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内蒙古2025年中考数学模拟预测卷01
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（ ）
A．正方体 B．球 C．圆锥 D．圆柱体
【解析】D
【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．
故选D．
2.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，
，
．
故选：B ．
3.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B．，正确，故该选项符合题意；
C．，原计算错误，故该选项不符合题意；
D．，原计算错误，故该选项不符合题意．
故选：B．
4.如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图：
，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5．如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸, 正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分析：L=10±0.1表示的意思是零件的长度与标准值10的差距在0.1或以内都是合格的．
详解：L=10±0.1表示长度大于10-0.1=9.9，并且小于10+0.1=10.1的范围内的零件都是合格的． 故选C．
点睛：本题考查一元一次不等式组的应用，读懂数轴即可求解．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6.甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
【答案】B
【解析】根据题意可设，
将(1200，960)代入，得：，
解得：，
∴；
当时，设，
将(200，200)代入，得：，
解得：，
∴此时．
当时，设，
将(200，200)，(1200，900)代入，得：，
解得：
∴此时，．
∴．
当时，；
．
∵496>494，
∴从省钱的角度建议选择乙商场．
故选B．
7.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π
【答案】D
【解析】试题分析：作DH⊥AE于H，已知∠AOB=90°，OA=3，OB=2，根据勾股定理求出AB=，由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，所以DH=OB=2，所以阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+
=8﹣π，故答案选D．

8.已知点M（6，），N（-2，），P（2，）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
B.
D.
【答案】A
【解析】解：由N（-2，），P（2，）在同一函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；
由M（6，），P（2，），可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意。
故选：A
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9.关于的一元二次方程：有两根，其中一根为，则这两根之积为 ．
【答案】
【解析】解：设方程的另一个根为，
∵方程有两根，其中一根为，
∴，
解得：，
即两根之积为．
故答案为：
10.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．
【答案】-1≤x＜0或x≥2
【解析】解：有图象可得，当-1≤x＜0或x≥2时，，
∴满足的x的取值范围为-1≤x＜0或x≥2
故答案为：-1≤x＜0或x≥2
11.如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为 m．（结果取整数，）
【答案】17
【解析】解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
12.如图，△ABC为等边三角形，点为△ABC外的一点，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于，
∴，，
∵△ABC为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等边中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共64分）
13.计算：（本小题满分10分）
（1）化简：． （2）解方程：．
【解析】（1）
．
（2）解：原方程去分母得：，
移项，合并同类项得：，
经检查：是原方程的解，
故原方程的解为．
14．（本小题满分10分）
为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图

(1)填空： ___________， __________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【解析】（1）由题意可知，七年级抽取学生的成绩中出现次数最多的是8，共出现了8次， 众数为8，故，
由八年级抽取学生的测试成绩条形统计图可知，处在中间位置的是8，故中位数是8，故，
故答案为：8，8
（2）该校七、八年级中，七年级的学生党史知识掌握得较好，理由是七年级学生成绩的众数高于八年级学生成绩的众数；
（3）（人），
答：估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数是700人；
（4）设七年级获得10分的学生为A，八年级获得10分的学生为B、C、D，画树状图如下：

被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况数共有6种，总的情况数是12种，故被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为．
15.（本小题满分8分）
综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【解析】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；
任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天，
故答案为：，；
②由题意得：，
解得：，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得：，
，
随m的增大而减小，
当时，y有最小值，
此时，，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
16．（本小题满分11分）
如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的长；
②求的半径．
【解析】（1）证明：连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
17.（本小题满分12分）
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图①，在正方形中，点E、F分别是上的两点，连接，，，则的值为______．
(2)如图②，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，且，求值．
(3)如图③，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，，则______．
【解析】（1）证明：如图1，设与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
∴，
故答案为：1．
（2）解：如图2，设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
∵∠CDE=∠A，
，
；
（3）解：如图，过点作，延长交于点，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
18.（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线解析式和的值；
(2)如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．
【解析】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
与轴交于、两点，
时，，解得：，，
，
，，
在中，．
（2）解：过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
，，，
，
由（1）可得，，即，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
又，
，
，
设点坐标为，则，，
，
解得：（舍），，
点坐标为；
（3）解：如图，作，且使，连接FH，
，，
，
，，
，
，，
共线时，的值最小．
作于点，
，，
，
，
，
．
设，则，
，
解得或（舍去），
，
，
，，
在中，．中小学教育资源及组卷应用平台
内蒙古2025年中考数学模拟预测卷01
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（ ）
A．正方体 B．球 C．圆锥 D．圆柱体
2.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，等边三角形的顶点在直线上，直线且交于点，交于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸, 正确的是( )
A． B．
C． D．
6.甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额、（单位：元）与商品原价（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
7.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π
8.已知点M（6，），N（-2，），P（2，）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
B.
D.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9.关于的一元二次方程：有两根，其中一根为，则这两根之积为 ．
10.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．
11.如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为 m．（结果取整数，）
12.如图，△ABC为等边三角形，点为△ABC外的一点，，，则的面积为 ．
三、解答题（共6小题，共64分）
13.计算：（本小题满分10分）
（1）化简：． （2）解方程：．
14．（本小题满分10分）
为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图

(1)填空： ___________， __________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
15.（本小题满分8分）
综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决
任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
16．（本小题满分11分）
如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求的长；
②求的半径．
17.（本小题满分12分）
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
(1)如图①，在正方形中，点E、F分别是上的两点，连接，，，则的值为______．
(2)如图②，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，且，求值．
(3)如图③，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，，则______．
18.（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线解析式和的值；
(2)如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．

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