标轴的距离及两点间的距离
(1) 点 P(x，y)到 x 轴的距离为 |y| ，到 y 轴的距离 |x|
(2) 平行于 x 轴的直线 l 上两点 P1(x1，y)，P2(x2，y)之间的距离为 |x1－x2|
(3) 平行于 y 轴的直线 l 上两点 P3(x，y1)，P4(x，y2)之间的距离为 |y1－y2|
拓展：平面直角坐标系内任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 之间的距离是
（x 2 21－x2） ＋（y1－y2）
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5．平面直角坐标系中点的平移与对称
用坐标表示平移
用坐标表示对称
点 P(x，y) 关于 x 轴的对称点的坐标为 (x，－y)
点 P(x，y) 关于 y 轴的对称点的坐标为 (－x，y)
点 P(x，y) 关于原点的对称点的坐标为 (－x，－y)
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二、函数及其相关概念
1．函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量．
2．函数自变量取值范围的确定
类型 举例 取值范围
整式型 y＝2x2＋3x－1 全体实数
1
分式型 y＝ 使分母不为 0 的实数
x＋1
使根号下的式子的值大于
二次根式型 y＝ x－3
或等于 0 的实数
零次幂或负整数 y＝x0
-2 使底数不为 0 的实数 指数幂型 y＝x ＋1
x＋1
综合型 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分
x
3.函数的三种表示法
(1) 解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系．
(2) 列表法：把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表格来表示
函数关系．
(3) 图象法：把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，用坐
标平面内由这些点组成的图形表示函数关系．
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第 11节 一次函数及其应用
一、一次函数
1．定义
一般地，形如 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数；
特别地，若 b＝0，y＝kx＋b 即 y＝kx，称此函数为正比例函数．
2．图象
正比例函数：是经过点(0，0)和点(1，k)的一条直线
b
一次函数：是经过点(0，b)和点(－ ，0)的一条直线
k
图象关系：
一次函数 y＝kx＋b 的图象可由正比例函数 y＝kx 的图象平移得到．
当 b>0 时，向上平移 b 个单位长度；
当 b<0 时，向下平移－b 个单位长度
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3.性质
y＝kx (k≠0)
经过第一、三象限，
k>0
y 随 x 的增大而增大
经过第二、四象限，
k<0
y 随 x 的增大而减小
y＝kx＋b (k≠0)
第一、二、三象限，
k>0，b>0
y 随 x 的增大而增大
第一、三、四象限，
k>0，b<0
y 随 x 的增大而增大
第一、二、四象限，
k<0，b>0
y 随 x 的增大而减小
第二、三、四象限，
k<0，b<0
y 随 x 的增大而减小
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4.一次函数解析式的确定
(1) 待定系数法确定解析式
①一设：设一次函数解析式为y＝kx＋b；
待 ②二列：找出函数图象上的两个点，并将其坐标
定 分别代入函数解析式，得到一个方程组；
系 ③三解：解方程组，求出待定系数；
数
④四还原：将所求待定系数k，b的值代入所设
法 的函数解析式中．
(2) 平移后确定解析式
方法一：通过特殊点确定
①设直线 y＝kx＋b 平移后的解析式为 y＝kx＋b′；
②在平移前的直线上找一点，根据平移方式求其平移后的对应点；
③将该点的坐标代入 y＝kx＋b′，求得 b′的值即可．
方法二：根据图象的平移规律确定
向左平移m（―m＞―→0）个单位长度 y＝k（x＋m）＋b

直线 ＝ 向右平移m（m＞0）个单位长度y kx ――→ y＝k（x－m）＋b
＋b（k≠0） 向上平移m（―m＞ ―→
0）个单位长度
y＝kx＋b＋m
向下平移m（―m＞―→0）个单位长度y＝kx＋b－m
图象的平移规律可简记为：左加右减，上加下减．
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二、一次函数与一次方程(组)及一元一次不等式的关系
右图所示
一次函数与一次方程(组)的关系
(1)与一元一次方程的关系：
方程 kx＋b＝0 的解 直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标；
(2)与二元一次方程组的关系：
y＝kx＋b，
方程组 的解 直线 y＝kx＋b 与直线 y＝k1x＋b1 的交点坐标
y＝k1x＋b1
一次函数与一元一次不等式的关系
(1)不等式 kx＋b＞0 的解集 直线 y＝kx＋b 位于 x 轴上方的部分对应的自
变量的取值范围；
(2)不等式 kx＋b＜0 的解集 直线 y＝kx＋b 位于 x 轴下方的部分对应的自
变量的取值范围；
(3)不等式 kx＋b＞k1x＋b1 的解集 直线 y＝kx＋b 位于直线 y＝k1x＋b1 上
方的部分对应的自变量的取值范围。
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第 12节 反比例函数
一、反比例函数的概念
k
1．定义：形如 y＝ (k 为常数且 k≠0)的函数叫做反比例函数，k 叫做
x
比例系数，反比例函数自变量的取值范围是一切非零实数．
2．反比例函数表达式的三种形式
k －
(1) y＝ (2) y＝kx 1 (3) xy＝k (k 为常数，k≠0).
