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【50道热点题型】浙教版数学七年级下册期中试卷·综合题专练
1．如图，已知AB∥CD， 若∠C=35 ，AB是∠FAD的平分线.
（1）求∠FAD的度数；
（2）若∠ADB=110 ，求∠BDE的度数.
2．2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含x的代数式表示）
3．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若，求这两条小路的总面积．
4．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
第一组 第二组
答错次数 1 2
答对次数 7 9
最终分数 40 45
（1）求x，y的值；
（2）如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
5．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 的距离， 是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）
6．如图，将三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，A，D两点的距离为1，CE=2，∠A=72°，则：
（1）AC和DF的关系是什么？
（2）∠1= （度）；
（3）BF= ．
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是三边上的点，且DE平分∠ADF，∠ADF＝2∠DFB.
（1）判断DE与BC是否平行，并说明理由．
（2）若EF // AB，∠DFE＝3∠CFE，求∠ADE的度数．
8．如图，已知点、在直线上，，平分，．
（1）求证： ；
（2）若，求的度数．
9．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2= ．
10．如图，点P是 内部一点， 交 于点C．请你画出射线 ，并且 ， 或 的反向延长线交 于点D．
（1）补全图形；
（2）判断 与 的数量关系，并证明．
11．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米）
每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元）
不超出部分 1.10
超出不超出的部分 1.10
超出的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值：
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？
12．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
求：
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
13．小红购买了两次笔记本，购买情况及总费用如下表
购买次数 购买各种笔记本的数量 单位：本 购买总费用 单位：元
甲 乙
第一次 1 4 22
第二次 2 3 24
备注：两次购买甲、乙笔记本的单价不变
（1）甲、乙笔记本的单价分别是多少元？
（2）小红第三次以相同的价格购买甲、乙两种笔记本共18本，总费用为92元，则小红第三次购买甲、乙笔记本各多少本？
14．如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
（1）若抽中的卡片是B．
①求整式C；
②当x＝ ﹣1时，求整式C的值．
（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
15．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1+∠2＝180°，
求证：
（1）EF∥AD；
（2）∠GDC＝∠B.
16．在学习“乘法公式“时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段 和 ，把大正方形分成四部分（如图所示）.
（1）观察发现
请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系：
（2）类比操作
请你作一个图形验证： .
（3）延伸运用
若 ，如图中阴影部分的面积和为13，求 的值.
17．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．我校上月举办了“读书节”活动。为了表彰优秀，主办单位王老师负责购买奖品．他发现：若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．
（1）请用x的代数式表示y．
（2）若用这钱全部购买笔记本，总共可以买几本？
（3）若王老师用这钱恰好买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a、b值．
18．永宁县某中学在疫情复学准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划购买500瓶消毒液，已知甲种消毒液每瓶50元，乙种消毒液每瓶30元.
（1）若该学校购买两种消毒液共花费19000元，则购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？
（2）若计划购买两种消毒液的总费用不超过20000元，则最多购买甲种消毒液多少瓶？
19．如图，这是Excel工作表的一部分，字母A－E依次表示列，数1－5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n．
A B C D E
1
x
2
a
3 w
4
y
5
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值．
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
20．（1）若 求 的值；
（2）若 ，则将 用含 的代数式表示.
21．解答题
（1）已知，用含，的式子表示下列代数式：
①求：的值
②求：的值
（2）已知，求的值
22．如图，已知∠C＝∠B，AB∥CD.
（1）试着先判断CF与BD所在的直线平行吗？请说明理由；
（2）如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝98°，求∠B的度数.
23．图①所示是边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形.图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请用含 的式子表示： ， ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算： .
24．福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
25．某校举办“迎亚运“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品.
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽.
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b
①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的 ，试求 的值.
26．进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数123=1×102+2×101+3×100，记作123（10）； 七进制123=1×72+2×71+3×70，记作123（7）．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：123（7）=1×72+2×7+3×70=66，即123（7）=66（10），将十进制转化为七进制：（因为72＜66＜73，所以做除法从72开始）66÷72=1…17，17÷71=2…3，即66（10）=123（7）
（1）根据以上信息，若将八进制转化为十进制：15（8）=1×81+5×80=13，即15（8）= （10）；若将十进制转化为九进制：98÷92=1…17，17÷91=1…8，即98（10）= （9）
（2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y．
①若x=7，则y= ．
②请求出满足上述条件的所有十进制两位数 ．
27．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点.
（1）如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
如图1，若∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由.
28．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为 ，矩形ABCD的面积为 ；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
29．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出 （a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=4，xy= ，则（x﹣y）2= ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图③，你发现的等式是 ．
30．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，若用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则满足公式：v=at+b（a，b为已知数）.当t=10时，v=336.当t=20时，v=342.
（1）求a，b的值.
（2）求当t=15℃时，v的值.
31．湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．
（1）请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；
（2）该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？
32．如图，将三角形ABC向右平移，使点A移动到点A'，点B移动到点B'，点C移动到点C'，且AA'∥BC，AA'＝ BC．
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）若AA'＝1，求BC'的长度．
33．若在方格（每小格正方形边长为1m）上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿竖直方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．
（1）从点C按“平移量”{ ， }可平移到点B；
（2）若点B依次按“平移量”{4，﹣3}、{﹣2，1}平移至点D，
①请在图中标出点D；（用黑色水笔在答题卡上作出点D）
②如果每平移1m需要2.5秒，那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒？
③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{ ， }直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点E依次按“平移量”{2a，3b}、{﹣5a，b}、{a，﹣5b}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{ ， }直接平移至点F．
34．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）若，，求的值；
（3）计算：①.
