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第2节　振动的描述
第2章　机械振动
1．知道振幅、周期和频率的概念，了解全振动的含义及简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线。
2．掌握简谐运动图像的物理意义和应用。
3．掌握简谐运动的位移公式，能理解表达式中各量的物理意义。
4．知道振动图像和位移公式在生产、生活中的应用。
学习任务
知识点一　振动特征的描述
1．振幅(A)
(1)定义：振动物体离开________的最大距离。
(2)物理意义：表示振动幅度大小或________的物理量，是标量。
(3)声音大小由发声体振动的____决定，____越大，发出的声音就越大。
必备知识·自主预习储备
平衡位置
振动强弱
振幅
振幅
提醒　简谐运动的位移是矢量，振幅是标量，振幅等于位移的最大值，但是最大位移并不是振幅。
全振动
之比
快慢
高
快

音调
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅。 (　　)
(2)振幅随时间做周期性变化。 (　　)
(3)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期。 (　　)
√
×
×
知识点二　简谐运动的位移图像及位移公式
1．简谐运动的位移图像
(1)坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动物体运动的____，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对________的位移。
(2)图像的特点
一条正弦(或余弦)曲线。
时间
平衡位置
(3)图像意义
表示做简谐运动的物体的____随时间按正弦(或余弦)规律变化的情况。
(4)图像信息
如图所示，从图像上可知____和____。还可知道任一时刻的____大小和方向。
位移
周期
振幅
位移
思考　图像上的一个点表示什么意义？
提示：表示物体在某一时刻所处的位置(或位移)。
平衡位置
振动时间
振幅
角速度(或圆频率)
体验2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的位移图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移。 (　　)
(2)简谐运动图像上可以看出振子的运动轨迹。 (　　)
(3)x＝A sin ωt中的A为振幅，是矢量。 (　　)
3．填空
x＝A sin ωt，该表达式表示的是物体由_________开始计时，沿______运动。
√
×
×
平衡位置
正方向
(1)如图所示，振子在A、B间振动，O为平衡位置。振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)简谐运动的表达式一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
关键能力·情境探究达成
提示：(1)不是。从O→B→O→A→O为一次全振动。经过一个周期振子必须从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次同时与初始时刻相同。
(2)简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。
考点1　振幅、周期和频率
1．对全振动的理解
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
2．振幅和振动系统的能量关系
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
3．振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是
(1)一个周期内的路程为4倍的振幅。
(2)半个周期内的路程为2倍的振幅。
4．振幅与周期的关系
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
角度1　对频率、周期的理解
【典例1】　(多选)关于简谐运动的频率，下列说法正确的是(　　)
A．频率越高，振动质点运动的速度越大
B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多
C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
√
√
BC　[简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，而速度是变化的，物体振动过程中最大速度大，也不能说明它的频率大。振动得越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；做简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量：质量m和弹簧的劲度系数k决定，故D错误。]
角度2　振幅与振动物体的路程
【典例2】　如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
√
D　[振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝
2 s，振幅A＝BO＝5 cm。弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm，3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm。故D正确，A、B、C错误。]
[跟进训练]
1．(角度1)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
B　[弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2；而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1。故B正确。]
√
√
3．对简谐运动表达式x＝A sin (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。
(3)相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同圆频率ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01。当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反。
角度1　简谐运动的表达式
【典例3】　如图所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝4 cm。从小球在图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.1 s，则小球振动的周期为_____s，振动方程的表达式为x＝__________cm。
0.4
　2cos 5πt
角度2　简谐运动的图像
【典例4】　如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝
1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm。现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间
的变化关系式。
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程
和12.9 s时刻的位置。
(3)求小球运动到最高点时加速度的大小。
甲　　 　　　乙
规律方法　简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向：
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向：
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。
√
4．(角度2)(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则(　　)
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，
加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，
加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
√
√
BD　[t＝0时刻，振子位于平衡位置，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确。]
1．关于振幅的各种说法，正确的是(　　)
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
学习效果·随堂评估自测
√
2
4
3
题号
1
A　[振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，故D错。]
