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专题六 从推理能力的素养角度去思考命题
第53题 理解命题的含义与结构的推理能力素养——命题的真假
下列命题是真命题的是 ( )
A.两点之间直线最短 B.多边形的外角和为360°
C.三角形的任意两边之和小于第三边 D.直角三角形的两个锐角互补
第54题 利用多边形的概念判定多边形的推理能力素养——正多边形的性质
一个正n边形的每一个外角都是60°，则这个正 n边形是 ( )
A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形
第55题 能够利用直观图发现数量关系的推理能力素养——数的大小比较
有理数a，b在数轴上的表示如下图所示，则下列结论正确的是 ( )
甲:-b0;丙:
A. 只有甲正确 B. 只有甲、乙正确
C. 只有甲、丙正确 D. 只有丙正确
第56题 知道数学概念、定理在演绎推理中的意义的推理能力素养——平行线的性质
如图，将一副直角三角板重叠摆放，其中 ，且点 B在线段DE上，则. 的度数为 ( )
A. 10° D. 25°
第57题 通过观察发现图中的几何结构求得线段长度和角度的推理能力素养——矩形的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 若矩形对角线长为4，则线段 AD的长度为
( )
B. 4 D. 3
变式33 如图,延长矩形 ABCD的边BC 至点E,使( ,连结AE,若 则
第58题 能够通过推理建立所学知识的逻辑联系的推理能力素养——旋转的性质
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A 逆时针旋转得到 ，使点C'落在AB 边上,连结 BB',则 sin∠BB'C'的值为 ( )
变式34 如图,在△ABC中, ，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到 使点A'恰好落在BC 的延长线上,则 tan∠A'AC 的值为 ( )
第59题 通过观察发现图中的几何结构求得线段长度的推理能力素养——圆的基本性质、切线的性质如图，半径为 的⊙O中,AB是直径,点C在⊙O上,连结BC,D为 的中点，延长AB交⊙O的切线DE于点E,若 BC=4,则 DE的长度为 ( )
B. 4
变式35 如图,AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦,. ，垂足为 E，连结 BD并延长，与过点 A 的切线AM 相交于点 P ,连结AC.若⊙O的半径为5, 则AP的长是 ( )
B. 13
D. 14
第60题 理解演绎推理是形成命题判断真伪的基本方法的推理能力素养——相似三角形的性质如图,在△ABC中,. ,D为BC 边上一动点(不与点 B,C重合),CE⊥AD交AB 于点E，垂足为点 H，连结 BH并延长交AC 于点F，则以下结论错误的是 ( )
A. 当CD=BD时, B. 当CD=BD时,
C. BH的最小值为 D. 当BD=2CD时,
变式36 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点 E,F分别作BC，AC的垂线相交于点M，垂足分别为 H，G.以下结论错误的是 ( )
B. 当点 E 与点 B 重合时,
C. AF+BE=EF
第61题 通过观察发现图中的几何结构求得线段长度的推理能力素养——菱形的性质
如图,在菱形ABCD 中,AC,BD 为菱形的对角线, ,F 为 BC 中点,则 EF 的长为
第62题 通过观察图形中的几何结构实现问题解决的推理能力素养——平行四边形的性质
如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC 上且EB=2EC,AE与BD 交于点F.若BD=5,则 BF的长为
变式37 如图，在平行四边形ABCD中，以点 B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于点F，G，分别以点F，G为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 H，连结BH并延长，与AD交于点E，若AB=10，DE=6,CE=8,则 BE的长为 .
第63题 通过观察发现图中的几何结构求得线段长度的推理能力素养—直角三角形的性质
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC第64题 通过观察发现图中的几何结构求得角度之间的数量关系的推理能力素养———圆的基本性质如图,△ABC是圆O的内接三角形,延长 BO 交AC 于点 D,OE⊥BC,垂足为点 E,F 是OB 上一点,OE=OF,若∠ABC=m∠OEF,∠ACB=n∠OEF,则m,n满足的关系式是 .