35．化简或求值：
（1）（a+b+c）+（b﹣c﹣a）+（c+a﹣b）；
（2）3x2﹣[7x﹣（﹣3+4x）﹣2x2]；
（3）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x=1，y=﹣1．
36．欣欣服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元.
（1）A、B两种运动服各加工多少件？
（2）A种运动服的标价为200元，B种运动服的标价为220元，若两种运动服均打八折出售，则该服装厂售完这100件运动服共盈利多少元？
37．如图，点D、E在上，点F、G分别在、上，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
38．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，请补全过程求出原方程组的解；
（3）若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ．
39．如图，已知 ．
（1）证明： ．
（2）若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数．
40．如图..
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程.
（1）试说明：；
∵，（已知）
∴ ▲ （ ）
又∵，（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴ ▲ ▲ （ ）
（2）与的位置关系如何 为什么
与的位置关系是： ，理由如下：
∵，（已知）
∴ ▲ （ ）
又∵，（已知）
∴∠ ▲ =∠ ▲ （等量代换）
∴ ▲ // ▲ .（ ）
（3） 与相等吗 请说明理由.
41．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2-x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2-x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
42．完成下面证明：如图，B是射线AD上一点，∠DAE=∠CAE，∠DAC=∠C=∠CBE
（1）求证：∠DBE=∠CBE
证明：∵∠C=∠CBE（已知）
∴BE∥AC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠DAC=∠C（已知）
∴∠DBE=∠CBE
（2）请模仿（1）的证明过程，尝试说明∠E=∠BAE．
43．先化简，再求值．
（1）﹣2a2+3﹣（3a2﹣6a+1）+3
（2）x﹣2（x﹣ y2）+（﹣ x+ y2），其中x=﹣2，y=﹣3．
44．重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．
（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？
（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值．
45．如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2分别交于点C和D，在直线l上有一点P（点P与点C，D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．
（1）当点P在C，D之间运动时，试说明：∠PAC+∠PBD=∠APB；
（2）当点P在直线l1的上方运动时，试探索∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？为什么？
46．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表所示：
甲 乙
成本 元/只 元/只
售价 元/只 元/只
（1）若该公司三月份的利润为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）养正学校到该公司购买乙型口罩，有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：购买元会员卡后，乙型口罩一律打折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
47．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
48．如图，已知.
（1）求证：；
（2）若平分，交于点，交于点，且，求的度数.
49．如图，三角形ABC，直线 ，CD、BD分别平分 和 ．
（1）图 中， ， ，求 的度数，说明理由．
（2）图 中， ，直接写出 ．
（3）图 中， ， ．
50．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产，他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材，如图所示(单位：cm)：
（1）列出方程(组)，求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将 张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒(每个礼盒用3个A型板材和2个B型板材)：
①两种裁法共生产A型板材 张，B型板材 张(用含 的代数式表示)；
②当 时，所裁得的A型板材与B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个(在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程).
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【50道热点题型】浙教版数学七年级下册期中试卷·综合题专练
1．如图，已知AB∥CD， 若∠C=35 ，AB是∠FAD的平分线.
（1）求∠FAD的度数；
（2）若∠ADB=110 ，求∠BDE的度数.
【答案】（1）解：∵AB//CD，
∴∠C=∠FAB=35°，
∵AB是∠FAD的平分线，
∴∠FAB=∠BAD=35°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=70°；
（2）解：∵AB//CD，
∴∠ADC=∠BAD=35°，
又∵∠ADB=110°，
∴∠BDE=180°-∠ADC- ∠ADB =180°-35°-110°=35°.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出∠C=∠FAB=35°，再根据角平分线的定义得出 ∠FAB=∠BAD=35°，利用∠FAD=∠FAB+∠BAD，即可求解；
（2）根据二直线平行，内错角相等得出∠ADC=∠BAD=35°，再利用∠BDE=180°-∠ADC- ∠ADB，即可求解.
2．2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？（用含x的代数式表示）
【答案】解：场馆的长为：米，宽为米，
∴面积是：
平方米．
【解析】【分析】本题主要考出来了整式乘法的应用，根据题设中的图形，表示出场馆的长为米，宽为米，结合矩形的面积公式，列式算式，即可求得 场馆总的占地面积，得到答案.
3．如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路．
（1）求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式）
（2）若，求这两条小路的总面积．
【答案】（1）
（2）这两条小路的总面积为38
4．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
第一组 第二组
答错次数 1 2
答对次数 7 9
最终分数 40 45
（1）求x，y的值；
（2）如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
【答案】（1），
（2）第三组答对8次
5．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 的距离， 是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）
【答案】（1）解：如图：
（2）OA；线段CP；PH＜PC＜OC
【解析】【解答】解：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，
线段CP的长度是点C到直线OB的距离，
根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，
故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．
【分析】（1）过点P画OA的垂线，即过点P画∠PHO=90°即可，（2）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
6．如图，将三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，A，D两点的距离为1，CE=2，∠A=72°，则：
（1）AC和DF的关系是什么？
（2）∠1= （度）；
（3）BF= ．
【答案】（1）解：AC和DF的关系式为AC=DF，AC∥DF
（2）解：∵三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF， ∴AB∥DE，∵∠A=72°，∴∠1=108（度）
（3）解：BF=BE+CE+CF=2+1+1=4
【解析】【分析】（1）根据平移前后对应线段平行且相等直接回答即可；（2）平移前后对应角相等；（3）用EC的长加上两个平移的距离即可．
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是三边上的点，且DE平分∠ADF，∠ADF＝2∠DFB.
