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专题六、新题型《网格中的尺规作图》
尺规作图规则与要求：
1.尺规作图:只使用没有刻度的直尺和圆规作几何图形的方法称为尺规作图2.作图公法:尺规作图可以使用的5项基本方法，称为“作公法”
(1)通过两个已知点可作一直线;
(2)已知圆心和半径可作一个圆;
(3)若两已知直线相交，可求其交点:
(4)若已知直线和一己知圆相交，可求其交点;
(5)若两已知圆相交，可求其交点.
3.网格作图:中考命题中，尺规作图多在网格中进行，以方便绘图和阅卷
4.课标要求:要求学生掌握以下 14种尺规作图:
(1)作一个角等于已知角;
(2)作一个角的平分线:
(3)作一条线段的垂直平分线;
(4)过一点作已知直线的垂线:
(5)过直线外一点作这条直线的平行线:
(6)已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;
(7)已知底边及底边上的高线作等腰三角形:
(8)已知一直角边和斜边作直角三角形:
(9)过不在同一直线上的三点作圆:
(10)作三角形的外接圆:
(11)作三角形的内切圆:
(12)作圆的内接正方形;
(13)作圆的内接正六边形;
(14)过圆外一点作圆的切线
典型题目：
1．如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O都在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)在图中画出绕点O顺时针旋转所得到的（其中点A，B，C的对应点分别为，，）；
(2)D是上一点，在图中画出D关于的对称点；
(3)在图中描出的外心P，并直接写出点A到直线的距离．
2．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在格点上．
(1)如图①，连结、交于点，直接写出的值为 ；
(2)如图②，在上找一点，使；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法）
(3)如图③，在上找一点，使的面积为（要求同上）．
(4)如图④，、交于点，直接写出的值 ．
3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．均在格点上，点为线段与网格线的交点．
（Ⅰ）的长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，分别在线段上画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，，与相交于点 F．
（1）请用无刻度的直尺，过点C画一条与平行的线段（点 P在格点上），不写画法；
（2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上．
(1)线段的长为　　　　　；
(2)点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　．
6．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（－2，2）．
①△ABC的面积为______；
②在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）
③在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为______．
（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．
①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．
②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．
7．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均在格点上，直线与格线重合．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图任务，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
(1)在图①中，作出关于直线对称的（点，，分别对应，，），并作出的高；
(2)在图②中，为上一点，在上作点，使得；
(3)在图③中，在线段上作点，使得．
8．如下图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均为格点，请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)在图1中，将绕点O旋转得到，请画出和点O；
(2)在图1中，在边上找点P，使得；
(3)在图2中，经过A，B，C三个格点，作的角平分线；
(4)在图2中，在（3）的条件下，上一点N不在网格线上，作弦弦．
9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B、C均在格点上

(1)的大小为____________（度）
(2)在如图所示的网格中，以B为中心，取旋转角等于，把顺时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的，并简要说明旋转后点A和点C的对应点点和点的位置是如何而找到的（不要求证明）
10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点A，B的圆的圆心在边上．
(1)线段的长等于__________；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足的度数小于的度数，并说明理由．
(3)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________．
参考答案
1．(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析，
【分析】（1）依题意，分别作出A，B，C的对应点分别为，，，再依次连接，即可作答；
（2）先作出B关于的对称点，连接，，与的交点为，连接，延长交于点一点，该点即为点；
（3）的外心P是指的外接圆的圆心，即三边的垂直平分线的交点，分别作三边的垂直平分线，它们的交点即为点P；然后利用勾股定理以及等面积法进行作答即可．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：D关于的对称点，如图所示：

