资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第四单元比例（知识梳理+拔高训练）一
知识梳理
知识点01：正比例
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，那么这两个量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
若用字母x和y表示两个相关联的量，用字母k表示它们的比值，则正比例关系可以表示为=k(一定)。
判断两个量是否成正比例的方法：首先判断两个量是不是相关联的量，再判断两个量中相对应的两个数的比值是否一定，最后判断两个量是否成正比例。
知识点02：反比例
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的积一定，那么这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
若用字母x和y表示两个相关联的量，用字母k表示它们的积，则反比例关系可以表示为xy=k(一定)。
判断两个量是否成反比例的方法：首先判断两个量是不是相关联的量，再判断两个量中相对应的两个数的积是否一定，最后判断两个量是否成反比例。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）这是( )比例尺，改写成数值比例尺是( )。
2．（2分）在比例尺为1∶3000000的地图上，量得保定到北京的图上距离是6.5厘米，那么保定到北京的实际距离是( )千米。如果一辆小汽车以每小时100千米的速度行驶，那么从保定到北京需要( )小时。
3．（2分）一个比例的两个外项互为倒数，其中一个外项是1.25，另一个外项是( )。
4．（2分）将长为6厘米，宽3厘米的长方形按5∶1放大，得到的图形面积是( )平方厘米。
5．（2分）在一个比例里，两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是( )。
6．（2分）表格中的x和y如果成正比例，“？”应该填( )；x和y如果成反比例，“？”应该填( )。
x 2 5
y 10 ？
7．（2分）有四个数4，8，16，x可以组成一个比例，其中x最大是( )，最小是( )。
8．（2分）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，这是应用了比例的知识。某一时刻，一幢高18m的楼房的影长是15m，那么同一时刻、同一地点，一根高3m的电线竿的影长是( )m。
9．（2分）弹簧秤可以用来称物体的质量。悬挂物体的质量不同，弹簧伸长的长度也不同，有一个弹簧秤最多能称6千克重的物体。先观察下表，再填空。
悬挂物体的质量（千克） 1 2 3 …
弹簧伸长的长度（厘米） 3 6 9 …
如果悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是( )厘米如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是( )千克。
10．（2分）如果y＝6x，那么x和y成( )比例关系；如果，那么x和y成( )比例关系。
二、判断题（共10分）
11．如果A×＝B÷（其中A、B均不为0），那么A∶B＝9∶20。( )
12．已知（x、y都不等于0）则x和y成正比例。( )
13．若a∶b＝c∶d，那么（5a）∶b＝（5c）∶d。( )
14．在比例中，等号左边的两项是比例的外项，等号右边的两项是比例的内项。( )
15．平移、旋转、轴对称、放大缩小这些图形运动，图形的形状都没有改变。( )
三、选择题（共10分）
16．一个比例中，两个内项的积是240，如果一个外项是12，则另一个外项是（ ）。
A．20 B．12 C．30
17．根据xy＝mn，下面组成的比例错误的是（ ）。
A．m∶y＝x∶n B．n∶x＝y∶m C．y∶n＝x∶m
18．买同样的书，花的总钱数与（ ）成正比例。
A．书的本数 B．书的页数 C．书的单价
19．表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（ ）。
7 △
5 14
A．19.6 B．2.5 C．3.5
20．蚂蚁的实际长度是6mm。在一幅生物图上量得它的长度是3cm。这幅生物图的比例尺是（ ）。
A．1∶5 B．1∶2 C．5∶1
四、计算题（共6分）
21．（6分）解方程。
－＝ 36－25%＝14 ∶＝2∶
五、作图题（共6分）
22．（6分）绿佳广场要建一个长60米、宽40米的长方形健身区，请在下图中画出健身区的平面图（比例尺1∶2000）。
六、解答题（共48分）
23．（6分）在手表精密零件的设计图上，比例尺为20∶1，一个零件的图上长度是10厘米，这个零件的实际长度是多少？
错误解答：
10×20＝200（厘米）＝2（米）
答：这个零件的实际长度是2米。
正确解答：
24．（6分）在一幅比例尺是1∶30000000的地图上，量得两个城市的图上距离是2.5厘米，这两个城市之间的实际距离是多少千米？（用比例知识解）
