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专题6 数列中的最值问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,与数列有关的最值问题是数列中的经典问题,常与函数性质、不等式、新定义等知识交汇,是新高考考查的热点,本专题总结数列中常见最值的类型及解法,供大家参考.
（一）作差法判断数列单调性,求数列项的最值
若数列满足,则单调递增,若满足,则单调递减,若时,时,时,则或时最大.若时,时,则时最大.
【例1】（2023届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟）数列,满足,,．
(1)求证：是常数列；
(2)设,,求的最大项．
【解析】（1）,,,,
,,因此,数列是常数列；
（2）由（1）,即,且,整理得.
,,,
当时,,,
,
,,数列单调递减,的最大项为．
【例2】已知数列的前项和,且,.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
【解析】（1）,,则,
即,
当时,；
当时,；
经检验适合,
（2）由（1）知： ,,
,
当时,,
当时,；当时,；
又,,当时,有最小值.
（二）作商法判断数列单调性,求数列项的最值
若,且,则数列单调递增,若,且,则数列单调递减.
【例3】已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令,试问：数列是否有最大项？若有,指出第几项最大；若没有,请说明理由.
【解析】（1）解： 当时,,
所以,
又当时,也满足上式,
所以；
（2）解：由（1）知,
当时, ,所以,
令,得,
当时,,即；
当时,,即；
当时,,即；
所以数列先增后减,有最大项且最大项为第8,9项.
（三）利用函数单调性求数列项的最值
此类问题通常是把数列的通项转化为关于n的函数,然后利用函数的单调性求最值.
【例4】已知数列的前项和为,且满足,.
(1)求,,,,并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设,,求的最大值.
【解析】（1）解：,
由,得,同理可得,,
所以猜想；
（2）解：由（1）知,时,,
当时,满足上式,
所以,
所以,,
设,则有在上为减函数,在上为增函数,
因为,且,所以当或时,有最大值.
【例5】已知数列中,（,且）.
（1）若,求数列中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的,都有成立,求的取值范围.
【解析】（1）当时,.
由的单调性可得当且时,数列单调递减,且有；
当且时,数列单调递减,此时,且有.
综上,数列中的最大项的值为,最小项的值为；
（2）,已知对任意的,都有成立,
结合数列的单调性可得,解得.
因此,实数的取值范围是.
（四）求等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中,若有最大值,可由不等式组来确定；⑵若有最小值,可由不等式组来确定.求等差数列前n项和的最值也可以把前n项和化为关于n的二次函数,通过配方求最值.
【例6】（2024届山东省春季高考二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
【解析】（1）由,可知,
所以数列是以13为首项,以为公差的等差数列,
所以；
（2）由（1）可知,
令,解得,
令,解得,
即数列从第5项开始小于0,所以数列的前4项和最大,
最大值为．
【例7】已知数列的前项和为,,．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值并指明相应的值．
【解析】（1）因为,即,
即,即,
所以数列是公差为的等差数列,
由,可得,解得,
所以；
（2）由（1）可得,
当或时,取得最大值．
（五）求等比数列前n项乘积的最值
各项均为正数的等比数列中,若,则当时等比数列的前n项积最大；若,则当时等比数列的前n项积最小.
【例8】已知等比数列的前项积为,若,,求取最大值时,的值.
【解析】设等比数列的公比为,则,解得,所以,
所以,所以当取得最大值时,可得为偶数,
而在上单调递减,；；,则,且,
当且为偶数时,,
,所以,所以时,取得最大值．
（六）利用二次函数配方求最值
若要最值的式子可以转化为关于某一变量的二次函数,可以考虑利用二次函数配方求最值.
【例9】已知数列的前项和,且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项乘积为,求的最小值.
【解析】（1）因为.
所以当时,
当时,,
两式相减得
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
则数列通项公式为
（2）记数列的前项乘积为,
所以,由（1）可知
则
令,开口向上且对称轴为,
所以或8时,取最小值且最小值为.
所以的最小值为.
（七）新概念数列中的前n项和最值
求新概念数列中的前n项和的最值,关键是理解新概念的涵义,求解此类问题大多要利用新概念中的条件进行推理.
【例10】（2024届徽省鼎尖名校联盟高三下学期5月第三次联考）已知数列的前n项和为,若数列满足：
①数列为有穷数列；
②数列为递增数列；
③,,,使得；
则称数列具有“和性质”.
(1)已知,求数列的通项公式,并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由,直接给出结论）
(2)若首项为1的数列具有“和性质”.
（ⅰ）比较与的大小关系,并说明理由；
（ⅱ）若数列的末项为36,求的最小值.
