资源简介

中考数学《知识清单》
第 23节 圆的有关性质
一、与圆有关的概念
1．圆
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，
另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径．
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O．圆也可以看成是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．圆的有关概念
同心圆 圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆
半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示．
弧
大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦
直径 经过圆心的弦叫做直径
弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角
二、与圆有关的性质和定理
1．对称性
(1)轴对称性：圆是轴对称图形，它的对称轴是任何一条直径所在的直线．
(2)中心对称性：圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．
2．垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
60/75
中考数学《知识清单》
3．弧、弦、圆心角之间的关系
(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别
相等．
4．圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
常见
图形
1
结论 ∠ACB＝ ∠AOB
2
(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的
推论 弧也相等；
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
5.圆内接四边形的概念和性质
一个四边形的四个顶点都在同一个圆
概念 上，这个四边形叫做圆的内接四边形，
这个圆叫做这个四边形的外接圆
圆内接四边形的对角互补， ∠A＋∠BCD＝180°，
性质
且任何一个外角都等于它的内对角 ∠B＋∠D＝180°，∠DCE＝∠A
61/75
中考数学《知识清单》
第 24节 与圆有关的位置关系
一、点与圆的位置关系
1．点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
设圆 O 的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系如下表所示：
点与圆的位置关系 示意图 d 与 r 的大小关系
点 A 在圆内 d＜r
点 B 在圆上 d＝r
点 C 在圆外 d＞r
2.确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
二、直线与圆的位置关系
1．直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．
设圆 O 的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示：
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
示意图
d 与 r 的大小关系 d＜r d＝r d＞r
与圆的交点的情况 有两个交点 有且只有一个交点 没有交点
2.切线的性质与判定
(1)性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
(2)判定：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线．
3．切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
62/75
中考数学《知识清单》
三、三角形的外接圆和内切圆
任何一个三角形都有一个外接圆和一个内切圆，只有等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆．
三角形的内心与外心的区别：
外心
定义——三角形外接圆的圆心
交点——三角形三边垂直平分线的交点
性质——到三角形三顶点的距离相等
位置—— ① 锐角三角形：内部
② 直角三角形：斜边的中点
③ 钝角三角形：外部
结论——直角三角形外接圆半径等于斜边的一半
内心
定义——三角形内切圆的圆心
交点——三角形三内角平分线的交点
性质—— ①到三角形三边的距离相等
②内心与顶点连线平分内角
位置——在三角形内部
1
结论——直角三角形内切圆半径 r＝ (a＋b－c)
2
63/75
中考数学《知识清单》
第 25节 与圆有关的计算
一、弧长及扇形面积的计算公式
nπR
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 l＝
180
nπR2
圆心角为 n°的扇形面积为 S＝
360
比较扇形面积公式和弧长公式，
1
可以用弧长表示扇形面积为 S＝ lR ，其中 l 为扇形的弧长，R 为半径．
2
二、正多边形
1．定义
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．有关概念
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径；
360°
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于 ；
n
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
三、圆锥的有关计算
如图所示，圆锥的侧面展开图是扇形，
设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，
那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2πr，
因此圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r＋l)．
64/75
中考数学《知识清单》
四、与圆有关的阴影部分面积的计算
1．弓形面积的求法
类型 劣弧对应的弓形 优弧对应的弓形
图形
面积计算 S 阴影＝S 小扇形 AOB－S△OAB S 阴影＝S 大扇形 AOB＋S△OAB
2.计算阴影部分面积的常用方法
(1)规则图形，可直接用公式求解．
(2)分割求和(差)法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或
差．如图 1，S 阴影＝S 扇形 BOC＋S△COD－S△ODE
图1
(3)等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算．
⌒
如图 2，点 D 为AB的中点，则 S 阴影＝S△ACD
如图 3，已知扇形 AOB，DO∥AB，则 S 阴影＝S△DAB＋S 弓形 AB＝S△OAB＋S 弓形 AB＝S 扇形 AOB
图2 图3 图4
(4)容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积＝叠加前的几个
图形的面积之和－(多加部分的面积＋空白部分的面积)”求解．
如图 4，阴影部分是扇形 ABE 和扇形 ACD 的重叠部分，则 S 阴影＝S 扇形 ABE＋S 扇形 ACD－S△ABC
65/75

展开更多......

收起↑