25．（6分）一块正方形菜地，两条互相垂直且与边长也垂直的线把它分成了四块（如图）。其中三块的面积分别如图所示，第四块的面积是多少平方米？
26．（6分）强强今年身高155厘米，上午10时测量影长3.1米。同时测得一棵大树的影长是158米，这棵大树高多少米？（用比例解）
27．（12分）下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图并填空。
（1）用数对（ ）表示点A的位置。
（2）以直线b为对称轴，画出圆的轴对称图形。
（3）画出三角形绕点P顺时针旋转90度后的图形。
（4）按1∶3画出长方形缩小后的图形。
28．（12分）轿车行驶的时间和路程如下表：
时间（时） 1 2 3 4 5 6
路程（千米） 70 140 210 280 350 420
把上表中时间和路程所对应的点描在方格中纸上，再顺次连接起来。

（1）观察上面，你发现了什么？
（2）根据上面的速度，轿车行驶8时，行驶了多少千米？
（3）根据图像估计一下，6.5时行驶了多少千米？
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
1．线段 1∶7500
【分析】根据图形可知，这是线段比例尺；图上距离和实际距离已知，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可把线段比例尺改写成数值比例尺，据此解答。
【详解】这是线段比例尺；
75米＝7500厘米
1厘米∶7500厘米＝1∶7500
这是线段比例尺，改写成数值比例尺是1∶7500。
2．195 1.95
【分析】据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知：实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离后，根据“时间＝距离÷速度”列式计算。
【详解】6.5÷
＝6.5×3000000
＝19500000（厘米）
19500000厘米＝195千米
195÷100＝1.95（小时）
保定到北京的实际距离是195千米；从保定到北京需要1.95小时。
3．0.8/
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据题意，一个比例的两个外项互为倒数，那么这两个外项的积等于1；用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。
【详解】1÷1.25＝0.8
另一个外项是0.8。
4．450
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，因为按5∶1放大，所以长方形的长是6×5＝30（厘米），宽是3×5＝15（厘米），再根据长方形的面积＝长×宽，求出扩大后的长方形的面积即可。
【详解】6×5＝30（厘米）
3×5＝15（厘米）
30×15＝450（平方厘米）
得到的图形的面积是450平方厘米。
5．
【分析】依题可知两个外项的积是最小的质数，即为2，再根据比例的基本性质：在比例里两个内项的积等于两个外项的积，则两个内项的积也是2，据此解答。
【详解】由分析可知：2÷＝，故另一个内项为。
6． 25 4
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。x和y如果成正比例，则x和y的比值是一定的，据此把x＝2，y＝10代入求出比值，进而求出当x＝5时，“？”的结果；x和y如果成反比例，则x和y的乘积是一定的，据此把x＝2，y＝10代入求出乘积，进而求出当x＝5时，“？”的结果。
【详解】2÷10＝
5÷
＝5×5
＝25
2×10＝20
20÷5＝4
表格中的x和y如果成正比例，“？”应该填25；x和y如果成反比例，“？”应该填4。
7． 32 2
【分析】如果使配上的这个数最大，只要用给出的三个数中较大的两个数16和8做这个比例的两个外项或内项，那么最小的数4和要求的这个数就作做比例的两个内项或外项；如果使配上的这个数最小，只要用给出的三个数中较小的两个数4和8做这个比例的两个外项或内项，那么最大的数16和要求的这个数就作为做比例的两个内项或外项；进而根据比例的性质求解。
【详解】要使x最大，则可列比例：
8∶x＝4∶16
解：4x＝8×16
4x＝128
4x÷4＝128÷4
x＝32
要使x最小，则可列比例：
4∶x＝16∶8
16x＝4×8
16x＝32
16x÷16＝32÷16
x＝2
则x最大是32，最小是2。
8．2.5
【分析】同一时间，同一地点，杆高和影长成正比例，设电线竿的影长是xm，据此列出关于x的比例式，求出x的值即可。
【详解】解：设电线竿的影长是xm。
18∶15＝3∶x
18x＝15×3
18x＝45
18x÷18＝45÷18
x＝2.5
则根高3m的电线竿的影长是2.5m。
9． 15 2.5
【分析】观察表格数据可知数量关系：弹簧伸长的长度＝悬挂物体的质量×3，将5千克代入数量关系求出弹簧伸长的长度即可；已知弹簧伸长的长度是7.5厘米，用7.5除以3即可求出悬挂物体的质量，据此解答。