x
k
二、反比例函数的图象与性质：y＝ (k≠0)
x
k 的范围：k＞0
性质：图象分布在第一、三象限内；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
k 的范围：k＜0
性质：图象分布在第二、四象限内；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大
反比例函数的图象既是轴对轴图形 (对称轴为直线 y＝±x)，
又是中心对称图形 (对称中心是坐标原点)
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三、反比例函数中比例系数k的几何意义
1．k 的几何意义
k
图，设 P(x，y)是反比例函数 y＝ (k＜0)图象上任一点，
x
过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，
则 S 矩形 PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|
2．根据 k 的几何意义计算图形面积
1 1 1
S△AOP＝ |k| S△AOP＝ |k| S△AOP＝ |k|
2 2 2
1
S△ABP＝ |k| S△APP′＝2|k|
2
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四、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法
k
(1) 设出反比例函数解析式 y＝ (k≠0).
x
(2) 找出在反比例函数图象上的一点 P(a，b).
(3) 将 P(a，b)代入解析式得 k＝ab.
ab
(4) 确定反比例函数解析式 y＝ .
x
2．利用 k 的几何意义
一般是由图形面积求出|k|，再根据函数图象所在象限判断 k 的符号，
k
确定 k 值，再将 k 值代入解析式 y＝ 即得．
x
五、反比例函数的应用
1．反比例函数与一次函数的综合应用
(1)根据点的坐标确定函数解析式．
(2)根据图象比较两函数值的大小．
(3)求三角形或四边形的面积．
(4)由几何图形面积确定点的坐标或函数的解析式．
2．反比例函数的实际应用
(1)数学学科中的应用：根据关系确定图象(注意自变量取值范围)、根据图象确定
函数解析式或已知图象中某点的横(纵)坐标求纵(横)坐标等．
(2)跨学科：在物理与化学学科中有很多涉及反比例函数关系的公式，
F U m
如 p＝ ，I＝ 以及 ρ＝ 等．
S R V
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第 13节 二次函数的图象与性质
一、二次函数的概念及其解析式
2
一般地，形如 y = ax +bx+ c (a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
二、二次函数的图象与性质
a＞0 a＜0
开
抛物线 开口向上 抛物线 开口向下
口
图
象
顶
点 b b 4ac－b
2
坐 对称轴是直线 x＝－

， 顶点坐标是 － ， 2a 2a 4a
标
增 b b
当 x＜－ 时，y 随 x 的增大而减小 当 x＜－ 时，y 随 x 的增大而增大
2a 2a
减
b b
性 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而减小 2a 2a
b b
抛物线有最低点，当 x＝－ 时， 抛物线有最高点，当 x＝－ 时，
最 2a 2a
值 4ac－b2 4ac－b2
y 有最小值，y 最小＝ y 有最大值，y 最大＝
4a 4a
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三、二次函数图象与系数 a，b，c 的关系
项目
字母的符号 图象的特征
字母
a>0 开口向上
a
a<0 开口向下
b＝0 对称轴为 y 轴
b ab>0 (a 与 b 同号) 对称轴在 y 轴左侧
ab<0 (a 与 b 异号) 对称轴在 y 轴右侧
c＝0 经过原点
c c>0 与 y 轴正半轴相交
c<0 与 y 轴负半轴相交
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交点(顶点)
b2－ 24ac b －4ac>0 与 x 轴有两个交点
b2－4ac<0 与 x 轴没有交点
四、二次函数解析式的确定
1．解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a 为常数，a≠0)，(h，k)为顶点坐标．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a 为常数，a≠0)，x1、x2 为抛物线与 x 轴交点
的横坐标．
2．待定系数法求解析式的步骤
(1)设：巧设二次函数的解析式．
(2)代：根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组).
(3)解：解方程(组)，求出待定系数的值，从而得到函数的解析式．
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五、二次函数的平移
1．平移的规律——平移前的函数解析式：y＝a(x－h)2＋k
移动方向 平移后的函数解析式 总结
向左平移 m 个单位长度 y＝a(x－h ＋m )2＋k
左加右减，
只给 x 加减
向右平移 m 个单位长度 y＝a(x－h －m )2＋k
向上平移 m 个单位长度 y＝a(x－h)2＋k ＋m
上加下减，
给等号右边整体加减
向下平移 m 个单位长度 y＝a(x－h)2＋k －m
2.平移的步骤
(1)将抛物线解析式转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k ，确定其顶点坐标．
(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标 (h，k) 即可．
六、二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1．二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．二次函数与不等式的关系
(1) ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 的解集
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象位于 x 轴上方部分对应自变量的取值范围．
(2) ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 的解集
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象位于 x 轴下方部分对应自变量的取值范围．
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第 14节 二次函数的综合应用
一、应用二次函数的性质解决最优化问题的思路
1．分析题中数量关系，确定变量．
2．根据等量关系，构建二次函数模型．
3．根据二次函数的性质，确定最值．
二、应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路
1．结合题意，建立恰当的平面直角坐标系．
2．数形结合，将已知条件转化为点的坐标．
3．求出抛物线的函数解析式，应用二次函数的性质或点的坐标的意义解决问题．
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