（1）判断DE与BC是否平行，并说明理由．
（2）若EF // AB，∠DFE＝3∠CFE，求∠ADE的度数．
【答案】（1）解：DE∥BC，理由：
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADF=2∠EDF，
又∵∠ADF=2∠DFB，
∴∠EDF=∠DFB，
∴DE∥BC；
（2）解：设∠EFC=α，则∠DFE=3∠CFE=3α，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠EFC=α，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=α，
∵DE平分∠ADF，DE∥BC
∴∠DFB=∠EDF=∠ADE=α，
∵∠DFB+∠DFE+∠CFE=180°，
∴α+3α+α=180°，
解得α=36°，
∴∠ADE=36°
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及∠ADF＝2∠DFB，即可得到∠EDF＝∠DFB，进而得出DE∥BC；
（2）设∠EFC＝α，则∠DFE＝3∠CFE＝3α，根据平行线的性质及角平分线的定义，即可得到∠DFB＝α，再根据∠DFB+∠DFE+∠CFE＝180°，得α+3α+α=180°， 解得α，即可求出∠ADE的度数．
8．如图，已知点、在直线上，，平分，．
（1）求证： ；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，即可得到；
（2）先求出，利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得。
9．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2= ．
【答案】（1）x﹣y
（2）（x﹣y）2；（x+y）2﹣4xy
（3）（x+y）2=（x﹣y）2+4xy
（4）4
【解析】【分析】（1）图①分成了4个长为x，宽为y的长方形，图②中的阴影部分的小正方形的边长等于x﹣y，大正方形的边长等于x+y；（2）直接利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的面积为（x﹣y）2；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积即②（x+y）2﹣4xy；（3）利用面积之间的关系易得（x+y）2=（x﹣y）2+4xy．
10．如图，点P是 内部一点， 交 于点C．请你画出射线 ，并且 ， 或 的反向延长线交 于点D．
（1）补全图形；
（2）判断 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：
（2）解：∠AOB与∠MPN相等或互补．
证明：如图1，∵PM∥OA，
∴∠AOB＝∠PCB，
∵PN∥OB，
∴∠MPN＝∠PCB，
∴∠AOB＝∠MPN；
如图2，∵PM∥OA，
∴∠AOB＝∠PCB，
∵PN∥OB，
∴∠MPN+∠PCB＝180°，
∴∠AOB+∠MPN＝180°．
综上所述，∠AOB与∠MPN相等或互补．
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 ∠AOB＝∠PCB， 再求出 ∠AOB＝∠MPN或∠AOB+∠MPN＝180° 即可。
11．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米）
每户每月用水量 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元）
不超出部分 1.10
超出不超出的部分 1.10
超出的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值：
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小智家四、五月份共用水，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小智家四、五月份的用水量各是多少？
【答案】（1）解：由题意得，，
解得；
答：a，b的值分别为2.5和4.5；
（2）解：（元）
答：小红家七月份预计应缴水费84.5元．
（3）解：设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，
，
，即四月份的用水量低于．
①当时，缴费总量为：，
解得不合题意，舍去；
②当时，缴费总量为：
，
解得，此时，符合题意；
答：小智家四月份的用水量为，五月份的用水量为．
【解析】【分析】（1）利用表格中数据，根据： 2023年三月份，小红家用水，交水费32.8元，小智家用水，交水费44元． 列出二元一次方程组，解之即可；
（2）对照阶梯收费价格先列式，再计算即可；
（3）设小智家四月份的用水量为，则五月份的用水量为，利用“ 四月份的用水量低于五月份的用水量 ”可求出x＜10，分两种情况：①当时②当时，根据四五月共 缴水费89元 ，分别列出方程并解之即可.
12．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
求：
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
【答案】（1）解：设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
解得： ，
答：购进篮球12个，购进排球8个；
（2）解：设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60﹣50）=（95﹣80）a，
解得：a=4，
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：购进篮球的数量+排球的数量=20；购进篮球的数量×每一个篮球的利润+排球的数量×每一个排球的利润=260；设未知数，列方程组，解方程组可求解。
（2）此题的等量关系为：6×每一个排球的利润=一个篮球的利润×篮球的数量，设未知数，列方程求解即可。
13．小红购买了两次笔记本，购买情况及总费用如下表
购买次数 购买各种笔记本的数量 单位：本 购买总费用 单位：元
甲 乙
第一次 1 4 22
第二次 2 3 24
备注：两次购买甲、乙笔记本的单价不变
（1）甲、乙笔记本的单价分别是多少元？
（2）小红第三次以相同的价格购买甲、乙两种笔记本共18本，总费用为92元，则小红第三次购买甲、乙笔记本各多少本？
【答案】（1）解：设甲种笔记本的单价为m元/本，则乙种笔记本的单价为n元/本，可得： ，解得： .
答：甲笔记本的单价是6元，乙笔记本的单价是4元。
（2）解：设小红第三次购买甲笔记本x，乙笔记y本，可得： ，解得： .