【详解】5×3＝15（厘米）
7.5÷3＝2.5（千克）
所以，悬挂5千克的物体，那么弹簧伸长的长度是15厘米，如果弹簧伸长的长度是7.5厘米，那么悬挂物体的质量是2.5千克。
【点睛】此题考查了小数除法的运用，关键能够结合条件找出数量关系再解答；也可以用正比例的知识解答。
10． 正 反
【分析】两个相关量，如果它们的比值一定，那么它们成正比例。两个相关量，如果它们的积一定，那么它们成反比例。
【详解】，所以和的比值是一定的，因此这两个量成正比例关系；
，所以和的乘积是一定的，因此这两个量成反比例关系。
11．×
【分析】先将除法化为乘法，即A×＝B×，然后根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，可知A∶B＝∶；然后再根据比的性质化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；据此解答。
【详解】A×＝B÷＝B×
A∶B
＝∶
＝（×12）∶（×12）
＝20∶9
如果A×＝B÷（其中A、B均不为0），那么A∶B＝20∶9。原题干说法错误。
故答案为：×
12．√
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
【详解】也可以转化为，说明x与y的比值一定，所以x和y成正比例。
故答案为：√
13．√
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；a∶b＝c∶d，则ad＝bc；比例的外项扩大到原来的5倍，比例的内项也扩大到原来的5倍，比例依然成立，5ad＝5bc，所以（5a）∶b＝（5c）∶d；据此解答。
【详解】根据分析可知，若a∶b＝c∶d，那么（5a）∶b＝（5c）∶d。
原题干说法正确。
故答案为：√
14．×
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的各部分的名称，确定比例的外项、内项的位置。
【详解】如图：
组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查比例的意义及比例各部分的名称。
15．√
【分析】平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；旋转是把图形绕着一点旋转一定的角度，并没有改变图形的形状、大小；将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分可以完全重合，这样的图形叫作轴对称图形；图形的放大与缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大与缩小后所得图形与原图形相比形状相同、大小不同，据此解答。
【详解】分析可知，平移、旋转、轴对称、放大缩小这些图形运动，图形的形状都没有发生变化。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查图形的运动，掌握平移、旋转、轴对称、放大缩小图形的特征是解答题目的关键。
16．A
【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，用内项积除以外项，就能得到另一个外项。
【详解】240÷12＝20
则另一个外项是20。
故答案为：A
17．C
【分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积；据此解答。
【详解】A．根据比例的基本性质可由m∶y＝x∶n得出xy＝mn，该选项正确；
B．根据比例的基本性质可由n∶x＝y∶m得出xy＝mn，该选项正确；
C．根据比例的基本性质可由y∶n＝x∶m得出my＝nx，该选项错误；
故答案为：C。
18．A
【分析】依据正、反比例的意义，即若两个相关联的量的比值一定，则这两个量成正比例关系；若两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例关系，由此判断即可选择。
【详解】因为花的总钱数÷书的本数＝书的价格（一定），是比值一定，所以花的总钱数与书的本数成正比例。
故答案为：A
19．B
【分析】根据题意，和两个量成反比例关系，即、的积一定，据此列出反比例方程，并求出△的值。
反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。
【详解】14△＝7×5
解：14△＝35
△＝35÷14
△＝2.5
表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填2.5。
故答案为：B
20．C
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此代入数值进行计算即可。
【详解】3cm＝30mm
30mm∶6mm
＝30∶6
＝（30÷6）∶（6÷6）
＝5∶1
则这幅生物图的比例尺是5∶1。
故答案为：C
【点睛】本题考查比例尺，明确比例尺的计算方法是解题的关键。
21．；＝88；＝6
【分析】（1）先把方程化简成＝，然后方程两边同时除以，求出方程的解；
