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2025年山东省青岛市中考数学模拟试题1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将380亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．图中所示的交通标志中是轴对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法中：
（1）负数没有立方根；
（2）不带根号的数一定是有理数；
（3）无理数包括正无理数，0，负无理数；
（4） 实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．C． D．
5．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，M是边的中点，是的平分线，于点P． 若，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在正五边形中，连结，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
9．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10． ， ， ．
11．甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，，则这位同学发挥最稳定的是 ．
12．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm，6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是 ．
13．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积（即阴影面积）为．求道路的宽，可列方程为 ．
14．如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ．
15．如图，在矩形纸片中，，，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点为，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点恰好也为，则 ．
三、解答题（本大题共10小题，共75分）
16．先化简，再求值：，其．
17．如图，中，平分，且平分，于点E，于F．求证：．

18．2015年7月1日，全国人大常委会通过的《中华人民共和国国家安全法》第十四条规定，每年4月15日为全民国家安全教育日．2024年4月15日是第9个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某学校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动．测试完成后从八九年级中随机抽取部分学生成绩进行分组分析．学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，成绩如下统计图：
(1)小明认为抽取的八九年级学生共20人的成绩进行分析，小明的判断是否正确______（填“是”或“否”）．
(2)在九年级学生成绩统计图中，8分所在的扇形的圆心角为______度；
(3)请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均数 方差 众数 中位数 优秀率
八年级 7 1.8 ______ ______
九年级 ______ 1.36 ______ ______
(4)你认为哪组成绩较好？说明理由．
19．某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查的学生共有 人，扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所占的百分比为 ；
(2)请补全条形统计图（图2），并估计全校4000名学生中最喜欢“足球”项目的有多少人？
(3)篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
20．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
21．已知：如图，垂直平分，，．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
22．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架稳定篷面．支架的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点共线），即米，支架与墙面的夹角．
素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值432.52
素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．
任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长．
任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．
23．1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．
(1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算）
(2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
24．在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上．
(1)如图1，当点坐标为时．
①求的值；
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由．
25．在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接．
(1)尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______．
(2)类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时，
①再探究线段与的数量关系并证明；
②若，求线段的长；
(3)拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长．
参考答案
1．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可．
解：380亿，
故选：C．
2．【考点】轴对称图形的识别
【分析】主要考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合．
轴对称图形是平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此进行解答即可．
解：图中所示的交通标志中是轴对称图形的有第一个，第三个，第四个，共3个．
故选：C．
3．【考点】有理数的定义、立方根概念理解、无理数、实数与数轴
【分析】此题主要考查了数轴、有理数立方根、无理数等定义，根据实数与数轴的一一对应关系，有理数、立方根、无理数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟记有理数、立方根、无理数的定义以及实数与数轴的一一对应关系．
解：（1）负数有立方根，原说法错误，不符合题意；
（2）不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，原说法错误，不符合题意；
（3）无理数包括正无理数，负无理数，原说法错误，不符合题意；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，正确，符合题意，
故选：A．
4．【考点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
解：俯视图是：
，
故选：D．
5．【考点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方，完全平方公式，熟悉这些计算法则是解题的关键．
根据合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方，完全平方公式运算法则逐一排除即可．
解：、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
6．【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】延长交于N，利用角边角定理求证，再利用M是中点，求证是的中位线，即可求出的长．
解：延长交于N

∵是的角平分线，于P，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
故选C．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是构造全等三角形和中位线．
7．【考点】等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，多边形的内角和定理，解此题的关键是求出和的度数，注意：正多边形的所有边都相等，所有角都相等．
解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
8．【考点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，进而求出，则．
解：∵，，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．【考点】一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象结合已知条件判断即可．
解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点，
∴，，，
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴在x轴负半轴上，
当时，，
则在第四象限，
∴过点和点的直线一定不经过第一象限．
故选：A．
10．【考点】负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂．根据“负整数指数幂的运算法则：一个数的负指数幂相当于这个数的倒数的正指数幂”求解即可．
解：，，．
故答案为：；；．
11．【考点】根据方差判断稳定性
【分析】本题考查的是方差的性质，熟练掌握方差的性质是解题的关键；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．比较甲，乙，丙三人的方差大小，根据方差的性质解答即可．
解：
这位同学发挥最稳定的是乙
故答案为：乙
12．【考点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
分析: 首先补全三角形进而利用平行四边形的性质得出各边长进而得出答案,解答本题应分两种情况进行．
详解: 如图1：
周长为：2×（10+8+6）=48（cm）；
如图2：
∵BD=6，BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∴ACB=∠CBD=90°,
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=，
∴周长为2×(10+4+6)=(32+8)（cm）；
综上所述：原三角形纸片的周长是48或(32+8)cm．
故答案为48或（32+8）cm．
点评: 此题主要考查了图形的剪拼，三角形的中位线，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用及分类讨论的数学思想，利用勾股定理求出AB的长是解题关键．
13．【考点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程即可．
解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得：
故答案为：
14．【考点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
解：如图，
根据题意，，，
∵点位于圆周顶面处，
∴，，
∴小虫爬行的最短路程．
故选：．
15．【考点】根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】如图所示，连接，，根据矩形的性质和折叠的性质判断出点G，，D三点在同一条直线上，然后求出，勾股定理求出，进而求解即可．
如图所示，连接，，
∵四边形是矩形，，，E为中点，
∴，，，，
由翻折得，，
∴
∴，
∵
∴
∴
∴点G，，D三点在同一条直线上
∵
∴
∵由折叠得，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点评】此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，等边对等角性质等知识，解题的关键是掌握以上考点．
16．【考点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法，把代入计算即可．
解：
将代入得，原式＝．
17．【考点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质
【分析】由角平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，再根据全等直角三角形的判定与性质即可得出结论．
证明：如图，连接、，
∵平分，，，
∴，
∵且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．

