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2024-2025 学年云南省美美与共民族中学联盟高一（下）联考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { |2 ≤ < 4}， = { | 1 < < 3}，则 ∩ =( )
A. [2,3) B. ( 1,4] C. ( 1,2) D. (3,4)
2 + 1, < 0,
2.设函数 ( ) = 3 ( 4 +

3 ) 1, ≥ 0,
则 ( ( 1)) =( )
A. 3 32 1 B.
3 2
2 1 C. 1 D.
1
2
3.函数 ( ) = + 3 的零点位于区间( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
4 1 .将函数 ( ) = 2 的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个单
位长度，得到 ( )的图象，则函数 ( )的解析式为( )
A. ( ) = sin( 6 ) B. ( ) = sin( +

6 )
C. ( ) = sin(4 2 2 3 ) D. ( ) = sin(4 + 3 )
5.已知 = log45， = 2， = 5，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6 .已知 ∈ ( 2 , )，若 cos( 6 ) =
2
3 ，则 sin( +
5
6 )的值为( )
A. 2 23 B. 3 C.
7
3 D.
7
3
7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”我们把(1 + 1%)365看作每天的
“进步”率是 0.01，一年后的值约为1.01365 ≈ 37.7834；把(1 1%)365看作每天的“退步”率是 0.01，一
365
年后的值约为0.99365 ≈ 0.0255 1.01，此时一年后的“进步”值是“退步”值的0.99365 ≈ 1481 倍.那么，大约经
过( )天，“进步”值是“退步”值的 20 倍．
(参考数据： 2 ≈ 0.3， 101 ≈ 2.0043， 99 = 1.9956)
A. 130 天 B. 149 天 C. 120 天 D. 155 天
1 | 3|
8.已知函数 ( ) = ( 2 ) 1, > 0, 若函数 = ( ) 有 2 个零点，则 的取值范围是( )
2 2 4 1, ≤ 0,
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A. [0,1) B. ( 1,1)
C. { |0 < < 1 或 = 1} D. (0,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 ， ， 是三个非零向量，则下列结论正确的有( )
A.若 // ，则 = | | | | B.若 // ， // ，则 //
C.若 = ，则 = D.若| + | = | |，则 ⊥
10.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 13， = 3， = 4，则( )
A. = 60° B. = 2 1313
C. △ 13 的面积为 4 3 D. △ 外接圆的面积为 3
11.下列命题为真命题的是( )
A.若 > ，则 2 > 2
B. 1“ < 1”是“ > 1”的必要不充分条件
C.若 > 0， > 0，且 2 + 8 = 5 1 1 18，则 + 的最小值为 5
D.若命题“ ∈ ，使得 2 2 + 6 ≤ 0 成立”是假命题，则 的取值范围是[0,6)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( ,3)， = (2,3)， = (1,2)，且(2 3 ) ⊥ ，则实数 = ______．
13 3 .圆心角为 36°的扇形的弧长为 5，则该扇形的面积为______．
14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描
绘了筒车的工作原理(图 1).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图 2，
将筒车抽象为一个半径为 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时 120 秒，当 = 0 时，盛水筒 位于
点 0(2, 2 3)，经过 秒后运动到点 ( , )，点 的纵坐标满足 = ( ) = ( + )( ≥ 0, > 0, | | <

2 )，则当筒车旋转 90 秒时，盛水筒 对应的点 的纵坐标为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知 ∈ ( 2 , 0)， =
5
5 ．
(1)求 sin( 3 + )的值；
(2)已知 tan( ) = 3，求 tan(2 )的值．
16.(本小题 15 分)
2
已知函数 ( ) = 2 sin(2

4 ) + 2
2 2．
(1)求 ( )的最小正周期和对称轴方程；
(2)求 ( )在[ 2 , 0]上的最大值和最小值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = 2 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 7，△ 3 3的面积为 2 ， 为 边上的中点，求 ．
18.(本小题 17 分)