变式38 如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=62°,E是BC的中点,连结OE并延长交⊙O于点D,连结BD,则∠D的度数为 .
第65题 能够通过操作发现物体的几何结构与度量规律的推理能力素养——矩形的性质与七巧板小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(图2).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 .
第66题 理解正方形的概念并利用其性质进行有逻辑的推理的推理能力素养——正方如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH 都是正方形，连结EG并延长交AB 于点M，交CD于点N，连结MF.当 时，tan∠MFB= .
变式39 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形 ABCD与四边形EFGH 都是正方形.连结DG并延长,交BC于点 P,P为BC 的中点.若EF=2,则AE的长为 ( )
A. 4
第67题 理解归纳推理是从特殊到一般的思维方式的推理能力素养——图形规律
【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按下图所示的规律摆放：第1个图形中有6个圆形棋子，第2个图形中有9个圆形棋子，第3个图形中有12个圆形棋子，第4个图形中有15个圆形棋子，以此类推.
【规律发现】
(1)第6个图形中有 个圆形棋子.
(2)第n个图形中有 个圆形棋子.(用含n的代数式表示)
【规律应用】
(3)将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完.若能摆放，是第几个图形 若不能，请说明理由.
第68题 感悟推理是数学学习中的一种基本活动的推理能力素养——等腰三角形的性质
学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究.她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条垂线段的和等于等腰三角形一腰上的高.她的解决思路是通过计算面积得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：
用无刻度直尺和圆规，过点C作AB 的垂线CD，垂足为点 D，点P 在BC边上.(只保留作图痕迹，不写作法)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.
求证:PE+PF=CD.
证明：如图，连结AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CD⊥AB,
即AB·PE+AC·PF=AB·CD.
∵② ,
∴AB·(PE+PF)=AB·CD,
∴③ .
再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空：
过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ .
变式40 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究.小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形.小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论.请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点 B作AC 的垂线交AC于点E，交AB边上的高CD 于点F.(只保留作图痕迹)
已知:如图,在锐角三角形ABC中,BE⊥AC,CD⊥AB,且BE=CD.求证:
证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,
∴∠CDB=① =90°.
在 Rt△BCD与Rt△CBE中,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),
∴③ ,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论.请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ .
第69题能够通过推理建立所学知识的逻辑联系的推理能力素养——二次函数中的代数推理
在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 (b,c是常数)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C,已知 B(1,0).
(1)若A(0，0)，求该二次函数的最小值.
(2)求证:
(3)若点 A 位于点O,B之间,求证:
变式41 在平面直角坐标系xOy中，点(m，n)在抛物线 上，其中
(1)当 时，求抛物线的对称轴.
(2)已知当 时，总有
①求证：
②点 在该抛物线上，是否存在a，b，使得当 时，都有 若存在，求出a与b 之间的数量关系；若不存在，说明理由.
第70题 初步掌握证明的基本形式与规则的推理能力素养——几何对象研究路径
【综合与实践】
定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图1所示的四边形ABCD是垂美四边形.
【概念理解】
(1)①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是 .(填序号)
【性质探究】
(2)小明说：在如图1的垂美四边形ABCD中， 请你判断他的说法是否正确，并说明理由.
【问题解决】
(3)如图2，分别以 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE交AB于点M,连结 BG交CE 于点 N,连结GE.已知 ,求GE的长.
变式42 点M在四边形ABCD 内，点M 和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形 ABCD为蝴蝶四边形.例如，如图1，在四边形ABCD中， ，则四边形ABCD为蝴蝶四边形.
【概念理解】如图2，在正方形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点M.判断正方形 ABCD 是否为蝴蝶四边形，说明理由.
【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形 ABCD中， 求证：
【拓展应用】在蝴蝶四边形 ABCD 中，∠ ，当 时，求此时 的值.
53. B 54. C 55. C 56. B 57. C 变式33 30° 58. C
变式34 A 59. D 变式35 C 60. C
变式36 C 61.5 62.2 变式37 8 63.3m
64. m+n=2 变式38 59°
【解析】如图，线段 MN 的长度即为矩形的长，DP 的长度即为矩形的宽.