【解析】（1）因为,
所以当时,；
当时,
,
而当时,满足,
因此数列的通项公式为
该数列具有“和性质”.
（2）（ⅰ）因为首项为1的数列具有“和性质”,
所以,,,
使得,且,,
因此,,
所以；
因此,
所以将上述不等式相加得：,
即.
因为,所以,
因此.
（ⅱ）因为数列具有“和性质”,
所以由③得：,因此数列中的项均为整数.
构造数列：1,2,3,6,9,18,36或数列：1,2,4,5,9,18,36,
因此这两个数列具有“和性质”,此时.
下面证明的最小值为75,
即证明不可能存在比75更小的.
假设（存在性显然,因为满足的数列只有有限个）.
第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素.
设有穷数列中元素组合的集合为A,
由（ⅰ）知：,而,
因此,,,,,所以.
第二步：证明,.
若,设.
因为,所以为了使得最小,
则在数列中一定不含有,使得,
因此.假设,根据“和性质”,
对,有,,使得.
显然,因此,
所以由有穷数列中至少有7个元素得：
集合A中至少还有4个不同于,,的元素,
因此,与矛盾,
所以,且.同理可证：.
根据“和性质”得：存在、,使得.
我们需要考虑如下几种情形：
①当,时,至少还需要一个大于等于4的,才能得到8,因此；
②当,时,至少还需要一个大于4的,才能得到7,则；
③当,时,此时为：1,2,3,6,9,18,36,因此；
④当,时,此时为：1,2,4,5,9,18,36,因此；
综上所述,的最小值为75.
（九）求数列中项数的最值
求数列中项数的最值通常把问题转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数单调性求n的最值.
【例11】（2024届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知数列的前n项和为,且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列的每一项均为正数,,数列的前n项和为,当时,求n的最小值．
【解析】（1）当时,,
当时,,
所以,所以（常数）,
故数列是以为首项,2为公差的等差数列．
（2）由（1）知,,得
所以
,
当时,即,所以n的最小值为2024．
【例12】从中选取个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列,称数列为的子数列,当时,把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列,称数列为的子二代数列．
(1)若的子数列是首项为2,公比为2的等比数列,求的子二代数列的前8项和；
(2)若的子数列是递增数列,且子二代数列共有项,求证：是等差数列；
(3)若,求的子二代数列的项数的最大值．
【解析】（1）由题意,得,
所以数列的前8项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24,
因为,
所以数列的前8项和为86．
（2）因为是递增数列,且共有项,
所以,
所以,,,…,这个数互不相等,且都是中的项,
同理,,
所以,,,…,,这个数互不相等,
且都是中的项,
又中共有项,所以,,…,,
所以,
所以是等差数列．
（3）因为,当时,的结果共有个,
设,则,
若存在,,,使得,则,
所以,
若,设,则,
是偶数,是奇数,矛盾,
所以,,
所以的4950个结果可以互不相等,
所以的项数的最大值为4950．
【例1】已知数列满足,数列为公差为的等差数列,且满足.记,称为由数列生成的“函数”.
(1)求的值；
(2)若“1-函数”,求n的最小值；
(3)记函数,其导函数为,证明：“函数”.
附：
【解析】（1）,,公差为2,所以,
,
所以；
（2）,,公差为1,
所以,
,当时,,
而,
所以,
,
设,则,
所以关于单调递增,
所以关于单调递增,
注意到,
所以当时,均满足,
所以满足题意的n的最小值为；
（3）由题意得
由,得,
所以,所以,
所以.
【例2】设,···, 都在椭圆C：上,且构成一个公差为的等差数列（其中O是坐标原点）,记及
(1)若,求点的坐标（写出一个即可）：
(2)当公差d变化时,求的最小值.
【解析】（1）由,解得：,
因为所以,因为为公差为的等差数列,
所以,所以,
可得,
由,可得,故点的坐标可以为.
（2）原点到二次曲线上各点的最小距离为,最大距离为；
因为,故,且,
故,因为,故在上递增,
故的最小值为.
当椭圆C：,则,
所以的最小值为.
【例3】（2023届湖北省荆门市龙泉中学高三5月模拟）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议,当取得最小值时,求n的取值．
【解析】（1）因为,
当时,,
所以,
又时,不满足上式,
故数列的通项公式为.