（3）解：的外心P如图所示：

连接，，过点A作交于点，过点P作交于点，如图所示：

根据网格特征以及勾股定理，得，
则，，
因为，
所以
则点A到直线的距离为．
【点睛】本题考查了学生的作图能力，涉及旋转作图、对称作图、三角形的外心、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
2．(1)
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明得到；
（2）取点格点，连接交于点，点即为所求；
（3）取格点，连接交于点，点即为所求；
（4）取格点连接交于点，得到，，证明，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，取点格点，连接交于点，点即为所求；
，
，
，
；
（3）解：如图，取格点，连接交于点，点即为所求；
，
，
，
，
；
（4）解：如图，取格点连接交于点，
由图可知，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
3． 5 见详解
【分析】本题主要考查网格特点、勾股定理、旋转的性质的性质和垂线段最短等知识点，
（Ⅰ）根据网格和勾股定理求解即可；
（Ⅱ）取格点E，J，连接，，、交网格线于点F，K，连接，可知，则，那么，,结合垂线段最短可知点即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，
取格点E，J，连接，，延长交于点M，交于点N，连接，点M，点N即为所求．
4．（1）画图见解析；（2）画图见解析；把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，则与的交点为
【分析】（1）取格点，连接，则可由沿到的方向平移得到，则；
（2）如图，把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，的对应点为，与的交点为；从而可得答案；
【详解】解：（1）如图，线段即为所求；
（2）如图，即为所求；
把四边形向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到四边形，
的对应点为，与的交点为；
由平移的性质可得：，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的网格作图，同时考查了平移的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键．
5．(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可．
【详解】（1）解：由勾股定理可知，，
故答案为：；
（2）解：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．

6．（1）①；②见解析；③；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）①直接根据三角形的面积公式进行计算即可；
②利用位似图形的性质得出对应点的坐标进而得出答案；
③由位似变换的性质可得答案；
（2）①根据平行四边形的性质，先连接和得到的中点，再连接交于点，则点为的重心，连接并延长交于点，则点即为所求；
②先过点作，再平移得到，则，接着作垂直平分线，平移得到，，与的交点为的垂心，所以延长交与，则．
【详解】解：（1）①,
故答案为：；
②如图，即为所求，
③若P（a，b）为线段AC上的任一点，
则缩小后点P的对应点P1的坐标为，
故答案为：；
（2）①如图1，点即为所作；
②如图2，即为所作．
【点睛】本题考查了作图－位似变换，重心，平行四边形的性质，三角形的垂心等知识点，熟练掌握相关的图形的性质是解本题的关键．
7．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可，左侧3个格点确定点，连接，与的交点即为点；
（2）取的中点，过中点，作线段，连接，交于点，连接并延长，交于点，连接即可；
（3）取格点，连接，构造等腰直角三角形，与的交点即为点．
【详解】（1）解：如图，，高即为所求；
由作图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的高；
（2）如图，即为所求；
由作图可知：都是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴；
（3）如图，点即为所求；
由作图可知：，
，
∴．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，构造特殊图形和全等三角形是解题的关键．
8．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，得到，得到四边形为平行四边形，在下方确定点使四边形为平行四边形，连接，与的交点即为点；
（2）取点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求；
（3）取的中点，过点作，交于点，连接，即为所求；
（4）连接，交于点，取格点，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，和点O，即为所求；
由作图可知，四边形为平行四边形，
∴可看作绕点O旋转得到；
（2）如图所示，点即为所求；
由作图可知：；
（3）如图所示，即为所求；
由作图和垂径定理可知：，
∴；
（4）如图所示，点即为所求；
由作图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴点与点关于对称，
由圆的对称性可知：．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
9．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理可求，，的长，再根据勾股定理的逆定理可求的大小；
（2）延长至点E，使，连接．延长至点，使，作，与交于点．即为所求．
【详解】（1）根据勾股定理得：
，
，
∵，
∴由勾股定理逆定理可知，为直角三角形．
∴，
故答案为：．
（2）如图，延长至点E，使（均为方格的对角线长），连接．延长至点，使，作（均为方格的对角线长），与交于点．即为所求．

理由：如下图，作（在方格上），连接、．

∵，
∴四边形是平行四边形
∴．
∵
∴
∴，
∴
∴．
∵
∴平分
∴
又∵
∴
故即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的证明、作图-旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）在直线上方的弧上找一点D，使得点C在内，连接，，延长，与交于E，根据外角的性质可得大小；
（3）取圆与网格的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与，的连线相交于点，连接，于是得到结论．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：；
故答案为：；
（2）如图，点D即为所求；
连接，，延长，与交于E，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，取圆与网格线的交点，，连接与交于一点，则这一点是圆心，
与网格线相交于，连接并延长交于点，连接并延长，与点，的连线相交于点，连接，
则点满足．
理由：第一步：连接得圆心，因为，所以是直径．
第二步：点根据网格相似比，可以知道为的中点，所以是垂径．
第三步：连接并延长，交于，是半径等于，所以，
，，
，又，，
，
，
，
，
又，，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，外角的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．

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