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2025年山东省济南市中考数学模拟试题1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．有理数的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．是精确到十位
B．两数相加，和一定大于其中任何一个加数
C．近似数0.8和0.80的精确度不同
D．用科学记数法表示的数，其原数是25000
4．下列命题正确的是（ ）
A．正多边形的外角和为 B．对角线相等的四边形是矩形
C．等边三角形是中心对称图形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值（ ）
A． B． C．且 D．且
8．每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（ ）
A． B．4 C． D．8
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．若分式的值为0，则x的值为 ．
12．在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是 ．
13．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ．
14．小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为 ．
15．如图，在矩形中的边上取一点E，将沿翻折，使得C恰好落在边上点F处，在上取一点G，使得，连接并延长交直线于点H，当为等腰三角形时，则的值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（1）
（2）计算
17．计算：
(1)
(2)解不等式组：
18．如图，，，，，，求证：．
19．杨洋计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日杨洋在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，结果他的压岁钱还余30％，于是杨洋又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10％．问杨洋原计划买几个小熊玩具，杨洋的压岁钱共有多少元？
20．如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
乙试验田穗长的频数分布直方图
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组 频数 频率
4 0.08

14 0.28
11 0.22
0.20
2
合计 50 1.00
c．乙试验田穗长在这一组的是：6.1，6.2，6.2，6.2，6.3，6.3，6.3，6.4，6.4
．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田 平均数 中位数 众数 方差
甲 5.924 5.8 5.8 0.454
乙 5.924 w 6.5 0.608
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中的值为___________，的值为___________；
(2)表2中的值为___________；
(3)在此次考查中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是___________；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是___________；
(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计乙试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？
22．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
6
(1)求、的值，并补全表格；
(2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围．
23．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架稳定篷面．支架的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点共线），即米，支架与墙面的夹角．
素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值432.52
素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长．
任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
24．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
25．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点在的垂直平分线上时，求的值；
(2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【考点】相反数的定义
【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
解：的相反数是2024．
故选：B．
2．【考点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意．
故选：C．
3．【考点】求近似数的精确度、用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了精确度及科学记数法，分别根据近似数和科学记数法的定义判断即可．
解：A、是精确到十位，故A选项不符合题意；
B、两数相加，和不一定大于其中任何一个加数，故B选项符合题意；
C、近似数0.8精确到十分位，0.80精确到百分位，故C选项不符合题意；
D、用科学记数法表示的数，其原数是25000，故D选项不符合题意．
故选：B．
4．【考点】中心对称图形的识别、正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、正多边形的外角问题
【分析】根据正多边形的内角和、矩形的判定、正方形的判定及中心对称图形的定义进行判断即可．
解：正多边形的外角和为，故A符合题意；
对角线相等的四边形不一定是矩形，故B不符合题意；
等边三角形不是中心对称图形，故C不符合题意；
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故D符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查正多边形的内角和、矩形的判定、正方形的判定及中心对称图形的定义，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．【考点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上考点并灵活运用是解此题的关键．
解：A、，，
，故A不符合题意；
B、，，
，故B符合题意；
C、，
，
，故C不符合题意；
D、，
，不能判定为直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
6．【考点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．利用幂的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法逐项计算判断即可．
解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项不正确，不符合题意；
D．，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
7．【考点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程定义及根的判别式求出k的取值范围，此题考查一元二次方程的根的个数及根的判别式．
解：根据题意得且，
所以且．
故选：D．
8．【考点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
解：设“二胡课”、“轮滑课”、“围棋课”分别用表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中两人恰好选择同一种课程的结果有种，
∴两人恰好选择同一种课程的概率是，
故选：．
9．【考点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三线合一、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短
【分析】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出．
解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，
∴，，，
∴，
此时取得最小值，
∵点与点关于对称，点与点关于对称，，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，，，，，，
∴，，，，，，
∴，
，，
∴，，
在等腰中，，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【点评】本题是轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边对等角，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短．正确作出辅助线，在等腰中确定是解题的关键．
10．【考点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
解：连接，
四边形是矩形，
，
的最小值即为的最小值，
当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，
四边形是矩形，
，
的最小值为，
故选：C．
11．【考点】分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可．
解：∵，
解得
∴x的值为
故答案为：
12．【考点】根据概率公式计算概率、判断点所在的象限
【分析】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．
解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，
其中，在第一象限，共2个点，
∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是．
故答案为：．
13．【考点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题
【分析】本题考查了折叠问题，涉及了平行线的性质，根据可得，再运用两直线平行，同旁内角互补，得，即可求解；
解：由题意得：，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．【考点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．
先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定、、的解析式，再分别联立与和求得两次相遇的时间，最后作差即可．
解： 如图：
根据题意可得，，，，
设的解析式为，则 ，
解得
∴直线的解析式为，
同理：直线的解析式为：，
直线的解析式为：
联立 ，
解得，
联立 ，
解得 ．
∴两人先后两次相遇的时间间隔为分钟．
故答案为：3分钟．
15．【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】分三种情况进行讨论：若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，分别画出图形，进行求解即可．
解：分三种情况讨论：
①若为等腰三角形，且时，如图1，
∵是由折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接，
则，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴，
过点G作于点M，
∵，，
∴，
又∵，
设，，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴；
②若为等腰三角形，且时，如图2，
∵，
∴，
∵是由折叠得到，
∴，
∴，
∴，
与题意不符，
∴此种情况不可能；
③若为等腰三角形，且时，如图3，
∵，
∴，
∵是由折叠得到，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
连接，
由①知，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在上取，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M为的黄金分割点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
答案为：或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，分情况讨论，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
16．【考点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
17．【考点】负整数指数幂、求不等式组的解集、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，不等式组的解法，熟练掌握各种计算公式，准确求不等式组的解集是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数整数幂，绝对值的意义计算即可；
（2）准确求解每一个不等式的解集后，确定不等式组的解集．
（1）解：
；
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
18．【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，得到，进而求出，利用证明，即可得证．
证明：，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
19．【考点】其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题中有两个等量关系：压岁钱－第一次买的小熊个数×10＝压岁钱的30％；压岁钱－（第一次买的若干小熊＋6）×10＝压岁钱的10％，设杨洋原计划买x个小熊，压岁钱共有y元，从而列出二元一次方程组，求解即可.
