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2025年泰山区数学中考模拟试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
1．在0，﹣2，1，这四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．1 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据报道 2025年春运期间，山东省的游客人数累计为5203.23万人次 ，较2024年春运同期增长了3.94%。5203.23万用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算错误的是（）
A． B．
C． D．
7．2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， ABC内接于⊙0，是⊙0的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题：①若，则；②成中心对称的两个三角形是全等三角形；③直角三角形的两个锐角互余；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．以上命题的逆命题是真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．为进一步提升外地游客的旅游体验，泰山天平湖游客中心开通“敢当号”旅游直通车，双向对开，方便高铁游客和自驾游客下车后在此乘车前往中天门客运站，开启泰山之旅，彰显泰安旅游服务特色。据了解其中一条线路直通车途径天外村后到达中天门，该车全程平均速度均为v千米每小时，具体信息如下表，现已知天平湖到天外村的时间t1比天外村到中天门的时间t2多0.4小时，则根据该关系可列出关于v的方程是（）
区间段 区间近似里程（km） 区间平均速度v（千米/时） 相应时间（小时）
天平湖-天外村 13 v t1
天外村-中天门 10 v t2
B.
D.
第II卷（非选择题）
填空题 （本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．若，为实数，且与互为相反数，则的值为 ．
12．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是 ．
13．如图，把绕点A逆时针旋转，得到Rt A，B,C,，点恰好落在边上，连接，则的度数为 ．
14．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的半径是 寸．
第13题图 第14题图 第15题图
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，、、…都是正方形，且、、…在AC边上，、、…在AB边上．则线段B2025C2025的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题每小题4分，共8分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求代数式，其中．
18．（本小题满分10分）已知，如图，在中，，．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，过点作交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)连接，当的面积为时，直接写出的长．
19．（本小题满分10分）如图，双曲线与直线交于点．
(1)求k的值；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若直线与双曲线，直线和y轴分别交于点B，C，D，且B，C，D中的两点关于第三点对称，求a的值．
20．（本小题满分10分）中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下：
收集数据：
随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下：
10 9 9 6 8 9 6 9 7 9 6 7 8 9 10 10 8 6 8 6
8 7 7 10 9 7 8 6 10 7 9 10 9 10 7 10 6 8 7 8
9 9 10 8 8 6 7 8 9 10
整理分析：
数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图：
请根据上述信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图和扇形统计图补充完整．
(2)简要说明这50名学生知识竞赛成绩的分布情况．（写出一条即可）
(3)若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数．
(4)学生们通过调查了解到，截至2024年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率．
21．（本小题满分10分）2025年元宵节期间，岱庙上演了一场场盛大的古代与现代交相辉映的灯光秀。这次灯光秀以岱庙古城墙为载体将《五岳神山》《封禅之地》《天地人和》3个篇章内容动态呈现，展示泰山千年的历史文化，张敏和赵雷两人去游览灯光秀，看到灯光秀十分壮观，他们合作完成寒假作业的实践活动报告，请你根据活动报告求出岱庙城门最高点到地面的高度．
活动报告
课题 测量岱庙城门最高点到地面的高度
工具 皮尺、测角仪、激光笔等
测量方案及示意图
说明 点B、C、E在一条水平线上，图中所有点都在同一平面内 经二人测量得出斜坡的长为5m，．在点D处测得岱庙城门顶端A的仰角为26.6°，又在点E处测得岱庙城门顶端A的仰角为45°
参考数据：，，sin26.6°≈0.45，cos28.3°≈0.89，tan26.6°≈0.50 经查证，为方便计算延长BE交的延长线于点C，得右侧示意图
22．（本小题满分12分）如图，在 ABC中，，是的平分线，是上一点，以为半径的⊙0经过点．
(1)求证：是⊙0的切线；
(2)若，，求的长．
23．（本小题满分12分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是线段上的点，再把△按如图2沿折叠，使点刚好落在上的点，连结，，则．活动后，老师鼓励同学们能通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题．
