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圆压轴题型
1．如图，四边形内接于⊙，是⊙O的直径，分别延长相交于点E，，点F在上，且．
（1）若，求的值；
（2）求证：是⊙的切线；
（3）点G 是劣弧BC 的中点，连接交 BC于点H，若，是否存在常数m，使存在？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，求常数的值．
3．如图，在中，，，以直角边为直径作，交斜边于点，是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若点是上的一动点，求的最大值．
4．如图，的直径，弦，的平分线交于D，过点D作交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；（2）求线段的长；
（3）P是半径上一点（P不与O、B重合），连接、，写出线段、、之间的数量关系并证明．
5．如图，在中，，以为直径的交于点E，D是边的中点，连接．已知的半径为4，．
（1）求的值；
（2）求证：是的切线；
（3）连接交于点F，连接，，求a的值．
6．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且.
（1）求的度数；
（2）求证：是的切线；
（3）猜想与、之间的数量关系，并说明理由.
7．如图，是的直径，为上一点，连接，，延长至点，使得，点为的中点，连接交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求．
8． 如图，是的外接圆，是的直径，点在上（点不与点，重合），，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．求的长；
（3）在中，若，，试问是否为定值？如果是，请求出这个定值，并用含，的代数式表示；如果不是，请说明理由．
9．如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，．
（1）求的长度；
（2）延长到点，连接，使得．求证：是的切线；
（3）猜想，，间的数量关系，并证明．
10．如图，已知：以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．，
（1）求证：是切线；
（2）求的半径长；
（3）求的值．
11．如图，是的直径，，都是上的点，且平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
12．如图，A、B、C、D在上，点D是的中点，连接、、、，过点D作交延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）点P是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点D作于点H，点P在运动过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．
13．如图1，是的直径，点是上的点，其中为劣弧的中点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，过点作于点，交于点，若，求的值．
14．如图，以为直径的半圆中，点为圆心，点在圆上，过点作，且．连接，分别交，于点，，与交于点，若．
（1）求证：是的切线．
（2）求的值．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，，以AC上一点O为圆心，作过点A和点D的⊙O，与AC交于另一点E，连接DE
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．
（1）求证：△DEF∽△GDF：
（2）求证： BC是⊙O的切线：
（3）若cos∠CAE ＝，DF ＝10，求线段GF的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：连接，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴为⊙的切线．
（3）解：存在；，使．
连接，，交弦于N，
∴为的中位线，
∵，
设，，
∴，
由（2）知
∴
∴，
∴，
∴，，根据勾股定理得
∵G是劣弧的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，根据勾股定理得．
由（2）知
∴
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
2．【答案】（1）解：与相切，理由如下：
连接，
∵是的直径，直线与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴．
3．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
由（）可得，在中，由勾股定理可得，
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设中边上的高为，
由（）知，，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
当取最大值时，也取最大值，
又∵，
当取最大值时，取最大值，
此时边上的高取最大值，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
4．【答案】（1）证明：连接，
为直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：方法一：在中，，，
，
过点A作于点F，则，
，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，即，
；
方法二：过点A作于点F，则，
，
，
又，
，
，即，
；
（3），
理由：如图，将绕点D顺时针旋转到，连接，，
则，，
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
，，
又，
，
，，
又，
，
在中，
又在等腰中，且，
．
5．【答案】（1）解：∵D是的中点，CD=3，
∴．
∵的半径为4，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴；
（2）证明：连接，，如图．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
又∵D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：由（1）（2）可知，，，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵O是的中点，D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
6．【答案】（1）解：是的直径，
.
，
，
（2）证明：如图，连接，
是的直径.
，即.
，
，
又，
，
，
，
，
，即.
又是半径，
直线是的切线.
（3）答：.
理由：过点作交延长线于点，如图，
.
是的直径，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
.
7．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是直径，
∴，
即，
∴，
∴，
即于点，且为半径，
∴为的切线．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，即，
又∵，
∴，，
∴．
在中，，即，
∴，，
连结，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
8．【答案】（1）如图，连接，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）是的直径，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（3）是定值，理由如下：
如图，在直径上截取，连接，
，
，
在和中，
，
，
，.
，
，即，
，
，
，
，
，
，，，
，即．
9．【答案】（1）解：连接，，
垂直平分，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
．
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
于点，且是的半径，
是的切线
（3）解：，理由如下：
法一：补短法
连接，延长到使，连接
是的直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
又，
在和中
，
，
过作于点，
在中，由，得
同理，
即：
法二：旋转法
连接，，
由（1）知，
，
是等边三角形
同理，可得也是等边三角形，
将绕点顺时针旋转得到
，，，
四边形是圆内接四边形
，，三点共线
过作于点，
在中，，
由，得同理，
即：
10．【答案】（1）证明：连接，
∵是的平分线，
∴．
∴，
∵是的半径，
∴．
∵，
∴．
∵在上，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵，
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴，
∴⊙O的半径长．
（3）解：∵，
∴．
设，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
11．【答案】（1）证明：连接．
于点E，
，
平分，
，
，
，
，
．
，即于点D，且是半径，
是的切线．
（2）解：连接交于点G，
是的直径，
．
．
四边形是矩形
，，即于点G．
在中，
，，
，
，是的半径，
，
在中，
，，
，
，
．
12．【答案】（1）证明：如图，连接交于点，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：比值不改变，求解过程如下：
如图，在上截取，连接、、、，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴．
∵为劣弧的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，
∵，，
设，则，
∴，
∴．
在中，，由勾股定理可得
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
14．【答案】（1）解： ，
，
，
，
是半圆的半径，
是 的切线；
（2）解：过点 作 交 于 ，
设圆的半径为 ，
， ，
， ，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
补全 ，延长 ，与 交于M，连接 ， ，
是 的切线，
∴ ，即 ，
∵ 为直径，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
，
，即 ，
解得： ，
，
．
15．【答案】（1）证明：如图2，连接OD，由题意得，OD是的半径，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠OAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∴∠BAD＝∠ODA，
∴．
∵AB⊥BC，
∴OD⊥BC．
∵OD是的半径，
∴BC是的切线．
（2）解：由题意得：AE是的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AB⊥BC，∠ABD＝90°．
∴∠ABD＝∠ADE，
由（1）知，∠BAD＝∠DAE，
∴△ABD∽△ADE．
∴，即，
解得：，
在Rt△ADE中，，即，
解得：，
∴的半径，
∴的半径为2．
16．【答案】（1）证明：∵EF平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：连接OE，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵OE为半径，
∴BC是⊙O的切线
（3）解：连接OF、AF，
∵AD是⊙O的直径，
∴，
∵EF平分，
∴ ，
∴ ，
∴为等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，
∴ ，
解得 或（不合题意，舍去），
∴线段GF的长为．

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