2．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是(　　)
A．2∶1，2∶1　　　　　　 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
2
3
题号
1
4
√
A　[由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1。故A正确，B、C、D错误。]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
2
3
题号
4
1
√
A　[由题图可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体先由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，C、D错误。]
4．5月12日是全国防灾减灾日。现代地震仪的工作原理如图甲所示：弹簧下吊着一个重锤，在重锤上有一只笔，笔在一个转动的圆筒上记录，当地面振动时，重锤会上下振动，笔就会在转动的圆筒上画出振动的波形。地震振动的速度较快，转动的圆筒速度也要快一些才便于观察和记录地震的波形形状。在某次测试时，在圆筒的记录纸上得到一条曲线，如图乙所示。
2
4
3
题号
1
(1)若圆筒边缘的线速度为1 m/s，
则由图乙中数据算出重锤的振动
周期为多少？
(2)作出重锤的振动图像，并写出对应的振动方程。
2
4
3
题号
1
[答案]　(1)0.2 s　(2)见解析图，x＝2sin 10πt(cm)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．在简谐运动中，完成一次全振动通过的路程为多大？需要多少时间？
提示：4A(其中A为振幅)，一个周期T。
2．简谐运动的图像是一条什么样的曲线？从图像上可以直接得到什么信息？
提示：正弦(或余弦)曲线，振幅、周期。
3．请写出简谐运动的位移公式。
提示：x＝A sin ωt或x＝A sin (ωt＋φ0)。第2节　振动的描述
1．知道振幅、周期和频率的概念，了解全振动的含义及简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线。
2．掌握简谐运动图像的物理意义和应用。
3．掌握简谐运动的位移公式，能理解表达式中各量的物理意义。
4．知道振动图像和位移公式在生产、生活中的应用。
知识点一　振动特征的描述
1．振幅(A)
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)物理意义：表示振动幅度大小或振动强弱的物理量，是标量。
(3)声音大小由发声体振动的振幅决定，振幅越大，发出的声音就越大。
2．周期( T )和频率( f )
(1)周期：做简谐运动的物体，完成一次全振动所经历的时间。
(2)频率：在一段时间内，物体完成全振动的次数与这段时间之比。
(3)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力作用下的振动周期(或频率)，叫作固有周期(或固有频率)。
(4)物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越短，频率越高，表示物体振动越快，周期与频率的关系是T＝。
(5)发声体的固有频率不同，发出声音的音调也不同。
　简谐运动的位移是矢量，振幅是标量，振幅等于位移的最大值，但是最大位移并不是振幅。
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅。 (√)
(2)振幅随时间做周期性变化。 (×)
(3)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期。 (×)
知识点二　简谐运动的位移图像及位移公式
1．简谐运动的位移图像
(1)坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动物体运动的时间，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移。
(2)图像的特点
一条正弦(或余弦)曲线。
(3)图像意义
表示做简谐运动的物体的位移随时间按正弦(或余弦)规律变化的情况。
(4)图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅。还可知道任一时刻的位移大小和方向。
2．简谐运动的位移公式
简谐运动的一般表达式为x＝A sin ωt＝Asint。
(1)x表示振动物体相对于平衡位置的位移，t表示振动时间。
(2)A表示简谐运动的振幅。
(3)ω叫作简谐运动的角速度(或圆频率)，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。
　图像上的一个点表示什么意义？
提示：表示物体在某一时刻所处的位置(或位移)。
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简谐运动的位移图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移。 (√)
(2)简谐运动图像上可以看出振子的运动轨迹。 (×)
(3)x＝A sin ωt中的A为振幅，是矢量。 (×)
3．填空
x＝A sin ωt，该表达式表示的是物体由平衡位置开始计时，沿正方向运动。
(1)如图所示，振子在A、B间振动，O为平衡位置。振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)简谐运动的表达式一般表示为x＝A sin (ωt＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
提示：(1)不是。从O→B→O→A→O为一次全振动。经过一个周期振子必须从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次同时与初始时刻相同。
(2)简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。
考点1　振幅、周期和频率
1．对全振动的理解
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
2．振幅和振动系统的能量关系
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
3．振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是
(1)一个周期内的路程为4倍的振幅。
(2)半个周期内的路程为2倍的振幅。
4．振幅与周期的关系
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
角度1　对频率、周期的理解
【典例1】　(多选)关于简谐运动的频率，下列说法正确的是(　　)
A．频率越高，振动质点运动的速度越大
B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多
C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次
D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
BC　[简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，而速度是变化的，物体振动过程中最大速度大，也不能说明它的频率大。振动得越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；做简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量：质量m和弹簧的劲度系数k决定，故D错误。]
角度2　振幅与振动物体的路程
【典例2】　如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
[思路点拨]　(1)振子从B经O到C的时间为T。
(2)振子的振幅是5 cm，完成一次全振动的路程为振幅的4倍。
D　[振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm。弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm，3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm。故D正确，A、B、C错误。]
　振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅。
(2)若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间的大小关系不确定。路程可能大于、等于或小于振幅。
[跟进训练]
1．(角度1)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
B　[弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2；而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1。故B正确。]
