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第一章 学情评估卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025长治月考］]如图，在中， ，是边的中点，若，则的长为（ ）
（第1题）
A. B. C. D.
2．[［2024运城期中］]下列命题中是真命题的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 各边相等的四边形是正方形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 有一组邻边相等的四边形是菱形
3．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）
（第3题）
A. 14 B. 16 C. 15 D. 17
4．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数是（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
5．如图，四边形是菱形，，则菱形的面积是（ ）
（第5题）
A. B. 16 C. D.
6．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点，，，则 的度数为（ ）
（第6题）
A. B. 或 C. D. 或
7．如图①,小强拿一张正方形的纸,沿虚线对折一次得图②，再沿虚线对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角,最后打开后的形状是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．[［2025晋中月考］]如图，，，，分别为四边形的边，，，的中点，连接,,要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．如图，在正方形 中，为 边上一点，且．将 绕点 逆时针旋转 得到，连接，，则线段 的长度是（ ）
（第9题）
A. B. C. 2 D.
10．如图，在矩形 中，，，，为对角线 上的点，且满足，连接,,则 的最小值为（ ）
（第10题）
A. 6 B. C. D. 10
二、填空题（每题3分，共15分）
11．菱形一般有_ _ _ _ _ _ 条对称轴.
12．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为_ _ _ _ _ _ .
（第12题）
13．如图，是 的角平分线，交 于，交 于，且 交 于，则 的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．如图，在四边形 中， ，，于.若四边形 的面积是18，则 的长是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，在矩形纸片 中,,,点 在边 上.将纸片沿 折叠,点 落在点 处．当点 在对角线 上时，的长为_ _ _ _ .
（第15题）
三、解答题（共75分）
16．[［2025太原月考］]（8分） 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足分别为，.求证：.
17．（8分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，．求证：．
18．（8分）如图，在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.
19．（8分）如图，已知在中，，是边上的中线，，分别是，的中点，为延长线上的点，连接,,.
（1） 求证：；
（2） 求证：四边形是矩形.
20．（8分）如图，在中，，相交于点，点，在上，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，，求证：四边形是正方形．
21．（10分） 下面是小清同学的数学笔记，仔细阅读并回答问题.
在平行四边形 中，，求作菱形，使点、点 分别在、边上． 方法一：以点 为圆心，长为半径画弧，交 于点，再分别以点、为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，连接 并延长交 于点，连接，则四边形 是菱形，如图①． 方法二：连接，分别以点、为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、、交于、、三点，连接、，则四边形 是菱形．
（1） 填空：“方法一”中，判定四边形是菱形的数学依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 在图②中，根据“方法二”的作图方法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（3） 写出“方法二”的推理过程．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两张全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题．
如图①，，其中 ， ．
【操作与发现】
（1） 创新小组将两张三角形纸片按如图②所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论．
【操作与探究】
（2） 创新小组在图②的基础上，将沿方向平移至如图③的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论．
（3） 创新小组在图③的基础上又进行了探究，将绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图④所示，连接，．创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论．
【提出问题】
（4） 请你参照以上操作，在图②的基础上，通过平移或旋转构造出新的图形，在图⑤中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
23．（13分）在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为旋转中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为点,,.
（1） 如图①,当点落在边上时,求点的坐标;
（2） 如图②,当点落在线段上时,与交于点,求证:;
（3） 在（1）的基础上,点是轴上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点,使以、、、为顶点的四边形是菱形 若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
第一章 学情评估卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025长治月考］]如图，在中， ，是边的中点，若，则的长为（ ）
（第1题）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[［2024运城期中］]下列命题中是真命题的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 各边相等的四边形是正方形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 有一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】C
3．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ）
（第3题）
A. 14 B. 16 C. 15 D. 17
【答案】B
4．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数是（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
【答案】C
5．如图，四边形是菱形，，则菱形的面积是（ ）
（第5题）
A. B. 16 C. D.
【答案】A
6．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点，，，则 的度数为（ ）
（第6题）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】C
7．如图①,小强拿一张正方形的纸,沿虚线对折一次得图②，再沿虚线对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角,最后打开后的形状是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
【答案】C
8．[［2025晋中月考］]如图，，，，分别为四边形的边，，，的中点，连接,,要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】D
9．如图，在正方形 中，为 边上一点，且．将 绕点 逆时针旋转 得到，连接，，则线段 的长度是（ ）
（第9题）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
10．如图，在矩形 中，，，，为对角线 上的点，且满足，连接,,则 的最小值为（ ）
（第10题）
A. 6 B. C. D. 10
【答案】C
二、填空题（每题3分，共15分）
11．菱形一般有_ _ _ _ _ _ 条对称轴.
