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2024-2025学年广东省广州市天河中学高一（下）月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图所示，，，，则这块菜地的面积为( )
A. B. C. D.
3.对于非零向量，，下列命题中正确的是( )
A.
B. 在上的投影向量为是与方向相同的单位向量
C.
D.
4.若的角，，所对的边分别为，，，，，则一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
5.已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，在平面四边形中，，，，
若点为边上的动点，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
7.设锐角的内角，，所对的边分别为，，若，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是
C. D.
10.的内角，，的对边分别为，，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则符合条件的有两个
11.在中，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是虚数单位，复数，则 ______．
13.在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______．
14.若的内角，，的对边分别为，，，，，点在边上，且的面积为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，其中，，求：
Ⅰ和的值；
Ⅱ与夹角的余弦值．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求，的值．
17.本小题分
已知甲船正在大海上航行．当它位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以海里小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距海里处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．供参考使用：
试问乙船航行速度的大小；
试问乙船航行的方向试用方位角表示，譬如北偏东度．
18.本小题分
记的内角、、的对边分别为，，，已知，．
求；
若的角平分线交于点，且，求的面积．
若的面积为，求．
19.本小题分
如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为．
求的大小；
若外接圆半径为，求的周长最大值．
若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：向量，
．
．
．
．
16.解：根据余弦定理，可得，
由，得，解得，
结合，可得；
根据余弦定理，可得，即，
由三角形的面积公式，可得，即．
根据组成方程组，解得．
17.解：设乙船运动到处的距离为海里．
则，
．
乙船航行速度为海里小时；
设，则，
则，．
乙船应朝北偏东的方向沿直线前往处求援．
18.解：因为，，
由余弦定理有，
可得，
因为，
可得，
又因为，即，
又因为，所以；
由角平分线得，所以，，
，
在中，由正弦定理得，
所以；
由可得，，
，可得，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，
由已知的面积为，可得，
所以．
19.解：在中，因为，
所以，
因为，
所以，
即，
又因为，
所以；
因为，又，
所以，，，
由可知，所以，
所以的周长，
，
，
，
因为，所以，
所以
所以的周长的取值范围是
所以的周长的最大值为；
设，则，，，
在中，因为，，
即，
在中，因为，
即，
因为，
两式作商得，，
即，因为，
所以，
所以，所以，
所以，，
假设，
所以，
即，
解得．
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