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广东省初中学业水平考试
数学冲刺卷(一)
本试卷共8页，23小题，满分120分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列有理数中最小的数是( )
A. -2 B.0 C.2 D.4
2.在平面直角坐标系中，点P(-1,m +1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动.截至 2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门,学习人次达1290 000 000,建设和应用规模居世界第一.数据1 290 000 000用科学记数法表示为( )
4.如题4图,AB∥CD,直线 EF分别交AB,CD于点E,F,若∠EFD=64°,则∠BEF的度数是( )
A.136° B.64° C.116° D.128°
5.计算( 的结果是( )
A. a C. a
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6.将直线y=2x+1向右平移2个单位长度后所得图象对应的函数表达式为( )
A. y=2x+5 B. y=2x+3 C. y=2x-2 D. y=2x-3
7.若则 ( )
A.1 B. -1 C.0 D.2 025
8.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<0且m≠-1 B. m≥0 C. m≤0且m≠-1 D. m<0
9.一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是( )
A. B. C. D.
10.如题10图，反比例函数经过A,B两点,连接OA,AB,过点B作BD⊥y轴,垂足为点 D,BD交OA 于点E,且E为AO的中点,则△AEB的面积是( )
A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.因式分解：a -2a+1= .
12.一组数据6,8,10,x的平均数是9,则x的值为 .
13.正六边形的一个内角的度数是 .
14.如题14图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C 三点都在格点上,则sin∠ABC= .
15.如题15图,在菱形ABCD中,BC=10,面积为60,对角线AC与BD交于点O,过点A作AE⊥BC,交边 BC于点 E,连接EO,则 EO= .
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三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
17.先化简，再求值：其中
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18.如题18图,在平行四边形ABCD中,AB(1)实践与操作：用尺规作图法在边 BC上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与证明:在(1)的条件下,求证:BE=BA.
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19.我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识.为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量(单位：吨)，绘制出如下未完成的统计图表.
(1)填空:m= ,n= ;
(2)这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
(3)若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭有多少个
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20.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类生产线(共30条)的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备
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21.【主题】制作装饰锥形草帽
【素材】①母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽(如题21-1图);
②5张颜色不同(红、橙、黄、蓝、紫)、足够大的卡纸.
【实践操作】
步骤1：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角1：2：1：2：3的比例剪成半径为25cm的扇形.
步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表面且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽.
【实践探索】
(1)计算红色扇形卡纸的圆心角的度数.
(2)如题21-2图，根据(1)的计算过程，求出圆锥的高h、母线长l与侧面展开图的圆心角度数n°之间的数量关系.
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五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22.【知识技能】
(1)如题22-1图,在矩形ABCD中,点P是AB边的中点，点Q是BC边上的一个动点，将沿直线PQ翻折，点B 落在点 B'处.求证：
【数学理解】
(2)在(1)的条件下,连接CB',求△CB'Q周长的最小值.
【拓展延伸】
(3)如题22-2图,在(1)的条件下,若BC=13,连接BB',延长BB'交对角线AC 于点M,当时,求MB'的长.
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23.【问题背景】
如题23图，已知抛物线过点 C(0,-4),顶点为与x轴交于A，B两点.以AB为直径，点D为圆心作圆，记作⊙D.
【构建联系】
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标.
(2)求证:CM是⊙D的切线.
【深入探究】
(3)设点P在抛物线的对称轴上，连接CP，将线段CP绕点P旋转90°，是否存在点P，使点C的对应点C'恰好落在抛物线上 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. B 10. A
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
12.12 13.120°
三、解答题(一)：本大题共3 小题，每小题7分,共21分.
16.解:由 得x<7, ……3分
由 得 ……………………6分
∴不等式组的解集为-117.解:原式 分
分
=a-2. 5分
当时，原式
……………………………………………………………………… 7分
18.(1)解:如答题18图,点E 即为所求.
………………………………………………………………… 3分
(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC. 4分
∴∠DAE=∠AEB. 5分
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠BAE.
∴∠BAE=∠AEB. 6分
∴BE=BA. 7分
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分,共27分.