（2）当n为奇数时,,
当,时,
因为单调递增,∴,
综上,当n为奇数时,；
当n为偶数时,,
因为单调递增,∴．
综上所述,当取得最小值时,n的取值为1,2,3．
【例4】（2024届山东省菏泽第一中学高三下学期5月月考）已知数列的前项和为,且满足,．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意的正整数恒成立,求整数的最大值．
【解析】（1）因为,
所以,
当时,,
两式相减得：,
即,,
所以,
所以,,
所以,是以为首项,以为公差得等差数列,
故．
（2）因为,
所以,
依题意,不等式为,
即,
由得对任意的正整数恒成立,
又,
所以对任意的正整数恒成立．
设,
则,
所以,
所以当时,最大,最大值为,
所以,
解得,
则整数的最大值为．
【例5】（2024届北京市中国人民大学附中高三下学期5月三模）给定正整数,设数列是的一个排列,对,表示以为首项的递增子列的最大长度,表示以为首项的递减子列的最大长度.
(1)若,,,,,求和；
(2)求证：,；
(3)求的最小值.
【解析】（1）以为首项的最长递增子列是,以为首项的最长递减子列是和.
所以,.
（2）对,由于是的一个排列,故.
若,则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个,
得到一个以为首项的更长的递增子列,所以；
而每个以为首项的递减子列都不包含,且,
故可将替换为,得到一个长度相同的递减子列,所以.
这意味着；
若,同理有,,故.
总之有,从而和不能同时为零,
故.
（3）根据小问2的证明过程知和不能同时为零,故.
情况一：当为偶数时,设,则一方面有
；
另一方面,考虑这样一个数列：,.
则对,有,.
故此时.
结合以上两方面,知的最小值是.
情况二：当为奇数时,设,则一方面有
；
另一方面,考虑这样一个数列：,.
则对,有,.
故此时.
结合以上两方面,知的最小值是.
综上,当为偶数时,的最小值是；当为奇数时,的最小值是.
【例6】（2024届江西省九江市高三第三次高考模拟）已知数列共有项,且,若满足,则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
(1)当时,写出所有满足的“约束数列”；
(2)当时,设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件,并说明理由；
(3)当时,求的最大值.
【解析】（1）当时,所有满足的“约束数列”有：
①；②；③
（2）是的充分不必要条件.理由：
①当时,.
则,
当且仅当时,成立,
“约束数列”是公差为1的等差数列
②当“约束数列”是等差数列时,由,
得,或,或,
若,则的公差为；
若,则的公差为；
若,则的公差为,
即当“约束数列”是等差数列时,或或2024.
由①②,得是的充分不必要条件.
（3）要使得取最大值,则,
当且仅当同时满足以下三个条件时,取最大值.
①当时,；②当时,；
③当时,.
.
1．（2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次学业质量抽测）已知是等差数列的前项和,,数列是公比大于1的等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设,求使取得最大值时的值.
2．数列的前n项和记为,已知,．
(1)求证：是等差数列；
(2)若,,成等比数列,求的最大值．
3．已知等差数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为,且,令,求的最小值．
4．已知数列满足．
(1)计算,猜想的通项公式并加以证明；
(2)设,求使数列取得最大值时n的值．
5．（2025届湖南省名校联考联合体高三上学期入学考试）给定整数,数列,且,为整数.在中去掉一项,并将剩下的数分成项数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
(1)已知数列,写出的值及的特征值；
(2)若,当,其中,且时,证明：；
(3)已知数列的特征值为,求的最小值.
6．已知数列满足,且.
(1)求证：数列是等比数列,并求出的通项公式；
(2)若,求满足条件的最大整数.
7．设数列的前n项和为,,且对于任意都有成立．
(1)写出,的值,并求数列的通项公式；
(2)若等差数列的首项,公差,求数列的前n项和的最小值．
8．数列的首项,.
(1)证明是等差数列,并求的通项公式；
(2)设,
①当数列的项取得最大值时,求的值；
②求数列的前项和.
9．设数列的前项和是,且满足,其中为实数,.
(1)求证：是等比数列.
(2)当,时,另一数列的通项公式是（其中常数是整数）,对于任意,都有成立,求整数的最小值.
(3)当,时,记集合,,将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列,求使成立的最小的的值.
10．（2024届四川省自贡市普高高三第三次诊断）已知数列的前项和为,且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若,,成等比数列,求的最大值．
11．对于数列,如果存在正整数,使得对任意,都有,那么数列就叫做周期数列,叫做这个数列的周期.若周期数列,满足：存在正整数,对每一个,都有,我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是和,求证：；
(3)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是和,求的最大值.
12．（2024届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知n行n列的数表中,满足：,.若数表满足当时,总有,则称此数表为典型数表,此时记.
(1)若数表,,请直接写出M,N是否是典型数表；
(2)当时,是否存在典型数表A使得,若存在,请写出一个数表A；若不存在,请说明理由；
(3)若数表A为典型数表,求的最小值（直接写出结果,不需要证明）.