答：小红第三次购买甲笔记本10本，乙笔记本8本。
【解析】【分析】（1） 设甲种笔记本的单价为m元/本，则乙种笔记本的单价为n元/本 ，根据1本甲笔记本的价格+4本乙笔记本的价格=22与2本甲笔记本的价格+3本乙笔记本的价格=24即可列出方程组，求解即可；
（2） 设小红第三次购买甲笔记本x，乙笔记y本 ，根据甲笔记本的数量+乙笔记本的数量=18，x本甲笔记本的价格+y本乙笔记本的价格=92列出方程组，求解即可。
14．如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
（1）若抽中的卡片是B．
①求整式C；
②当x＝ ﹣1时，求整式C的值．
（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
【答案】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
② ，
当x＝ ﹣1时，原式=
（2）解：当抽中的卡片是B时，
由②得
∴不符合题意；
当抽中的卡片是A时，
∵ ， ，
∴ ，
= ，
∴无论x取何值，整式C的值都是非负数，
∴抽中的卡片是A．
【解析】【分析】（1）①整式C为：B的相反数+A，计算可得结论；②将x＝ ﹣1 代入C即可求得结果；
（2）分抽中的卡片是B或A两种情况计算整式C的值，并进行配方，可得结论。
15．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1+∠2＝180°，
求证：
（1）EF∥AD；
（2）∠GDC＝∠B.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴EF∥AD
（2）解：∵EF∥AD，
∴∠2+∠EAD＝180°，
∵∠1+∠2＝180°
∴∠1＝∠EAD，
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B.
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC，EF⊥BC，可得∠EFB＝∠ADB＝90°，利用同位角相等，两直线平行即可证明EF∥AD；
（2）结合（1）的结论和，∠1+∠2＝180°可得∠1＝∠EAD，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DG，进而证明∠GDC＝∠B.
16．在学习“乘法公式“时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段 和 ，把大正方形分成四部分（如图所示）.
（1）观察发现
请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系：
（2）类比操作
请你作一个图形验证： .
（3）延伸运用
若 ，如图中阴影部分的面积和为13，求 的值.
【答案】（1）
（2）只要画正确即可.
（3）由题意可知， ， ，
.
，
，
.
【解析】【解答】（1）
【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积=边长的平方，第二种表示方法为：两个小正方形的面积+两个长方形的面积.
（2）根据多项式画出图形，即可解答．
（3）由题意可知， ， ，将 化简得 ，两边同时平方，将 代入计算即可.
17．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．我校上月举办了“读书节”活动。为了表彰优秀，主办单位王老师负责购买奖品．他发现：若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品．设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．
（1）请用x的代数式表示y．
（2）若用这钱全部购买笔记本，总共可以买几本？
（3）若王老师用这钱恰好买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求出所有可能的a、b值．
【答案】（1）解：由题意得：60（2x+3y）=40（2x+6y）
化简得：
（2）解：60（2x+3y）÷y=360
答：总共可以买卖360本；
（3）解： 由题意得：60（2x+3y）=30（ax+by），
把 代入得：
解得此方程的正整数解为 ， ， ．
【解析】【分析】（1）设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本．，根据若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品所用的总钱数=若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品所用的总钱数，可列出方程，60（2x+3y）=40（2x+6y） ，再将方程整理成一般形式，然后用含x的代数式表示y即可；
（2）根据总价除以单价等于数量，由（1）知此次购买奖品的总价为60（2x+3y），从而列出代数式60（2x+3y）÷y，再将（1）的结论代入即可得出答案；
（3）根据若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品所用的总钱数=选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品，则可购买30份的奖品的总钱数，列出方程，然后把（1）的结论代入化简即可得到 a + b = 12 ，然后求出其正整数解即可。
18．永宁县某中学在疫情复学准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划购买500瓶消毒液，已知甲种消毒液每瓶50元，乙种消毒液每瓶30元.
（1）若该学校购买两种消毒液共花费19000元，则购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？
（2）若计划购买两种消毒液的总费用不超过20000元，则最多购买甲种消毒液多少瓶？
【答案】（1）解：设该校购买甲种消毒液x瓶，乙种消毒液y瓶, 根据题意，得：
解得：
答：该校购买甲种消毒液200瓶，乙种消毒液300瓶
（2）解：设该校购买甲种消毒液a瓶，乙种消毒液（500-a）瓶.
根据题意得：50a+30（500-a）≤20000.
解得：a 250
答：最多购买甲种消毒液250瓶.
【解析】【分析】 （1）设该校购买甲种消毒液x瓶，乙种消毒液y瓶，根据“购买两种消毒液共500瓶，且购买两种消毒液共花费19000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液（500-m）瓶，根据总价=单价×数量结合购买两种消毒液的总费用不超过20000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
19．如图，这是Excel工作表的一部分，字母A－E依次表示列，数1－5依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n．
A B C D E
1
x
2
a
3 w
4
y
5
（1）若a＝8，x＝12，y＝9，求m，n的值．
（2）若w＝0，求x与a的数量关系．
【答案】（1）解：由已知得： ，
解得：
（2）解：由已知得： ，
解得：x＝2a
【解析】【分析】(1)根据a与x的位置关系，结合每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n，建立等式8+2n-m=9；同理得等式12+n-2m=8，再联立求解即可；
(2)根据a与w的位置关系，结合每一列中的数都比前一列相应的数大m，每一行中的数都比前一行相应的数大n，建立等式a+n-2m=0；同理得等式x+n-2m=a，再联立消去参数m、n即可求解.
20．（1）若 求 的值；
（2）若 ，则将 用含 的代数式表示.
【答案】（1）
，
（2）∵ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘、相除以及幂的乘方的逆运算可得 ，代入可得结果；
（2）由 可得 ，根据同底数幂相乘、幂的乘方的逆运算可得代入可得结果.