19.解:(1)20 2分
15 4分
(2)B 6分
(个). …………… 8分
故估计该小区去年月均用水量小于4.8吨的家庭有648个.…………………………………………9分
20.解：(1)设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线.
根据题意，得 ………… 2分
解得 …………………………………………………3分
故该企业有 10条甲类生产线，20条乙类生产线. 4分
(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元.
根据题意，得 6分
解得m=45.
经检验，m=45是原分式方程的解，且符合题意. 7分
20×45-70=1330.
故还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 9分
21.解：(1)圆锥的底面半径为15(cm). 1分
2分
解得n=216. 3分
…… 4分
∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为24°.……………………………………………………………… 5分
(2)∵圆锥的底面半径为
………………………7分
五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分,第23题14分,共27分.
22.(1)证明:∵点 P是AB的中点,∴AP=BP.
由折叠的性质可得
即点 B'的轨迹为以点P 为圆心的半圆(如答题22-1图).
…………………………………………………………………1分
由圆周角定理可得
……………………………………………………………………2分
由折叠的性质可得
…………………………………………………………3分
∴AB'∥PQ. …………………………………………… 4分
(2)解:由(1)可知,点的轨迹为以点P 为圆心的半圆，如答题22-2图，连接CB'，PC.
由折叠的性质可得
∴CQ+B'Q=CQ+BQ=BC.
∵B'P+B'C≥PC,
………………………………………………………………………………………… 5分
在Rt△BPC中，由勾股定理，得
∴BC的最小值为 ……………………………………………… 6分
∴△CB'Q周长的最小值为 ……… 7分
∵BC≥13,
∴当BC=13时,△CB'Q 周长的最小值为 …………………………………………… 8分
(3)解:若 BC=13,则矩形ABCD为正方形,如答题22-3图,由AB为⊙P的直径,可得∠AB'B=90°,将△AB'B 和△AMB'分别沿AB,AC 翻折到△AEB 和△AMF 处,延长EB,FM相交于点H.
由对称性可知∠BAB=∠BAE,∠MAB'=∠MAF,∠E=∠AB'B=∠AB'M=∠F=90°,AE=AB'=AF,则∠EAF=2∠BAC=90°.
∴四边形 AEHF为正方形.………………9分
在Rt△ABB'中,由勾股定理,得AB'=
∴AE=EH=HF=AF=AB'=12.………………………………………………………………10分
由折叠的性质可得 MF,
设MB'=MF=x,则 BM=5+x,BH=EH-EB=12-5=7,HM=HF-MF=12-x. 11分
在Rt△BHM 中,由勾股定理,得7 + ………………………… 12分
解得 13分
23.(1)解:∵抛物线的顶点为
∴抛物线 ……………………………………………… 1分
∵抛物线 过点 C(0,-4),
解得
∴抛物线的解析式为 …………………………………… 2分
令y=0,则
解得 ………………………… 3分
∴A(-2,0),B(8,0).
∴AB=10.∴AD=5.∴OD=3.
∴D(3,0). 4分
(2)证明:如答题23-1图,连接CD,过点M作ME⊥y轴于点E,则
∵∠COD=90°,∴∠MEC=∠COD.
……………………………………………………………… 5分
∴∠MCE=∠CDO. 7分
∵∠DCO+∠CDO=90°,
∴∠DCO+∠MCE=90°.
………………………………… 8分
∴DC⊥CM.
∵CD是⊙D的半径,
∴CM是⊙D 的切线. 9分
(3)解:如答题23-2图,设 P(3,t),过点 P 作PE⊥y轴于点E,过点C作C'F⊥PE,交 EP 的延长线于点 F,则∠PEC=∠PFC'=90°,∴∠PCE+∠CPE=90°.
………………………………………………………………… 10分
∴∠PCE=∠CPF.
∴△PCE≌△CPF(AAS).
∴CE=PF,PE=C'F. 12分
∵C(0,-4),E(0,t),P(3,t),
∴CE=t+4,PE=3.
∴EF=7+t.
……………………………… 13分
设点C'在抛物线 的图象
上，则
解得
∴点 P的坐标为(3,-1)或(3,-3).
………………………………………………………………… 14分

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