13．（2024届黑龙江省部分学校高三第三次模拟）如果n项有穷数列满足,,…,,即,则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”,其中成等差数列,且,依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”,且满足,记为数列的前项和.
①若,,…,构成单调递增数列,且.当为何值时,取得最大值
②若,且,求的最小值.
14．（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为,求证：．
(2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,）
15．（2024届河南师范大学附中高三下学期最后一卷）已知数列的前项和为,若存在常数,使得对任意都成立,则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列,且,求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数,且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列,且,求的值；
②求的最小值．
16．从中选取个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列,称数列为的子数列,当时,把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列,称数列为的子二代数列．
(1)若的子数列是首项为2,公比为2的等比数列,求的子二代数列的前8项和；
(2)若的子数列是递增数列,且子二代数列共有项,求证：是等差数列；
(3)若,求的子二代数列的项数的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6 数列中的最值问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,与数列有关的最值问题是数列中的经典问题,常与函数性质、不等式、新定义等知识交汇,是新高考考查的热点,本专题总结数列中常见最值的类型及解法,供大家参考.
（一）作差法判断数列单调性,求数列项的最值
若数列满足,则单调递增,若满足,则单调递减,若时,时,时,则或时最大.若时,时,则时最大.
【例1】（2023届吉林省长春吉大附中实验学校高三下学期第五次模拟）数列,满足,,．
(1)求证：是常数列；
(2)设,,求的最大项．
【解析】（1）,,,,
,,因此,数列是常数列；
（2）由（1）,即,且,整理得.
,,,
当时,,,
,
,,数列单调递减,的最大项为．
【例2】已知数列的前项和,且,.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
【解析】（1）,,则,
即,
当时,；
当时,；
经检验适合,
（2）由（1）知： ,,
,
当时,,
当时,；当时,；
又,,当时,有最小值.
（二）作商法判断数列单调性,求数列项的最值
若,且,则数列单调递增,若,且,则数列单调递减.
【例3】已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令,试问：数列是否有最大项？若有,指出第几项最大；若没有,请说明理由.
【解析】（1）解： 当时,,
所以,
又当时,也满足上式,
所以；
（2）解：由（1）知,
当时, ,所以,
令,得,
当时,,即；
当时,,即；
当时,,即；
所以数列先增后减,有最大项且最大项为第8,9项.
（三）利用函数单调性求数列项的最值
此类问题通常是把数列的通项转化为关于n的函数,然后利用函数的单调性求最值.
【例4】已知数列的前项和为,且满足,.
(1)求,,,,并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设,,求的最大值.
【解析】（1）解：,
由,得,同理可得,,
所以猜想；
（2）解：由（1）知,时,,
当时,满足上式,
所以,
所以,,
设,则有在上为减函数,在上为增函数,
因为,且,所以当或时,有最大值.
【例5】已知数列中,（,且）.
（1）若,求数列中的最大项和最小项的值；
（2）若对任意的,都有成立,求的取值范围.
【解析】（1）当时,.
由的单调性可得当且时,数列单调递减,且有；
当且时,数列单调递减,此时,且有.
综上,数列中的最大项的值为,最小项的值为；
（2）,已知对任意的,都有成立,
结合数列的单调性可得,解得.
因此,实数的取值范围是.
（四）求等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中,若有最大值,可由不等式组来确定；⑵若有最小值,可由不等式组来确定.求等差数列前n项和的最值也可以把前n项和化为关于n的二次函数,通过配方求最值.
【例6】（2024届山东省春季高考二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
【解析】（1）由,可知,
所以数列是以13为首项,以为公差的等差数列,
所以；
（2）由（1）可知,
令,解得,
令,解得,
即数列从第5项开始小于0,所以数列的前4项和最大,
最大值为．
【例7】已知数列的前项和为,,．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值并指明相应的值．
【解析】（1）因为,即,
即,即,
所以数列是公差为的等差数列,
由,可得,解得,
所以；
（2）由（1）可得,
当或时,取得最大值．
（五）求等比数列前n项乘积的最值
各项均为正数的等比数列中,若,则当时等比数列的前n项积最大；若,则当时等比数列的前n项积最小.
【例8】已知等比数列的前项积为,若,,求取最大值时,的值.
【解析】设等比数列的公比为,则,解得,所以,
所以,所以当取得最大值时,可得为偶数,
而在上单调递减,；；,则,且,
当且为偶数时,,
,所以,所以时,取得最大值．
（六）利用二次函数配方求最值
若要最值的式子可以转化为关于某一变量的二次函数,可以考虑利用二次函数配方求最值.