21．解答题
（1）已知，用含，的式子表示下列代数式：
①求：的值
②求：的值
（2）已知，求的值
【答案】（1）解：① ；
②
（2）解： ，
，
，
，
解得：
【解析】【解答】解：（1）①∵4m=a，8n=b，
∴22m+3n=22m×23n=4m×8n=ab；
②∵4m=a，8n=b，
∴22m-6n=22m÷26n=4m÷（23）2n=4m÷（8n）2=a÷b2=
【分析】（1）①先根据同底数幂的乘法法则的逆用将待求式子变形，进而根据幂的乘方法则的逆用将式子变形，最后整体代入即可得出答案；②先根据同底数幂的除法法则的逆用将待求式子变形，进而根据幂的乘方法则的逆用将式子变形，最后整体代入即可得出答案；
（2）根据有理数乘方运算法则将等式的左边变形，进而根据幂的乘方运算法则及同底数幂的乘法法则计算，从而根据幂的性质，当底数相同，幂相等的情况下，指数一定相等，可列出关于字谜x的方程，求解即可.
22．如图，已知∠C＝∠B，AB∥CD.
（1）试着先判断CF与BD所在的直线平行吗？请说明理由；
（2）如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝98°，求∠B的度数.
【答案】（1）平行，理由如下：
∵AB∥CD
∴∠B=∠BDE
∵∠B=∠C
∴∠C=∠BDE
∴CF∥BD
（2）解：∵CF∥BD
∴∠FAD+∠ADB=180°
∴∠FAD=180 -∠ADB=180 -98 =82°
∵AB平分∠FAD
∴∠FAB= ∠FAD=41°
∴∠B=41°
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出 ∠B=∠BDE ，结合题意及等量关系得出 ∠C=∠BDE ，根据同旁内角相等，二直线平行得出 CF∥BD ；
（2）根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠FAD的度数，根据角平分线的定义得出 ∠FAB= ∠FAD=41° ，最后根据二直线平行，内错角相等得出∠B的度数.
23．图①所示是边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形.图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请用含 的式子表示： ， ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算： .
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图1阴影部分的面积值为a2-b2；
图2长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a-b）=a2-b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）图1阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2长方形的面积=长×宽，据此解答即可；
（2）根据阴影部分的面积相等即得结论；
（3）将原式变形为，然后利用平方差公式计算即可.
24．福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客年每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．
（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最少，最少为多少？
【答案】（1）49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元
（2）租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，租金最少为11600元
25．某校举办“迎亚运“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形（图中阴影部分）区域摆放作品.
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽.
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b
①直接写出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的 ，试求 的值.
【答案】（1）解：（1）设小长方形的长和宽分别为x米、y米，
，得 ，
答：小长方形的长和宽分别为20米、5米；
（2）解：① ，
①+②得
3（x+y）＝a+b，
∴ ，
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是： ，
即1个小长方形周长与大长方形周长之比是1：3；
②∵作品展览区域（阴影部分）面积占展厅面积的 ，
∴ ，
∴ ，
∴（2x+y）（x+2y）＝9xy，
化简，得
（x﹣y）2＝0，
∴x﹣y＝0，
∴x＝y，
∴ ＝1.
【解析】【分析】（1）根据题意和图形可以列出相应的方程组，从而可以求得小长方形的长和宽；（2）①根据图形可以列出相应的方程组，然后两个方程相加变形即可求得1个小长方形周长与大长方形周长之比；②根据题意和图形可知a＝2x+y，b＝x+2y， ，从而可以求得 的值.
26．进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数123=1×102+2×101+3×100，记作123（10）； 七进制123=1×72+2×71+3×70，记作123（7）．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：123（7）=1×72+2×7+3×70=66，即123（7）=66（10），将十进制转化为七进制：（因为72＜66＜73，所以做除法从72开始）66÷72=1…17，17÷71=2…3，即66（10）=123（7）
（1）根据以上信息，若将八进制转化为十进制：15（8）=1×81+5×80=13，即15（8）= （10）；若将十进制转化为九进制：98÷92=1…17，17÷91=1…8，即98（10）= （9）
（2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y．
①若x=7，则y= ．
②请求出满足上述条件的所有十进制两位数 ．
【答案】（1）13；118
（2）1；24、25、26
【解析】【解答】解：（1）∵15（8）=1×81+5×80=13，
∴15（8）=13（10）；
∵98÷92=1…17，17÷91=1…8，
∴98（10）=118（9）．
故答案为：13；118．
2）①2x（9）=2×9+x=25，
25÷81=3…1，
∴y=1．
故答案为：1．
②解：由题意得：九进制两位数和八进制两位数分别是2x和3y，
则2×9+x=3×8+y，
∴x=6+y，
∵x≤8，
∴x=6、7、8．
则九进制数分别是26、27、28．
∴十进制两位数分别是24、25、26
【分析】（1）根据15（8）=1×81+5×80=13，即可得出八进制的15转化成十进制的数为13；根据98÷92=1…17，17÷91=1…8，即可得出十进制的98转化成九进制的数为118；（2）①算出当x=7时，十进制两位数的值，再将其转换成八进制的两位数，即可得出y值；②将九进制的两位数与八进制的两位数均转换成十进制两位数，令其相等即可得出x、y之间的关系，根据x≤8即可得出x的值，套入数据即可得出结论．
27．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点.
（1）如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
如图1，若∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）50°；α+β
（2）解：如图2，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）解：2∠AFC+∠AEC＝360°，
理由如下：
由（1）可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°.
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，
∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，
当∠BAE＝30°，∠DCE＝20°时，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝30°+20°＝50°；
当∠BAE＝α，∠DCE＝β时，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝α+β.
故答案为：50°，α+β；
【分析】（1）过点E作EM∥AB，则MN∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE，据此解答；
（2）过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，根据平行线的性质可得∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，据此解答；
（3）由（1）可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，根据角平分线的概念可得∠BAE=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF，则∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，据此解答.