设AB=a,可得
∴DP=DB+BK+KP=a+(2- )a+2a=(5- )a,
∴矩形的长与宽之比为
66. 【解析】过点M作MP⊥BG于点 P,MQ⊥AF于点 Q,如图所示，
则∠MPF=∠MQF=∠BFA=90°,
∴四边形 MPFQ为矩形,
∴MQ=PF,MP=FQ.
∵四边形 EFGH 为正方形,
∴∠FEG=45°,∴∠MEQ=∠FEG=45°,
∴△MEQ为等腰直角三角形.
设MQ=EQ=x,∵AM:MB=3:4,∴AM:AB=3:7.
∵∠MAQ=∠BAF,∠AQM=∠AFB=90°,
变式39 C
67.(1)21 (2)(3n+3)
(3)不能，理由如下：
由题知,3n+3=2024,解得 n不为整数.
∴2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放.
68.① AB·PE+ AC·PF;②AB=AC;③PE+PF=CD;
④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高.图略
变式40 ①∠BEC;②BC=CB;③∠ABC=∠ACB;④这个三角形是等腰三角形.图略
69.(1)函数的最小值为 (2)证明略 (3)证明略
变式41 解：(1)由题意可知，点(m，n)在抛物线 (a>0)上,m=4,n=0,
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
(2)①证明:令 y=0,则(
解得x=0或
∴抛物线 )与x轴交于点((0,0),(-b/a,0),
∵a>0，∴抛物线开口向上，
(j)当b<0时,
∴当 时,y<0;当.x<0或 时,y>0,
∵当0(ii)当(b>0时,
∴当 时,y<0;当 或x>0时,y>0,
∴当00,不符合题意.综上,4a+b≤0.
②存在a,b,使得当1设抛物线的对称轴为直线
由①知， 即t≥2.
∵a>0,∴当x≥t时,y随x的增大而增大;当x≤t时,y随x的增大而减小.∵1( )当t=2时,1设点 P(k，y )关于抛物线对称轴直线x=t的对称点为点P'(x ,y ),则.
∵1∵3<3k<6,t此时
( ii)当2则y =y ,不符合题意,
(iii)当3∴y >y ,不符合题意;
(iv)当t≥6时,∵k<3ky ,不符合题意.
综上,存在a,b,使得当170.解：(1)∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形都是垂美四边形，故答案为①②.
(2)说法正确，理由如下：
如图,设AC,BD交于点O,
∵四边形 ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得,AD +BC =AO +DO +BO +CO ,
(3)∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,∴∠GAB=∠CAE,在△GAB 和△CAE中,AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE,∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG=∠AEC.
又∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°.
又∵∠BMC=∠AME,∴∠ABG+∠BMC=90°,∴CE⊥BG.
∴四边形 CGEB 是垂美四边形.
由(2)可知(( ,由勾股定理得，(
变式42 解：【概念理解】结论：正方形 ABCD为蝴蝶四边形.理由：∵四边形 ABCD是正方形，
∴MA=MB=MC=MD,AC⊥BD,
∴△AMB 和△CMD都是等腰直角三角形,正方形ABCD的对边AB，CD分别为斜边，∴正方形 ABCD为蝴蝶四边形.
【性质探究】证明：∵四边形 ABCD是蝴蝶四边形，∠AMB=∠CMD=90°,∴△AMB 和△CMD 都是等腰直角三角形,AM=BM,CM=DM,∠AMB+∠CMB=∠CMD+∠CMB,∴∠AMC=∠BMD,∴△AMC≌△BMD(SAS),
∴AC=BD.
【拓展应用】如图,延长 AM交CD 于N,
∵AC=AD,AM=AM,CM=DM,
∴△AMC≌△AMD(SSS),
∴∠CAM=∠DAM,
∵AC=AD,∴AN⊥CD,CN=DN.
∵AM=BM= ,CM=DM=1,

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