（2）先把25%化成0.25，然后方程两边先同时加上0.25，再同时减去14，最后同时除以0.25，求出方程的解；
（3）先根据比例的基本性质把比例方程改写成＝×2，然后方程两边同时除以，求出方程的解。
【详解】（1）－＝
解：－＝
＝
÷＝÷
＝×
＝
（2）36－25%＝14
解：36－0.25＝14
36－0.25＋0.25＝14＋0.25
14＋0.25＝36
14＋0.25－14＝36－14
0.25＝22
0.25÷0.25＝22÷0.25
＝88
（3）∶＝2∶
解：＝×2
＝
÷＝÷
＝×5
＝6
22．见详解
【分析】已知平面图的比例尺和长、宽的实际尺寸，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出长、宽的图上尺寸，据此画出这个长方形健身区的平面图。注意单位的换算：1米＝100厘米。
【详解】60米＝6000厘米
40米＝4000厘米
6000×＝3（厘米）
4000×＝2（厘米）
画一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。
如图：
（以实际测量为准）
23．0.5厘米
【分析】已知设计图的比例尺和零件的图上长度，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列出比例方程，并求解。
【详解】解：设这个零件的实际长度是厘米。
10∶＝20∶1
20＝10×1
＝10÷20
＝0.5
答：这个零件的实际长度是0.5厘米。
24．
750千米
【分析】已知一幅地图的比例尺和两个城市的图上距离，可根据图上距离∶实际距离＝比例尺，列出比例方程解答即可。
【详解】解：设两个城市之间的实际距离是x厘米。
1∶30000000＝2.5∶x
x＝75000000
75000000厘米＝750千米
答：这两个城市之间的实际距离是750千米。
【点睛】本题考查列比例方程解答问题，解答本题的关键是掌握列比例方程解答问题的方法。
25．30平方米
【分析】如下图，给四块地分别编号，那么①号地的面积＝AE×AF，②号地的面积＝BE×AF，③号地的面积＝AE×DF，④号地的面积＝BE×DF；因为①号地的面积∶③号地的面积＝＝，②号地的面积∶④号地的面积＝＝，两个比的比值相等，所以可以组成比例；即①号地的面积∶③号地的面积＝②号地的面积∶④号地的面积，据此列出比例方程，并求解。
【详解】解：设第四块的面积是平方米。
12∶24＝15∶
12＝24×15
12＝360
＝360÷12
＝30
答：第四块的面积是30平方米。
26．79米
【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是强强的高度与影子的比等于这棵树的高与影子的比，设这棵大树高为x米，强强的身高∶强强的影长＝大树的高∶大树的影长，据此组成比例解答即可。
【详解】解：设这棵大树高为x米。
155厘米＝1.55米
1.55∶3.1＝x∶158
3.1x＝1.55×158
3.1x＝244.9
x＝244.9÷3.1
x＝79
答：这棵大树高79米。
27．（1）（1，4）
（2）图见详解
（3）图见详解
（4）图见详解
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，数对的第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出点A的位置；
（2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴b的右侧合适位置找到圆心，再画一个半径是2格的圆即可；
（3）根据旋转的特征，图形绕P点顺时针旋转90度，点P的位置不变，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；
（4）根据图形放大与缩小的意义，长方形按1：3缩小后的图形，是长和宽分别为2和1的长方形，据此画图即可。
【详解】（1）由分析可知：点A的位置用数对可表示为（1，4）。
（2）、（3）、（4）作图如下：
28．图形见详解；
（1）见详解
（2）560千米
（3）455千米
【分析】（1）观察统计表可知，时间为1时，路程是70；时间是2时，路程是140，根据路程÷时间＝速度，据此可知速度是一定，所以路程和时间成正比例关系；
（2）根据速度×时间＝路程，据此进行计算即可；
（3）通过成正比例的图像，找到6.5小时对应的路程是多少干米即可。
【详解】如图所示：

（1）因为70÷1＝70（千米/时）
140÷2＝70（千米/时）
210÷3＝70（千米/时）
则路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例关系。
（2）70×8＝560（千米）
答：轿车行驶8时，行驶了560千米。
（3）根据图像可知，6.5时行驶了455千米。
【点睛】本题考查了折线统计图及路程、速度、时间之间的关系及正比例的意义的灵活应用。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