28．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x﹣4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为 ，矩形ABCD的面积为 ；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）（1，0）；8
（2）解：如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．
∵点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（1，2）
设直线MN的解析式为y=x+c，
将点B的坐标代入得；1+c=2．
∴c=1．
∴直线MN的解析式为y=x+1．
将y=0代入得：x+1=0，解得x=﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
∴BE= = =2 ．
∴a=2
如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．
∵点D的坐标为（﹣3，0），
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
设MN的解析式为y=x+d，将（﹣3，2）代入得：﹣3+d=2，解得d=5．
∴直线MN的解析式为y=x+5．
将y=0代入得x+5=0，解得x=﹣5．
∴点F的坐标为（﹣5，0）．
∴b=4﹣（﹣5）=9
（3）解：当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点．
∴s=0．
当3≤t＜5时，如图3所示；
S= = = ；
当5≤t＜7时，如图4所示：过点B作BG∥MN．
由（2）可知点G的坐标为（﹣1，0）．
∴FG=t﹣5．
∴S=SBEFG+SABG=2（t﹣5）+ =2t﹣8．
当7≤t≤9时，如图5所示．
FD=t﹣7，CF=2﹣DF=2﹣（t﹣7）=9﹣t．
S=SABCD﹣SCEF=8﹣ = ．
综上所述，S与t的函数关系式为S=
【解析】【解答】解：（1）令直线y=x﹣4的y=0得：x﹣4=0，解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，0）．
由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，
∴点A的坐标为（1，0）
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，
∵y=x﹣4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3﹣4=x﹣1，
∴点A的坐标为 （1，0）；
由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，
∴点D的坐标为（﹣3，0）．
∴AD=4．
∴矩形ABCD的面积=AB AD=4×2=8．
【分析】（1）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值；（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t＜5时，如图3所示S=△EFA的面积；当5≤t＜7时，如图4所示：S=SBEFG+SABG；当7≤t≤9时，如图5所示．S=SABCD﹣SCEF．
29．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出 （a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 ；
（3）根据（2）中的结论，若x+y=4，xy= ，则（x﹣y）2= ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图③，你发现的等式是 ．
【答案】（1）（b﹣a）2
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
（3）7
（4）（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2
【解析】【解答】解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2，
故答案为：（b﹣a）2；（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积，
所以（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab； （3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，
而x+y=4，x y= ，
∴42﹣（x﹣y）2=4× ，
∴（x﹣y）2=7，
故答案为：7； （4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，
∴（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2．
【分析】（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；（3）由（2）的结论得到（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，再把x+y=4，x y= 得到（x﹣y）2=7；（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b） （3a+b）=3a2+4ab+b2．
30．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，若用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则满足公式：v=at+b（a，b为已知数）.当t=10时，v=336.当t=20时，v=342.
（1）求a，b的值.
（2）求当t=15℃时，v的值.
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：把a=0.6，b=330代入得：v=0.6t+330，
将t=15代入得：v=0.6×15+330=339.
【解析】【分析】（1）将t=10，v=336与t=20，v=342分别代入v=at+b可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解可得a、b的值；
（2）将a、b及t=15都代入v=at+b即可算出v的值.
31．湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．
（1）请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；
（2）该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？
【答案】（1）解：设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，
可得： ，
解得：
（2）解：把每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格分别为30元，45元代入，
可得：4×30+2×45=210（元）
【解析】【分析】（1）设每盒豆腐乳x元，每盒猕猴桃果汁y元，根据若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元，列出方程组，求解即可；（2）将（1）中的每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格代入解得即可．
32．如图，将三角形ABC向右平移，使点A移动到点A'，点B移动到点B'，点C移动到点C'，且AA'∥BC，AA'＝ BC．
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）若AA'＝1，求BC'的长度．
【答案】（1）解：如图所示，A'B'C'即为所求；
（2）解：由平移可得，AA'∥CC'，AA'＝CC'，
又∵AA'∥BC，
∴B，C，C'三点共线，
又∵AA'＝ BC＝1，
∴BC＝2，
∴BC'＝BC+CC'＝2+1＝3．
【解析】【分析】（1）根据平移的方向和距离确定 A'、B'、C' 的位置，进而得到平移后的△ A'B'C' ；
（2）根据AA'＝1以及平移的性质即可得到CC'=1，进而根据B，C，C'三点共线即可得到BC'的长度.
33．若在方格（每小格正方形边长为1m）上沿着网格线平移，规定：沿水平方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿竖直方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”．例如：点A按“平移量”{1，4}可平移至点B．
（1）从点C按“平移量”{ ， }可平移到点B；
（2）若点B依次按“平移量”{4，﹣3}、{﹣2，1}平移至点D，
①请在图中标出点D；（用黑色水笔在答题卡上作出点D）
②如果每平移1m需要2.5秒，那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒？
③观察点D的位置，其实点B也可按“平移量”{ ， }直接平移至点D；观察这两种平移的“平移量”，猜想：点E依次按“平移量”{2a，3b}、{﹣5a，b}、{a，﹣5b}平移至点F，则相当于点E按“平移量”{ ， }直接平移至点F．
【答案】（1）﹣2；﹣1
（2）2；﹣2；﹣2a；﹣b
【解析】【解答】解：①点B依次按“平移量”{4，﹣3}、{﹣2，1}平移至点D如图所示；
②（4+3+2+1）×2.5=10×2.5=25秒；
③由图可知，点B到点D，向右2个单位，向下2个单位，
所以，平移量为{2，﹣2}，
∵2a﹣5a+a=﹣2a，
3b+b﹣5b=﹣b，
∴点E到F的平移量为{﹣2a，﹣b}．
故答案为：（1）﹣2，﹣1；（2）③2，﹣2；﹣2a，﹣b．
【分析】（1）根据图形，点B在点C的左边2个单位，下方1个单位，再根据“平移量”的定义即可求解；（2）①根据“平移量”的定义确定出点D的位置即可；②根据“平移量”的定义求出从点B移动到点D的路程，然后乘以2.5，计算即可得解；③根据“平移量”的定义结合直接写出点B到点D的平移量即可；把从点E到点F所有平移量的横向相加，纵向相加，计算即可得解．
34．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）若，，求的值；
（3）计算：①.