已知定义域为 2 + 的函数 ( ) = 2 + 是奇函数， ， ∈ ．
(1)求 ， 的值；
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义证明；
(3)当 ∈ [1,3]时， ( 2) + (2 3) > 0 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在平面四边形 中，已知 = 2 ，且 = 0，| | = 2， 是线段 (包括端点)上的一个动点．
(1)当 = 3时，
①求 的值；
②若 = 5 4，求| |；
(2)求| + |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.9 10
14. 3 3
15.解：(1) 因为 ∈ ( 2 , 0)， =
5
5 ，
所以 cos = 2 55 ，
sin( 3 1 3则 3 + ) = 2 + 2 = 2 ×
2 5
5 +
1 5 2 15 5
2 × ( 5 ) = 10 ；
(2)由(1)得 = 12，
因为 tan( ) = 3，所以 tan(2 ) = tan( + ) = +tan( )1 tan tan( )
1+3
= 2 = 1．
1 ( 12)×3
16.解：(1) ( ) = 2 2 22 ( 2 2 2 2 ) + (1 + 2 ) 2
1 1
= 2 2 + 2 2 1
= 22 sin(2 +

4 ) 1，
所以函数 ( )的最小正周期为 ．
令 2 + 4 = +

2， ∈ ，解得 =

2 + 8， ∈ ，
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所以函数 ( )图象的对称轴方程为 = 2 + 8， ∈ ．
(2) 3 当 ∈ [ 2 , 0]时，2 + 4 ∈ [ 4 , 4 ]，
1 ≤ sin(2 + ) ≤ 2 2 2 1则 4 2 ，可得 2 ≤ 2 sin(2 + 4 ) ≤ 2，
2 1 ≤ 2 sin(2 + 所以 2 2 4 ) 1 ≤
1
2．

当 2 + 4 =
= 3 22时，即 8时， ( )取最小值 2 1．
当 2 + 4 =

4时，即 = 0 时， ( )
1
取最大值 2．
17.解：(1)因为 + = 2 ，
所以由正弦定理得： + = 2 ，
所以 sin( + ) = = 2 ，
因为 0 < < ，所以 ≠ 0，
所以 = 1 2，所以 = 3；
(2) 1因为 为 边上的中线，所以 = 2 (
+ )，
1
所以| |2 = 4 (
2 + 2 + )，
1 3 3 3又因为 = 2 2 = 2 ，所以 = 6，
2 2
由余弦定理得： = 1 + 72 = 2 ，
所以 = 2 + 2 7，所以 2 + 2 = 13，
所以| |2 = 1 (13 + 6) = 19 = 194 4，所以 2 ．
18.解：(1)因为 ( )在定义域为 上是奇函数，
(0) = 0 1+ 所以 ，即 1+ = 0，则 = 1．
1+1
又 ( 1) = (1)，即 21 =
1
+ 2+
，所以 = 1．
2
2 +1
则 ( ) = 2 +1 ，经检验符合题意，
则当 = 1， = 1 原函数为奇函数．

(2) (1) ( ) = 1 2 = 1 + 2由 知 1+2 2 +1，
任取 1， 2 ∈ ，设 1 < ，则2 2 1 2 2 < 0，(2 1 + 1)(2 2 + 1) > 0，
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2 2 2(2 1 ( ) ( ) = = 2
2)
则 2 1 2 2+1 2 1+1 (2 1+1)(2 2+1) < 0，
所以 ( 2) ( 1) < 0，即 ( 2) < ( 1)，
所以 ( )在( ∞, + ∞)上为减函数．
(3)因 ( )是奇函数，从而不等式： ( 2) + (2 3) > 0，
等价于 ( 2) > (3 2 )，
因为 ( )为减函数，由上式推得： 2 < 3 2 ，
即对一切 ∈ [1,3]有： < 3 2 2 恒成立．
设 ( ) = 3 2 2 = 3(
1
)
2 2 ，
1 1
令 = , ∈ [ 3 , 1]，则有 ( ) = 3
2 2 , ∈ [ 13 , 1]，
1 1
所以 ( ) = ( ) = ( 3 ) = 3，
所以 < 1 13，即 的取值范围为( ∞, 3 )．
19.解：(1)已知 = 2 ，且 = 0，| | = 2，
建立如图所示的平面直角坐标系，
又 = 3，
则 (0,0)， (2,0)， (1, 3)， (0, 3)，
① = (1, 3)， = (2,0)，
则 = 2 × 1 + 3 × 0 = 2；
②设 (0, )，其中 0 ≤ ≤ 3，
则 = (2, )， = (1, 3 )，
又 = 54，
则 2 × 1 ( 3 ) = 54，
= 3即 2 ，
3
即| | = 2 ；
(2)设 (1, )， (0, )，其中 0 ≤ ≤ ，
则 + = (3, 2 )，
则| + | = 9 + ( 2 )2 ≥ 3 ，当且仅当 = 2时取等号，
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即| + |的最小值为 3．
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