【活动猜想】
（1）小华受此问题启发，将准备的一张纸（生活常识：一张纸宽为，长为），按如图3的方式把△沿折叠得到，经观察后得到猜想：当，，三点共线时，是一个特殊的三角形．请直接写出： 是__________三角形；
【探究迁移】
（2）如图4，小明和小亮把 ABE沿折叠，使点的对应点落在上，连结，发现并提出新的探究点：
①若，，求的长；
②当三点共线时，求的值．
24．（本小题满分14分）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若时，二次函数的最大值为m，求m的值；
(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有2个公共点，请直接写出b的取值范围．
参考答案
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B A B D B B B
二、填空题 （本题共6小题，每小题4分，共24分）
-1 12． 13．/70度 14． 13 15． 16．
三、解答题（本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）
……………………2
……………………3
； ……………………4
原式
……………………2
……………………3
当时，原式． ……………………4
18．（1）解：四边形是菱形．
理由：由作图方法可知：垂直平分，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形， ……………………2
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形． ……………………5
（2）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵ ABC的面积为，
∴，即，
∴， ……………………7
∵，，
∴ ACD是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴， ……………………9
∵四边形是菱形，
∴，
∴ 即，
∴． ……………………10
19．（1）解：将代入得，，
解得，
．
将代入，
解得； ……………………3
（2）解：根据反比例函数与一次函数，观察图象得，
所以的解集为； ……………………5
（3）解：由可得，，．
直线与轴的交点为， ……………………6
结合图象可得：点D为的中点不存在；
当为的中点时，，
解得，（舍去）；……………………8
当为的中点时，，
解得，（舍去），
的值为或． ……………………10
20．（1）解：，
，
补全条形统计图和扇形统计图如下：
……………………4
（2）解：由统计图可知，得9分的人最多，得6分的人最少；（答案不唯一）……………5
（3）解：（名），
答：估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数为240名；……………………7
（4）解：画树状图如下：
…9
由树状图可知，共有12种等可能得情况，其中所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的情况有2种，
所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率为． ……………………10
21．解：（1）解：由题意得，，
∴， ……………………2
过点D作于点，
则由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴在Rt△DCE中，由勾股定理得， ……………………5
在Rt△ABE中，∵∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴设AB=BE，
则DF=CB=CE+BE=4+x，AF=AB-BF=x-3， ……………………7
∴在Rt△ADF中，，
解得：x=10，
∴AB=10米，
∴岱庙城门最高点到地面的高度为10米 ……………………10
22．（1）解：连接，则，
，
是的平分线，
，
，
， ……………………3
，
是⊙O的半径，且于点，
是⊙O的切线． ……………………5
（2）作于点，则，
在和中，
，
∴△AFD≌△ACD， ……………………9
，，
，
，， ……………………10
，且，
，
解得，
的长为．……………………12
23．（1）等腰直角．
（2）①如图4，过点作于点，
在中，
由△ABE沿折叠得到△，
则△ABE≌△AFE
∴
∵
∴△AFM∽△ACD ……………………2
∴，即
∴ ……………………4
∴
在Rt△FMD中，． ……………………5
②当，，三点共线时，如图5，
由△ABE沿折叠得到△，
则△ABE≌△AFE
∴
， ……………………6
设
∵
∴
∴
∴， ……………………8
∵
∴△CEF∽△ADF
∴
即
解得 ……………………11
在中，． ……………………12
24．（1）解：（1）将点，，代入，
得， ……………………2
解得，
∴抛物线的解析式为； ……………………3
（2）在中，对称轴为，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ……………………4
若，即时，
当时，函数有最大值，
∴，
解得：（舍去），； ……………………6
若，即时，
当时，函数有最大值为（舍）；
若，
当时，函数有最大值为，
∴
解得，（舍去），， ……………………8
综上所述，的值为或；
（3）将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，其顶点坐标为，如图：

设翻折上来的部分解析式为，其顶点坐标为，
将其代入可得，，解得，
则翻折上来的部分解析式为， ……………………10
①当过点时，，
解得； ……………………11
②当过点时，，
解得， ……………………12
③当直线与抛物线只有1个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
整理得：，
∴，
解得：， ……………………13
综上所述，的取值范围为或． ……………………14

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