【答案】（1）
（2）解：，
由（1）中的结论可得，
又，
；
（3））解：①
．
②计算：
【解析】【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积等于剩余部分分面积，可知验证的等式是；
（2）利用（1）中结论将化为，再将 代入即可求出的值；
（3）①利用（1）中结论将原式展开，相加，再约分即可得到答案；
②利用（1）中结论将原式展开，相加即可.
35．化简或求值：
（1）（a+b+c）+（b﹣c﹣a）+（c+a﹣b）；
（2）3x2﹣[7x﹣（﹣3+4x）﹣2x2]；
（3）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x=1，y=﹣1．
【答案】（1）解：原式=a+b+c+b﹣c﹣a+c+a﹣b
=a+b+c
（2）解：原式=3x2﹣(7x+3﹣4x﹣2x2)
=3x2﹣7x﹣3+4x+2x2
=5x2﹣3x﹣3
（3）解：2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y
=2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y
=﹣5x2y+5xy，
当x=1，y=﹣1时，
原式=﹣5×12×（﹣1）+5×1×（﹣1）
=5﹣5
=0．
【解析】【分析】（1）先去括号，然后合并同类项可得结果；
（2）两次去括号，然后合并同类项可得结果；
（3）先去括号，合并同类项得出最简结果，最后把字母的值代入计算可得结果.
36．欣欣服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元.
（1）A、B两种运动服各加工多少件？
（2）A种运动服的标价为200元，B种运动服的标价为220元，若两种运动服均打八折出售，则该服装厂售完这100件运动服共盈利多少元？
【答案】（1）解：设A种运动服加工x件，B种运动服加工y件，根据题意可得：
，
解得： ，
答：A种运动服加工40件，B种运动服加工60件；
（2）解：依题意得：40×（200×0.8﹣80）＋60×（220×0.8﹣100）＝7760（元） ，
答：共盈利7760元.
【解析】【分析】（1）由题意可得两个相等关系： A种款式的运动服的数量+B种款式的运动服的数量=100件，加工1件A种运动服的成本×数量+加工1件B种运动服的成本×数量=9200元；然后根据两个相等关系列方程组即可求解；
（2）根据利润=加工1件A种运动服的利润×数量+加工1件B种运动服的利润×数量即可求解.
37．如图，点D、E在上，点F、G分别在、上，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，利用等量代换可得，即可证出；
（2）利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可。
38．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
（1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为 ；
（2）如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，请补全过程求出原方程组的解；
（3）若关于m，n的方程组，则方程组的解为 ．
【答案】（1）
（2）解：由已知得，
解得， 即
解得；
（3）
【解析】【解答】解：（1），
由①+②可得：6x=12，
解得：x=2，
由②-①可得：4y=14，
解得：y=3.5，
∴不等式组的解集为，
故答案为：；
（3），
由①+②可得：6（m+n）=24，
∴m+n=4③，
由②-①可得：4（m-n）=28，
∴m-n=7④，
由③+④可得：2m=11，
解得：m=5.5；
由③-④可得：2n=-3，
解得：n=-1.5，
∴不等式组的解集为，
故答案为：.
【分析】（1）利用加减消元法的计算方法逐题分析求解二元一次方程组即可；
（2）把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，即可解题；
（3）设m+n=x，m-n=y，即可解题．
39．如图，已知 ．
（1）证明： ．
（2）若 平分 ， 于点 ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1=∠BDE，
∴AC//DE，
∴∠2=∠ADE，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠3+∠ADE=180°，
∴AD//EF；
（2）解：∵∠1=∠BDE，∠1=40°，
∴∠BDE=40°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE= ∠BDE=20°，
∴∠2=∠ADE=20°，
∵∠2+∠3=180°
∴∠3=160°，
∵FE⊥AF，
∴∠F=90°，
∴∠B=360°-90°-160°-40°=70°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠1-∠B=180°-40°-70°=70°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定得出AC//DE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠BDE的度数，求出∠2、∠3的度数，根据四边形的内角和定理求出∠B，再根据三角形内角和定理求出即可。
40．如图..
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程.
（1）试说明：；
∵，（已知）
∴ ▲ （ ）
又∵，（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴ ▲ ▲ （ ）
（2）与的位置关系如何 为什么
与的位置关系是： ，理由如下：
∵，（已知）
∴ ▲ （ ）
又∵，（已知）
∴∠ ▲ =∠ ▲ （等量代换）
∴ ▲ // ▲ .（ ）
（3） 与相等吗 请说明理由.
【答案】（1）解：∵，（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵，（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；、；内错角相等，两直线平行；
（2）解：与的位置关系是：，理由如下：
∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵，（已知）
∴（等量代换）
∴.（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；；；；；内错角相等，两直线平行；
（3）解：，理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠EAD，结合∠1=∠B可得∠1=∠EAD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由平行线的性质可得∠3=∠CAD，结合∠2=∠3可得∠2=∠CAD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）由平行线的性质可得∠BED+∠CDE=180°，∠ACD+∠CDE=180°，据此解答.