设杨洋原计划买x个小熊，压岁钱共有y元．由题意可得 ，
解这个方程组得
答：杨洋原计划买21个小熊，压岁钱有300元．
【点评】本题主要考查列二元一次方程组解应用题，解答本题，要求学生明确弄清购买小熊钱数和压岁钱的关系是本题的关键.
20．【考点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）连接，根据切线的性质及直角三角形斜边上中线定理证明得到，故可求解；
（2）由，设，，根据勾股定理求出，，连接，证明，列出比例关系即可求出，．
（1）连接
∵是的切线
∴
∵，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴．
∴，
∴
∴
∴；
（2）由，设，，
∵，
∴
∴．
∴．
∴正数
∴，，
连接
∵是直径，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴．
【点评】此题主要考查圆的切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质．
21．【考点】用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、频数分布表、求中位数、根据方差判断稳定性
【分析】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得的值；
（2）根据方差的意义进行计算；
（3）根据方差的意义进行判断稳即可；
（4）根据样本估计总体即可求解．
（1）∵这一组对应的频率为，
∴，
∵这一组的频数为，
∴频率为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数，
故中位数为：，
故答案为：；
（3）由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，
因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲．
故答案为：甲，甲；
（4）甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个），
答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为3万个．
【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
22．【考点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、求一次函数解析式
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围；
（1）根据表格信息建立方程组求解a、b的值，再求解表格中其它的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
（1）解：依题意把点，代入得，，
解得：，
一次函数为，
把代入，得，
反比例函数为：，
当时，，当时，，
补全表格如下：
6
4
4
（2）解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，，
当的图象在的图象上方时，的取值范围为：或．
23．【考点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用．
任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得，
任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2．
解：任务1：如图，过作于，
，
∴，
又∵，，
∴（米），
（米），
（米），
∴（米）；
任务2：如图，过作于，过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，，
∵米，，
∴（米），
（米），
（米），
∵由题意可知：米，
∴（米）
∴（米），（米），
∵13点时，太阳高度角，
∴，
∴（米），
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）．
24．【考点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解；
（2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解；
（3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可
（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴抛物线 经过点，
设抛物线表达式为，
将，，代入表达式，
，
∴抛物线为，
∵直线 与轴所夹锐角为，
，
，
设直线表达式为，把，代入，
得，
解得
直线：，
∴抛物线和直线的表达式分别为：和；
（2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意；
②若抛物线向右下方平移，
∵二四象限角平分线表达式：，
∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位，
∵原抛物线 为，
∴其顶点为，
∴平移后顶点为，
∴平移后抛物线表达式为，
令，
若平移后抛物线与直线只有一个交点，
则,
，
平移的距离为；
（3）解：设，
则点关于的对称点为，
，
则的横坐标为：，
则的解析式为：，
因为该点在直线上，
则；
将代入，
可得：，
解得：或（舍去）；
点坐标为：
25．【考点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）过点作于点，交于点，当点在的垂直平分线上时，，用等面积法求出，再用含的式子表示、，再利用可求出；
（2）连接，过点作于点，先用含的式子表示，再利用，将用含的式子表示，通过面积关系可求出；
（3）点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点，得到，用等面积法求出，再利用求出，即可求解．
（1）解：如图，当点在的垂直平分线上时，过点作于点，交于点，
四边形是菱形，对角线，相交于点，
，，，
，
，
菱形的面积为，即，
，
，
由题意得：，，四边形是平行四边形，
，，
点在的垂直平分线上，
，
，
，
，即，
解得：；
（2）存在，
如图，连接，过点作于点，
，，，，
，
，即，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
整理得：，
解得：，
当时，；
（3）存在，
如图，点在的平分线上，过点作于点，，交的延长线于点，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
当时，点在的平分线上．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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