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中考数学《知识清单》
第 18节 三角形与全等三角形
一、三角形
1．三角形的概念与稳定性
(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形．
(2)三角形具有稳定性．
2．分类
(1)按边长关系分
不等边三角形
三角形
等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特例）
(2)按角的大小分
直角三角形
三角形 锐角三角形
斜三角形 钝角三角形
3．三边关系
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．内角和定理及外角和定理
三角形的内角和等于 180°，外角和等于 360°．
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5．三角形的四条重要线段
中线
1
性质：BD＝DC＝ BC，S△ABD＝S2 △ACD
重心：三角形三条中线的交点
高线
性质：AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°
垂心：三角形三条高线的交点
角平分线
1
性质：∠1＝∠2＝ ∠BAC
2
内心：三角形的三条角平分线的交点，到三角形三边的
距离相等，内心即三角形内切圆的圆心(尺规作图可用)
中位线
1
性质：DE∥BC 且 DE＝ BC
2
当在三角形中遇到中点时，常构造三角形的中位线，进
一步利用线段平行或倍分关系解决问题，可简单概括为
“已知中点找中位线”，在平行四边形或菱形中，边上
有中点时，常连接边的中点与对角线的交点构造中位线
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二、全等三角形
1．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2．全等三角形的判定
(1)判定一般三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS．
(2)判定直角三角形全等的方法：除上述四种判定方法外，还有 HL．
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第 19节 等腰与直角三角形
一、等腰三角形和等边三角形的性质与判定
等腰三角形
性质：(1)两底角相等(简称“等边对等角”)；
(2)顶角的平分线垂直平分底边，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相
重合，简称“三线合一”；
(3)是轴对称图形，有一条对称轴；
1
(4)面积：S＝ ah(a 为等腰三角形的一边长，h 为该边上的高)
2
判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(依据“等角对等边”)
等边三角形
性质：(1)三边相等；
(2)三个内角相等，每一个内角都等于 60°；
(3)是轴对称图形，有三条对称轴；
3
(4)面积：S＝ a2 (a 为等边三角形的边长)
4
判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
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二、线段的垂直平分线
1．性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
2．判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三、直角三角形的性质与判定
性质
(1)两锐角之和等于 90°；
(2)斜边上的中线等于斜边的一半；
(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半；
(4)若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 30°；
(5)勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a2＋b2＝c2(a，b 为直角边，
c 为斜边)；
1 1
(6)面积：S＝ ch＝ ab(a，b 为直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高)
2 2
判定
(1)有一个角为 90°的三角形是直角三角形；
(2)若 a2＋b2＝c2，则以 a，b，c 为三边长的三角形是直角三角形；
(3)如果三角形的一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
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三、锐角三角函数
∠ 的对边 a 1 2 3
正弦：sinA = = sin30 = sin45 = sin60 =
斜边 c 2 2 2
的邻边 b
余弦： 3 2 1cosA = = cos30 = cos45 = cos60 =
斜边 c 2 2 2
的对边 a 3
正切：tanA = = tan30 = tan45 =1 tan60 = 3
邻边 b 3
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第 20节 图形的相似
一、比例的性质
1．比例线段及性质
比例线段：
对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段 a，b 的比与另两条线段 c，d 的比
相等，即 a∶b＝c∶d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
比例的性质：
a c
(1)基本性质： ＝ ad＝bc(b，d≠0)；
b d
a c a＋b c＋d
(2)合比性质：如果 ＝ ，那么 ＝ (b，d≠0)；
b d b d
a1 a2 an a1＋a2＋…＋an
(3)等比性质：如果 ＝ ＝…＝ ，且 b ＋b ＋…＋b
b b b 1 2 n
≠0，那么
1 2 n b1＋b2＋…＋bn
a1
＝
b1
黄金分割：
如图，在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC)，如果 AC
是 BC 和 AB 的比例中项，那么称点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC 和 AB 的比
5－1
值 叫做黄金数，其近似值为 0．618．
2
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2．平行线分线段成比例
定理或基本事实
平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，
如果在其中一条直线上截得的线段相等，
那么在另一条直线上截得的线段也相等。
当 l1∥l2∥l3，且 AB＝BC 时，有 DE＝EF
基本事实：两条线段被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例。
AB DE AB DE
当 l1∥l2∥l3时，有 ＝ ， ＝ 等 BC EF AC DF
推论：
平行于三角形一边的直线
与其他两边(或两边的延长线)相交，
所得的对应线段成比例。
当 DE∥BC 时，
AD AE AD AE
有 ＝ ， ＝ 等
DB EC AB AC
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二、相似三角形
1．定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质
(1)相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、对应高的比都等于相似比．
(2)周长比等于相似比．
(3)面积比等于相似比的平方．
3．判定
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的

延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似
(1)一般三角形 两组角对应相等，两三角形相似
两组边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似
三组边对应成比例，两三角形相似
一组锐角对应相等，两直角三角形相似
(2)直角三角形 两组直角边对应成比例，两直角三角形相似
斜边和一组直角边对应成比例，两直角三角形相似
三、位似图形
1．定义
如果两个相似图形的每一组对应点所在的直线都交于同一点，那么这样的两个图形叫做位似图
形，这个交点叫做位似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比．
2．性质
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，任意一对对应点到位似中心的距
离之比等于位似比．
3．在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数
k(k≠0，1)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的位似比
为|k|．
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