41．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2-x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2-x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】（1）解：（x2+3x+2）（x2-x）
（2）解：设一次项系数为，
答案是不含三次项的
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法求解即可；
（2）设一次项系数为a，利用多项式乘多项式的计算方法可得，再根据题意可得a-1=0，再求出a的值即可。
42．完成下面证明：如图，B是射线AD上一点，∠DAE=∠CAE，∠DAC=∠C=∠CBE
（1）求证：∠DBE=∠CBE
证明：∵∠C=∠CBE（已知）
∴BE∥AC
∴∠DBE=∠DAC
∵∠DAC=∠C（已知）
∴∠DBE=∠CBE
（2）请模仿（1）的证明过程，尝试说明∠E=∠BAE．
【答案】（1）内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换
（2）证明：∵∠C=∠CBE（已知），
∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行 ），
∴∠CAE=∠E（两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠DAE=∠CAE（已知），
∴∠DAE=∠E（等量代换 ）
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定：内错角相等，两直线平行；由平行线性质：两直线平行，同位角相等；结合已知条件即可得证.
（2）根据平行线的判定可得BE∥AC，由平行线性质得∠CAE=∠E，等量代换即可得证.
43．先化简，再求值．
（1）﹣2a2+3﹣（3a2﹣6a+1）+3
（2）x﹣2（x﹣ y2）+（﹣ x+ y2），其中x=﹣2，y=﹣3．
【答案】（1）解：原式=﹣2a2+3﹣3a2+6a﹣1=﹣5a2+6a+2
（2）解：原式= x﹣2x+ y2﹣ x+ y2=y2﹣3x，
当x=﹣2，y=﹣3时，原式=9+6=15
【解析】【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
44．重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．
（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？
（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值．
【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元
（2）2
45．如图，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2分别交于点C和D，在直线l上有一点P（点P与点C，D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．
（1）当点P在C，D之间运动时，试说明：∠PAC+∠PBD=∠APB；
（2）当点P在直线l1的上方运动时，试探索∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？为什么？
【答案】（1）解：如图，延长AP交DB于H，
∵AC∥BH，
∴∠PAC=∠PHB，
∵∠APB=∠PBD+∠PHB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD
（2）解：如图，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由：∵AC∥BD，
∴∠PHC=∠PBD，
∵∠PHC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠APB+∠PAC
【解析】【分析】（1）延长AP交DB于H，根据平行线的性质以及三角形外角的性质即可解决问题．（2）结论：，∠PBD=∠PAC+∠APB．证明方法类似
46．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表所示：
甲 乙
成本 元/只 元/只
售价 元/只 元/只
（1）若该公司三月份的利润为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）养正学校到该公司购买乙型口罩，有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：购买元会员卡后，乙型口罩一律打折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
【答案】（1）解：设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，依题意得：
，解得：．
因此，生产甲型口罩万只，乙型口罩万只
（2）解：设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为：（元），选择方案二所需费用为：（元）．
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
因此，当购买数量少于只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠．
【解析】【分析】(1)设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，结合该公司共生产两种口罩20万只，且该公司三月份利润为8.8万元，可列出二元一次方程组，而总利润=单件利润×数量，解之即可.
（2）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为：（元），选择方案二所需费用为：（元），分三种情况，可求出a的取值范围（或a的值），当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
47．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB= ∠AOC= ×80°=40°
（2）解：∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值
（3）解：在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE= ∠AOC= ×80°=20°，
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB= ∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
48．如图，已知.
（1）求证：；
（2）若平分，交于点，交于点，且，求的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠BNP=∠2，结合已知，由等量代换得∠BNP=∠1，最后由同位角相等，两直线平行，得EF∥NP；
（2） 过点F作FM∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥FM∥CD，根据二直线平行，内错角相等，得∠EFM=∠1=40°，∠HFM=∠FHG=10°，根据角的和差可得∠EFH的度数，根据角平分线的定义可得∠GFH的度数， 最后根据三角形外角性质可算出∠FGD的度数.
49．如图，三角形ABC，直线 ，CD、BD分别平分 和 ．
（1）图 中， ， ，求 的度数，说明理由．
（2）图 中， ，直接写出 ．
（3）图 中， ， ．
【答案】（1）解：
，
，
如图1过D点作 ，
，
， ，
，即
又 、BD分别平分 和 ．
，同理
（2）
（3）
【解析】【解答】
如图2过D点作 ，
，
， ，
，即
又 、BD分别平分 和 ．
，同理 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
如图3过D点作 ，
，
， ，
，即
又 、BD分别平分 和 ．
，同理 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】（1）过 点作 ，根据平行线的性质，得出 ， ，则 ，再根据 、 分别平分 和 ，得出 ，同理 ，即可解答；（2）根据（1）的思路即可解答；（3）根据（2）的思路即可解答.
50．某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产，他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材，如图所示(单位：cm)：
（1）列出方程(组)，求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将 张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒(每个礼盒用3个A型板材和2个B型板材)：
①两种裁法共生产A型板材 张，B型板材 张(用含 的代数式表示)；
②当 时，所裁得的A型板材与B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个(在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程).
【答案】（1）解：由题意得： ，解得 ；
（2）2m+n；m+2n；24或27或30
【解析】【解答】（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m＝2m，裁法二产生A型板材为：1×n＝n，所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×m＝m，裁法二产生A型板材为，2×n＝2n，所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
故答案为2m+n；m+2n；24或27或30．
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
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