2．(角度2)一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体(　　)
A．在任意内通过的路程一定等于A
B．在任意内通过的路程一定等于2A
C．在任意内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于2A
B　[物体做简谐运动，是变加速运动，在任意内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D错误。]
考点2　简谐运动的图像和公式
1．简谐运动图像的应用
(1)由图像可以直接确定周期和频率。
(2)可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小。
(3)可直接读出振子正(负)位移的最大值，确定振幅的大小。
(4)x-t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度，斜率的绝对值为速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。
(5)根据a＝＝－x，由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向。
(6)可以由图像信息写出简谐运动表达式。
2．对简谐运动表达式x＝A sin ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf。可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
3．对简谐运动表达式x＝A sin (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。
(3)相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同圆频率ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01。当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反。
角度1　简谐运动的表达式
【典例3】　如图所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝4 cm。从小球在图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.1 s，则小球振动的周期为________s，振动方程的表达式为x＝______________cm。
[解析]　如题图，从正向最大位移处开始计时，振动方程的表达式为x＝A cos ωt；其中振幅A＝2 cm；据题可得周期T＝4×0.1 s＝0.4 s，则ω＝＝5π rad/s，则振动方程的表达式为x＝2cos 5πt(cm)。
[答案]　0.4　2cos 5πt
角度2　简谐运动的图像
【典例4】　如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm。现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式。
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置。
(3)求小球运动到最高点时加速度的大小。
甲　　　　　　　　　乙
[解析]　(1)由振动图像可知：A＝5 cm，T＝1.2 s
则ω＝ rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式
y＝A cos ωt＝5cos t(cm)。
(2)12.9 s＝10T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程：43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置：y＝0，即在平衡位置。
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则
k＝ N/m＝100 N/m
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则
mg－kΔx′＝ma
解得a＝5 m/s2。
[答案]　(1)y＝5cos t(cm)　(2)215 cm　平衡位置　(3)5 m/s2
　简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向：
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小。方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断。
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向：
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可。
[跟进训练]
3．(角度1)弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10-3 sin (m)
B．x＝4×10-3 sin (m)
C．x＝8×10-3 sin (m)
D．x＝4×10-3 sin (m)
B　[振子振动范围为0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处，综上可得它的振动方程为x＝4×10-3 sin (4πt－)(m)，B正确，A、C、D错误。]
4．(角度2)(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则(　　)
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD　[t＝0时刻，振子位于平衡位置，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确。]
1．关于振幅的各种说法，正确的是(　　)
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强，周期越长
A　[振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，故D错。]
2．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它们的振幅之比、各自的频率之比是(　　)
A．2∶1，2∶1　　　　　　 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
A　[由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1。故A正确，B、C、D错误。]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A　[由题图可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体先由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，C、D错误。]
4．5月12日是全国防灾减灾日。现代地震仪的工作原理如图甲所示：弹簧下吊着一个重锤，在重锤上有一只笔，笔在一个转动的圆筒上记录，当地面振动时，重锤会上下振动，笔就会在转动的圆筒上画出振动的波形。地震振动的速度较快，转动的圆筒速度也要快一些才便于观察和记录地震的波形形状。在某次测试时，在圆筒的记录纸上得到一条曲线，如图乙所示。
(1)若圆筒边缘的线速度为1 m/s，则由图乙中数据算出重锤的振动周期为多少？
(2)作出重锤的振动图像，并写出对应的振动方程。
[解析]　(1)由题图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，所以振子的振动周期为
T＝＝0.2 s。
(2)由题图乙可以看出重锤的振幅为2 cm，且t＝0时刻时重锤向上运动，振动图像如图所示。
振动方程为
x＝A sin ωt
其中
A＝2 cm
ω＝＝10π rad/s
代入可得
x＝2sin 10πt(cm)。
[答案]　(1)0.2 s　(2)见解析图，x＝2sin 10πt(cm)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．在简谐运动中，完成一次全振动通过的路程为多大？需要多少时间？
提示：4A(其中A为振幅)，一个周期T。
2．简谐运动的图像是一条什么样的曲线？从图像上可以直接得到什么信息？
提示：正弦(或余弦)曲线，振幅、周期。
3．请写出简谐运动的位移公式。
提示：x＝A sin ωt或x＝A sin (ωt＋φ0)。
课时分层作业(五)　振动的描述
?题组一　振幅、周期和频率
1．如图所示，O点为弹簧振子的平衡位置，小球在B、C间做无摩擦的往复运动。若小球从C点第一次运动到O点历时0.1 s，则小球振动的周期为(　　)
A．0.1 s　　 B．0.2 s
C．0.3 s D．0.4 s
D　[振子从C点第一次运动到O点的时间为0.1 s，对应的时间为一个周期的，故该弹簧振子的周期为0.4 s，D正确。]
