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2025年中考数学人教版《二次函数》专项练习
一、单选题
1．已知直线与抛物线相交于两点（点在点左侧），，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．6
2．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，若抛物线向右平移2个单位后得抛物线，则符合条件的m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）向左平移3个单位长度得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交．
（1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ；
（2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ．
10．已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是 ．
11．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ．
12．如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽为20米，抛物线最高点C到水面的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，，若两盏灯之间的距离为米，则直线与的距离为 米．
三、解答题
13．对于二次函数．
(1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
(2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
14．如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)直接写出当时的取值范围；
(3)若点在抛物线上，且，求点的坐标．
15．2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动．
(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______；
(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点．
(1)求点的坐标；
(2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值；
(3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围．
17．已知抛物线过点和点，且，直线过点，交线段于点．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)已知的周长为，的周长为，且．
①求点的坐标；
②过点作直线，交抛物线于，两点，求面积的最小值及此时抛物线的解析式．
18．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值；
(3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值．
19．定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，．求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：
(1)直接写出函数的“旋转函数”．
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值．
(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
20．综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《2025年中考数学人教版《二次函数》专项练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B D A B B
9．
10．/
11．，
12．4
13．（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，
当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
14．（1）解：令，则，解得，．
点的坐标为．
（2）解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知：
当时，；
（3）解：点的坐标为，．
设点到轴的距离为．，
，解得．
分两种情况：
①当点在轴上方时，，解得．
点的坐标为．
②当点在轴下方时，，解得，．
点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或．
15．（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，
解得．
16．（1）解：当时，，
点的坐标为；
由题意得：抛物线的对称轴为：直线，
抛物线的对称轴与轴交于点，
点的坐标为；
（2）解：时，二次函数为：，
二次函数的开口方向向下，最大值为，
①时，对应的最高点为：，
，
解得：， 不合题意，舍去，
②时，对应的最高点为：，
，
解得： 不合题意，舍去，，
综上：的值为或；
（3）解：直线经过点，
点的坐标为，
点的坐标为，
①抛物线的顶点在线段上，此时，抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为，
，
，
解得：；
②如图，抛物线的开口向上，点在抛物线的内部，
当时，，
，
解得：；
③如图，抛物线的开口向下，点在抛物线的外部，
当时，，
，
解得：．
综上：抛物线与线段只有一个公共点，则或或．
17．（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：①抛物线过点，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，且直线为，
，即，
点在线段上，
设点的坐标为，其中，
∴，
，
点在抛物线的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
即：，
∴，解得，
∴，
②令，则，
解得：，，
，
，
∵，点到直线的距离为，
，
当时，有最小值15，此时有最小值，
此时抛物线的解析式为，
综上所述，的面积最小值为，此时抛物线的解析式为．
18．（1）解：∵对称轴是直线，点在抛物线上，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（）得二次函数的表达式为，
∴当时，，
解得：，，
∴点，
∴点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后点的坐标为，
∵平移后的坐标恰好落在的图象上，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴的值为；
（3）解：由（）得二次函数的表达式为，
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：；
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：（舍去），（舍去）；
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：（舍去），（舍去）；
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：；
综上可知：的值为或．
19．（1）解：根据题意得，
解得
故解析式为：．
（2）解：根据题意得，
∴
∴．
（3）证明：当时，，
∴，
当时，，
解得：，
，
点A、B、C关于原点的对称点分别是，
∴，
设过点的二次函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
过点的二次函数解析式为．
，，，
∵，
，，，
∵，
∴两个函数互为“旋转函数”．
20．
（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
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