【点评】本题考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等直角三角形的判定与性质是解题的关键．
18．【考点】求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、运用方差做决策
【分析】（1）根据抽取九年级的人数不能确定，可得出答案；
（2）用360度乘以九年级成绩得分为8分的人数占的百分比即可得到答案；
（3）根据平均数的定义、众数的定义、中位数的定义求解；
（4）根据（1）的计算结果，比较平均数、众数、中位数，即可得出结论．
（1）解：抽取八年级的人数为：（人），
抽取九年级的人数不能确定，故小明的判断不正确，
故答案为：否；
（2）解： 8分所在的扇形的圆心角为，
故答案为：144；
（3）解：因为八年级得7分人数最多，所以众数是7，
把八年级的得分从低到高排列处在第5名和第6名的得分都是7分，所以中位数为7，
九年级的平均分是：（分，
因为九年级得分为8分的人数最多，所以九年级的众数为8分，
把九年级的得分从低到高排列，得分低于7分的占，得分高于7分即为8分的占，
九年级的中位数为7分，
填表如下：
平均数 方差 众数 中位数 优秀率
八年级 7 1.8 7 7
九年级 7.2 1.36 8 7
故答案为：7.2；7；8；7；
（4）解：九年级的成绩较好，理由如下：
九年级的平均数、众数都高于八年级，方差低于八年级，
九年级的成绩较好．
【点评】本题考查长形统计图，扇形统计图，统计表，平均数，众数，中位数，方差．掌握平均数、众数、中位数的计算方法是解题的关键．
19．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查条形图和扇形图得综合应用，列表法求概率，从统计表中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用足球的人数除以所占的比例求出总人数，求出其他项目人数所占的百分比，根据各项百分比之和为1，求出喜欢乒乓球的学生所占的百分比即可；
（2）求出喜欢乒乓球的学生人数，补全条形图，利用样本估计总体的思想，进行求解即可；
（3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
（1）解：（人）；
；
故答案为：50，；
（2）乒乓球项目人数（人），补全条形图如下：
（人）；
答：全校4000名学生中最喜欢“足球”项目的有640人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，
∴．
20．【考点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可；
（2）根据题意得到，求出即可得到答案．
（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，
根据题意得，，
解得，
答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
（2）解：由题知：，
解得，，
，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
21．【考点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
（1）证明：垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
22．【考点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用．
任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得，
任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2．
解：任务1：如图，过作于，
，
∴，
又∵，，
∴（米），
（米），
（米），
∴（米）；
任务2：如图，过作于，过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，，
∵米，，
∴（米），
（米），
（米），
∵由题意可知：米，
∴（米）
∴（米），（米），
∵13点时，太阳高度角，
∴，
∴（米），
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）．
23．【考点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用．
（1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答．
（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程： ，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．
由题意知： ，
解得：，
总费用 ，即，
∵ ，
∴ y随m的增大而减小．
∵ m是整数，
∴ 当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元．
24．【考点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）①根据点坐标为求出的值即可；
②过点作轴于点， 证明，得出，，根据点D的坐标得出，求出，即可得出答案；
（2）过点作轴于点， 根据解析（1）得出，求出， 根据，得出，即可得出答案．
（1）解：①将点代入反比例函数解析式，
；
即的值为4；
②如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∴，
解得，
的值为1，3；
（2）解：当时，，
如图，过点作轴于点，
同理（1）可得，，
，，
，
，
，
若，则，
，，
，
即当时，；
【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，用m，n表达出点C，D的坐标是解题的关键．
25．【考点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得；
（2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，得；
（3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得．
（1）解：∵中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（ 等式性质1 ），
∴（ ），
故答案为：等式性质1，；
（2）解：①．
证明：∵中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
，
∴；
（3）解：当时，
由（1）（2）知，，
当点D在右侧时，，
∴；
当点D在左侧时，，
∴．
故线段的长为或．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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