2．(多选)下列关于简谐运动的周期、频率、振幅的说法正确的是(　　)
A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增大，周期也增大，而频率减小
D．在自由振动下，做简谐运动的物体的频率是固定的，与振幅无关
BD　[振幅是一个标量，没有方向，选项A错误；周期和频率互为倒数，其乘积是1，选项B正确；在自由状态下，振动物体的周期(或频率)与振幅的大小无关，只由振动物体本身的性质决定，选项C错误，D正确。]
3．(多选)弹簧振子在AOB之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得AB间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s。则(　　)
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．振子过O点时计时，3 s内通过的路程为24 cm
CD　[A、B之间的距离为8 cm，则振幅是4 cm，A错；T＝2 s，f＝0.5 Hz，B错；振子完成一次全振动通过的路程是4A，即16 cm，3 s内运动了1.5个周期，故总路程为24 cm，C、D对。]
?题组二　简谐运动的表达式
4．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．在任意0.2 s时间内，振子的位移均为0.1 m
C　[由y＝0.1sin (2.5πt)知，弹簧振子的振幅为0.1 m，选项A错误；弹簧振子的周期为T＝ s＝0.8 s，选项B错误；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，即振子到达位移最大点，此时振子的运动速度为零，选项C正确；只有当振子从平衡位置或者从位移最大点开始计时时，经过0.2 s，振子的位移才为A＝0.1 m，选项D错误。]
5．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m。比较A、B的运动(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
CD　[振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错；周期是标量，A、B的周期T＝ s≈6.28×10-2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φAO－φBO＝为定值，D对。故选CD。]
?题组三　简谐运动的图像
6．装有沙粒的试管竖直静立于水面，如图所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则下列描述试管振动的图像中可能正确的是(　　)
A　　　 　B　　 　　C　　　　D
D　[试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起试管的距离，就是其偏离平衡位置的位移，即正向最大位移，故正确答案为D。]
7．在水平方向上做简谐运动的质点其振动图像如图所示，假设向右为正方向，则质点速度向右且增大的时间是(　　)
A．0～1 s内 B．1～2 s内
C．2～3 s内 D．3～4 s内
D　[x-t图线的斜率等于速度，则3～4 s内图线的切线斜率为正且增大，速度为正即向右且增大，故选D。]
8．一质点做简谐运动，其位移—时间图像如图所示，由图像可知(　　)
A．t＝1 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
B．t＝2 s时，质点速度为零，加速度为负的最大值
C．t＝3 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，质点速度为零，加速度为正的最大值
C　[t＝1 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为负，即速度为负，选项A错误；t＝2 s时，位移为负的最大值，加速度为正的最大值，速度为零，选项B错误；t＝3 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为正，即速度为正，选项C正确；t＝4 s时，质点位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，选项D错误。]
9．如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物块A连接在一起，物块B紧挨着物块A静止在斜面上。某时刻将B迅速移开，A将在斜面上做简谐运动，已知物块A、B的质量分别为mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开B的时刻为计时起点，则A的振动位移随时间变化的图像是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
B　[物块A、B紧挨在一起平衡时弹簧压缩量Δx1＝g sin θ，移走B后，A平衡时弹簧压缩量Δx2＝，因此，A的最大位移Δx＝Δx1－Δx2＝，故A、C错误；又t＝0时，A在负位移最大值处，故B正确，D错误。]
10．如图所示，甲质点在x1轴上做简谐运动，O1为其平衡位置，A1、B1为其所能到达的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知A1O1＝A2O2，甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等，设甲质点从A1运动到O1的时间为t1，乙质点从A2运动到O2的时间为t2，则(　　)
A．t1＝t2 B．t1>t2
C．t1C　[已知A1O1＝A2O2，甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等，结合题意，作出甲质点从A1到O1与乙质点从A2到O2过程的v-t图像，如图所示。
容易得出t111．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像。已知甲、乙两个振子质量相等，则(　　)
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2 s内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置
A　[根据振动图像，甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm，A对；由于两个振子的周期和频率不同，其相位差亦会变化，B错；前2 s内，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向为负方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向为正方向，C错；第2 s内甲从正向最大位移处向平衡位置运动，速度方向为负方向，指向平衡位置；乙向负向位移最大处运动，速度方向为负方向，且指向负向最大位移处，D错。故选A。]
12．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
(1)写出该振子做简谐运动的表达式。
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
[解析]　(1)由振动图像可得
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝ rad/s
故该振子做简谐运动的表达式为
x＝5sin t(cm)。
(2)由题图可知，在t＝2 s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过25个周期，所以前100 s 振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm。
[答案]　(1)x＝5sin t(cm)　(2)见解析 (3)0　500 cm
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子振动周期T。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程。
(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，弹簧振子向正方向运动，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
[解析]　(1)弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示。由对称性可得T＝0.5×2 s＝1.0 s。
甲
(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程为
s＝4×4A＝4×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，ω＝＝2π
得x＝12.5sin 2πt(cm)
振动图像如图乙所示。
乙
[答案]　(1)1.0 s　(2)200 cm　(3)见解析
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