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衢州、丽水、湖州2025年4月三地市高三教学质量检测试卷
数学试题卷
本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.
选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则
A．或 B． C． D．
3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
A． B． C． D．
4．若，则
A． B． C． D．
5．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
6．正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．在中，角所对的边分别为.已知成等差数列，成等比数列，则
A． B． C． D．
8．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则
A．的最大值是 B．在上单调递增
C． D．在上有两个零点
10．若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是
A． B．
C． D．
11．如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知等差数列的前项和为，，，则 ▲ ．
13．已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ▲ ．
14．若定义在上的函数满足，则的最大值是 ▲ ．
四 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在直角梯形中，，，．将沿折
起，使，连接，得到三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）点是的中点,连接、，若，
（i）求二面角的正切值；（ii）求三棱锥的外接球体积．
16．（本题满分15分）
某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次.第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点.在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立.
（1）在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表：
得分分 得分分 合计
先在点投篮 20 5 25
先在点投篮 10 15 25
合计 30 20 50
是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？
（2）小明在点投中的概率为，在点投中的概率为.
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望.
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．（本题满分15分）
已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，
圆与的渐近线相切.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值.
18．（本题满分17分）
已知函数（），为坐标原点.
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）若点是函数图象上一点，求的最小值；
（2）若函数图象上存在不同两点满足，求的取值范围.
19．（本题满分17分）
对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；
③若，则加，均加，其余项不变.例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即.
（1）找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列；
（2）是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）.
（3）当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由.衢州、丽水、湖州2025年4月三地市高三教学质量检测试卷
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C B C D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
11.解析：设记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，
则，其中，计算易得，故A、C正确，B错误.由原方程组可得，
则，所以为常数列，且①.
同理，且，所以②，
由①②可知，=，所以，故D正确，
综上所述，选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 110 13. 14.
14解析：由已知可得，，则，所以，即，故2为函数的一个周期，因此.考虑到，设，，则，故最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）因为，，，所以平面
又平面，所以………………………………………………3分
又因为，，所以平面.………………………5分
解法一：以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，则.………………………7分
由（1）可知，平面的一个法向量为，所以.由图可知二面角平面角是锐角，记为，则，所以，故二面角的正切值为………………………………………………………10分
解法二：如图，取AD中点H，BD中点I，连接IE，IH，则.由（i）易得，则，又，所以平面，所以.由二面角定义可知即二面角的平面角………………7分
在直角三角形中，,所以，
所以二面角的正切值为…………………………10分
（ii）因为，所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，故三棱锥的外接球体积为……………………………………13分
16.（1）零假设为
：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异
…………………………………………4分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01……………………………………………5分
（2）设第次选择在点A投篮记为事件，在点B投篮记为事件，投中记为事件，则，,,.
（i）P(E)=
所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.…………………………………………………9分
小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则
，，，，.
∴X的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
∴……………………15分
17.（1）易知，∵双曲线的渐近线为，∴，解得，所以，得曲线方程为：.………………………………………………6分
（2）由同向可知，直线、与E均有两个交点.设直线，它与E的另一个交点记为C.由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积，所以四边形面积等于三角形面积.设，联立方程：，得
………………………………………………………8分
三角形面积
整理得，解得或………………………………12分
经检验时，反向，故舍去；当同向，符合题意，此时原方程解为或，故.……………15分
18.（1）当，，
（i）因为，则，故切线方程为………………3分
（ii），记……………………………5分
则，易知是关于的增函数且……8分
所以当；当故最小值为，得的最小值.……………………………………9分
（2）记，则，易知是关于的增函数且存在负实数使得，即.………………………………11分
所以当单调递减，当
故最小值为，注意到，，且，为使有两个不等实数解，则有.…………………………………………………………12分
即.
考虑到函数是关于的减函数，且，，故该函数存在唯一零点满足，（此处只需给出零点的一个合理估计即可.）
①若，即，则.
由化简得，记，注意到在区间的减函数，所以，
故时，恒成立，即满足.…………………………………14分
（几何法：由时，经过点，且，而两点在以原点为圆心，为半径的圆上，且，因此点在圆内，结合图像，知函数图象与圆的图象必有两个不同交点，故满足）…14分
②若，即，则.由化简得，记，则，所以单调递减，在区间单调递增且，，故由解得，而，故满足.
综上所述.……………………………………………………………………………17分
19.（1）
此处三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数.………………5分
（2）存在，
,
上述变换的顺序可以调换，也可以得到其他全相等的数，酌情给分.……………………10分
结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列.（判断结论正确即可给分，无须证明）………………………………………12分
（3）不存在，理由如下：
假设存在次变换，能使得经过这次变换后，
成为常数列，其中.
注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2，
偶数项的和增加2，………………………………………………………14分
因此次变换后有，
由知，
所以，（*）……………………………………………16分
而为递增数列，故，，…，
从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列.……………………………………………………17分

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