【答案】
12．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为_ _ _ _ _ _ .
（第12题）
【答案】
13．如图，是 的角平分线，交 于，交 于，且 交 于，则 的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．如图，在四边形 中， ，，于.若四边形 的面积是18，则 的长是_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第14题）
【答案】
15．如图，在矩形纸片 中,,,点 在边 上.将纸片沿 折叠,点 落在点 处．当点 在对角线 上时，的长为_ _ _ _ .
（第15题）
【答案】3
三、解答题（共75分）
16．[［2025太原月考］]（8分） 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足分别为，.求证：.
证明： 四边形是矩形，,,,.
，， .
，，.
17．（8分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，．求证：．
证明： 四边形是菱形，，.
在与中，
，，．
18．（8分）如图，在正方形中，点为边上一点，点为延长线上一点，且，则与之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.
解：，，理由如下：
如图，延长交于点.
四边形是正方形，
， ，
.
在和中，
，，.
， ，
,，即.
19．（8分）如图，已知在中，，是边上的中线，，分别是，的中点，为延长线上的点，连接,,.
（1） 求证：；
（2） 求证：四边形是矩形.
【答案】
（1） 证明：,分别是,的中点，
是的中位线..
,.
（2） ,,.
是的中点，.
四边形是平行四边形.
,是边上的中线，.
. 四边形是矩形.
20．（8分）如图，在中，，相交于点，点，在上，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，，求证：四边形是正方形．
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，.
，，即，
四边形是平行四边形.
（2） 四边形是平行四边形，
，.
又，，，
是菱形，，即.
，,,.
四边形是平行四边形， 四边形是正方形.
21．（10分） 下面是小清同学的数学笔记，仔细阅读并回答问题.
在平行四边形 中，，求作菱形，使点、点 分别在、边上． 方法一：以点 为圆心，长为半径画弧，交 于点，再分别以点、为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，连接 并延长交 于点，连接，则四边形 是菱形，如图①． 方法二：连接，分别以点、为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、、交于、、三点，连接、，则四边形 是菱形．
（1） 填空：“方法一”中，判定四边形是菱形的数学依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 在图②中，根据“方法二”的作图方法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（3） 写出“方法二”的推理过程．
【答案】（1） 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（或四边相等的四边形是菱形）
（2） 解：如图，四边形为所求作的菱形．
（3） 由作图知是的垂直平分线，
， 四边形是平行四边形，
，.
在和中，
，，
又， 四边形是平行四边形，
， 四边形是菱形．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两张全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究，下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题．
如图①，，其中 ， ．
【操作与发现】
（1） 创新小组将两张三角形纸片按如图②所示的方式放置后，经过观察发现四边形是矩形，请你证明这个结论．
【操作与探究】
（2） 创新小组在图②的基础上，将沿方向平移至如图③的位置，其中点与的中点重合，连接，，经过探究后发现四边形是菱形，请你证明这个结论．
（3） 创新小组在图③的基础上又进行了探究，将绕点逆时针旋转至与平行的位置，如图④所示，连接，．创新小组经过观察与推理后发现四边形是矩形，请你证明这个结论．
【提出问题】
（4） 请你参照以上操作，在图②的基础上，通过平移或旋转构造出新的图形，在图⑤中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
【答案】
（1） 证明：，，，
四边形是平行四边形．
， 四边形是矩形.
（2） 证明：由题易得.
点是的中点，,．
又 ，是等边三角形，
.由题易得点是的中点，
同理得，，
四边形是菱形．
（3） 证明：， ．
，， ，
．
点是的中点，,
又,，
是等边三角形， ，，
，，
， 四边形是平行四边形．
， 四边形是矩形．
（4） 解：（答案不唯一）如图.构图方法：将沿方向平移，使与重合．
结论：四边形是平行四边形．
23．（13分）在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为旋转中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为点,,.
（1） 如图①,当点落在边上时,求点的坐标;
（2） 如图②,当点落在线段上时,与交于点,求证:;
（3） 在（1）的基础上,点是轴上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点,使以、、、为顶点的四边形是菱形 若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
（1） 解： 点,点,
,.
四边形是矩形，
,, .
顺时针旋转矩形,得到矩形,
.在中，,
.
（2） 证明： 四边形是矩形，
.
点在线段上， ， .由（1）可知,
又,.
（3） 解：存在,的坐标为或或或.
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