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第二章 一元二次方程学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2．[［2025太原月考］]将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．是下列哪个一元二次方程的根？（ ）
A. B.
C. D.
4．将转化为两个一元一次方程，这两个方程是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
5．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断是否有实数根
7．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，行车通道的宽度是多少米？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原两位数之积为，则原来的两位数为（ ）
A. 26 B. 62 C. 26或62 D. 以上均不对
9．若关于的一元二次方程有两个实数根,,且,则（ ）
A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6
10．[［2025杭州模拟］] 如图所示，在中， ，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果、分别从、同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积为的两部分 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．已知关于的一元二次方程有一个根为,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．根据下表判断方程，，，为常数的一个解的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
14．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为_ _ .
15．定义：若一元二次方程满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是_ _ _ _ _ _ ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
17．（8分）已知,是一元二次方程的两个根，求的值．
18．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：方程总有两个实数根；
（2） 若方程有一个根为1，求的值.
19．（8分）下面是小明同学灵活应用配方法解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：原方程可化为， 第一步 移项，得， 第二步 配方，得， 第三步 ， 第四步 两边开平方，得， 第五步 或， 第六步 原方程的解为， 第七步
任务一：．小明同学的解答过程是从第步开始出错的，错误的原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
任务二：．请直接写出该方程的正确解．
任务三：．小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？
20．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度为49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏的长为米．
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 米（用含 的代数式表示）；
（2） 若矩形围栏的面积为210平方米，求栅栏的长；
（3） 矩形围栏的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由．=
21．[［2024太原期中］]（10分） 综合与实践
“山西三日游”的调研分析：
背景 随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度较高的旅游目的地之一.某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行的定价和报名人数进行调研.
素材1 活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为1 500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2 160人.
素材2 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元.经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元.
问题解决
任务1 求从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率.
任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32 000元，求降低后每人的团费.
请完成“问题解决”中的任务1和任务2.
22．（12分）阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：.
（1） 解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解.
① ；
② .
（2） 深入研究：试说明多项式的值总是一个正数.
（3） 拓展运用：已知，，分别是的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
23．[［2025运城期中］]（13分） 阅读与思考
下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务.
通过学习我们知道一元二次方程，，，为常数，当 时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下：
第一类，当 时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析：
，
，
，
该方程有实数根.
将 代入，得，
方程 可变形为，
或，
，，
当 时，一元二次方程 的两个实数根为，；
第二类，当 时，
任务：
（1） 小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（ ）
A. 因式分解法 B. 公式法
C. 配方法 D. 直接开平方法
（2） 请参照小论文中第一类方程的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整.
（3） 通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为.
第二章 一元二次方程学情评估卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[［2025太原月考］]将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．是下列哪个一元二次方程的根？（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．将转化为两个一元一次方程，这两个方程是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
5．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断是否有实数根
【答案】C
7．如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，行车通道的宽度是多少米？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8．有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和等于8，交换数字位置后，得到的新的两位数与原两位数之积为，则原来的两位数为（ ）
A. 26 B. 62 C. 26或62 D. 以上均不对
【答案】C
9．若关于的一元二次方程有两个实数根,,且,则（ ）
A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6
【答案】A
10．[［2025杭州模拟］] 如图所示，在中， ，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果、分别从、同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积为的两部分 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
二、填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
12．已知关于的一元二次方程有一个根为,则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．根据下表判断方程，，，为常数的一个解的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
【答案】
14．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为_ _ .
【答案】7或8
15．定义：若一元二次方程满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
三、解答题（共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） 解：，.
（2） ，．
17．（8分）已知,是一元二次方程的两个根，求的值．
解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
18．（8分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：方程总有两个实数根；
（2） 若方程有一个根为1，求的值.
【答案】
（1） 证明：，
，
不论为何值，总成立，
总成立， 方程总有两个实数根.
（2） 解：把代入关于的一元二次方程，得，解得.
19．（8分）下面是小明同学灵活应用配方法解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：原方程可化为， 第一步 移项，得， 第二步 配方，得， 第三步 ， 第四步 两边开平方，得， 第五步 或， 第六步 原方程的解为， 第七步
任务一：．小明同学的解答过程是从第步开始出错的，错误的原因是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
任务二：．请直接写出该方程的正确解．
任务三：．小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方．”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？
【答案】任务一： 三；方程的右边漏加了9
任务二： 解：，.
任务三： 不同意.得到的启示：我们要灵活运用配方法来解一元二次方程．
20．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度为49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏的长为米．
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 米（用含 的代数式表示）；
（2） 若矩形围栏的面积为210平方米，求栅栏的长；
（3） 矩形围栏的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，请说明理由．=
【答案】（1）
（2） 解：依题意，得，
整理，得，解得，．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
栅栏的长为10米.
（3） 不可能.理由如下：
依题意，得，整理得，
，
方程没有实数根，
矩形围栏的面积不可能达到240平方米．
21．[［2024太原期中］]（10分） 综合与实践
“山西三日游”的调研分析：
背景 随着“跟着悟空游山西”主题线路的发布，山西成为近期热度较高的旅游目的地之一.某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行的定价和报名人数进行调研.
素材1 活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为1 500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份的报名人数将达到2 160人.
素材2 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元.经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元.
问题解决
任务1 求从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率.
任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32 000元，求降低后每人的团费.
请完成“问题解决”中的任务1和任务2.
解：任务1：设从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为，
由题意，得.
解得，（不符合题意，舍去）.
答：从9月份到11月份“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为.
任务2：设每人的团费降低元，
由题意，得，
解得，.
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，（符合题意）.
答：降低后每人的团费为800元.
22．（12分）阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：.
（1） 解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解.
① ；
② .
（2） 深入研究：试说明多项式的值总是一个正数.
（3） 拓展运用：已知，，分别是的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】① 解：．
② .
（2） .
,,
多项式的值总是一个正数．
（3） 为等边三角形．
理由如下：,
.
,，,
,为等边三角形．
23．[［2025运城期中］]（13分） 阅读与思考
下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务.
通过学习我们知道一元二次方程，，，为常数，当 时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下：
第一类，当 时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析：
，
，
，
该方程有实数根.
将 代入，得，
方程 可变形为，
或，
，，
当 时，一元二次方程 的两个实数根为，；
第二类，当 时，
任务：
（1） 小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（ ）
A. 因式分解法 B. 公式法
C. 配方法 D. 直接开平方法
（2） 请参照小论文中第一类方程的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整.
（3） 通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为.
【答案】（1） A
（2） 解：，，
， 该方程有实数根.
将代入，得，
方程可变形为，
或，,，
当时，一元二次方程的两个实数根为,.
（3） （答案不唯一）.
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