【例9】已知数列的前项和,且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项乘积为,求的最小值.
【解析】（1）因为.
所以当时,
当时,,
两式相减得
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
则数列通项公式为
（2）记数列的前项乘积为,
所以,由（1）可知
则
令,开口向上且对称轴为,
所以或8时,取最小值且最小值为.
所以的最小值为.
（七）新概念数列中的前n项和最值
求新概念数列中的前n项和的最值,关键是理解新概念的涵义,求解此类问题大多要利用新概念中的条件进行推理.
【例10】（2024届徽省鼎尖名校联盟高三下学期5月第三次联考）已知数列的前n项和为,若数列满足：
①数列为有穷数列；
②数列为递增数列；
③,,,使得；
则称数列具有“和性质”.
(1)已知,求数列的通项公式,并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由,直接给出结论）
(2)若首项为1的数列具有“和性质”.
（ⅰ）比较与的大小关系,并说明理由；
（ⅱ）若数列的末项为36,求的最小值.
【解析】（1）因为,
所以当时,；
当时,
,
而当时,满足,
因此数列的通项公式为
该数列具有“和性质”.
（2）（ⅰ）因为首项为1的数列具有“和性质”,
所以,,,
使得,且,,
因此,,
所以；
因此,
所以将上述不等式相加得：,
即.
因为,所以,
因此.
（ⅱ）因为数列具有“和性质”,
所以由③得：,因此数列中的项均为整数.
构造数列：1,2,3,6,9,18,36或数列：1,2,4,5,9,18,36,
因此这两个数列具有“和性质”,此时.
下面证明的最小值为75,
即证明不可能存在比75更小的.
假设（存在性显然,因为满足的数列只有有限个）.
第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素.
设有穷数列中元素组合的集合为A,
由（ⅰ）知：,而,
因此,,,,,所以.
第二步：证明,.
若,设.
因为,所以为了使得最小,
则在数列中一定不含有,使得,
因此.假设,根据“和性质”,
对,有,,使得.
显然,因此,
所以由有穷数列中至少有7个元素得：
集合A中至少还有4个不同于,,的元素,
因此,与矛盾,
所以,且.同理可证：.
根据“和性质”得：存在、,使得.
我们需要考虑如下几种情形：
①当,时,至少还需要一个大于等于4的,才能得到8,因此；
②当,时,至少还需要一个大于4的,才能得到7,则；
③当,时,此时为：1,2,3,6,9,18,36,因此；
④当,时,此时为：1,2,4,5,9,18,36,因此；
综上所述,的最小值为75.
（九）求数列中项数的最值
求数列中项数的最值通常把问题转化为关于n的不等式,通过解不等式或利用函数单调性求n的最值.
【例11】（2024届江苏省连云港市厉庄高级中学高三考前模拟）已知数列的前n项和为,且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)数列的每一项均为正数,,数列的前n项和为,当时,求n的最小值．
【解析】（1）当时,,
当时,,
所以,所以（常数）,
故数列是以为首项,2为公差的等差数列．
（2）由（1）知,,得
所以
,
当时,即,所以n的最小值为2024．
【例12】从中选取个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列,称数列为的子数列,当时,把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列,称数列为的子二代数列．
(1)若的子数列是首项为2,公比为2的等比数列,求的子二代数列的前8项和；
(2)若的子数列是递增数列,且子二代数列共有项,求证：是等差数列；
(3)若,求的子二代数列的项数的最大值．
【解析】（1）由题意,得,
所以数列的前8项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24,
因为,
所以数列的前8项和为86．
（2）因为是递增数列,且共有项,
所以,
所以,,,…,这个数互不相等,且都是中的项,
同理,,
所以,,,…,,这个数互不相等,
且都是中的项,
又中共有项,所以,,…,,
所以,
所以是等差数列．
（3）因为,当时,的结果共有个,
设,则,
若存在,,,使得,则,
所以,
若,设,则,
是偶数,是奇数,矛盾,
所以,,
所以的4950个结果可以互不相等,
所以的项数的最大值为4950．
【例1】已知数列满足,数列为公差为的等差数列,且满足.记,称为由数列生成的“函数”.
(1)求的值；
(2)若“1-函数”,求n的最小值；
(3)记函数,其导函数为,证明：“函数”.
附：
【解析】（1）,,公差为2,所以,
,
所以；
（2）,,公差为1,
所以,
,当时,,
而,
所以,
,
设,则,
所以关于单调递增,
所以关于单调递增,
注意到,
所以当时,均满足,
所以满足题意的n的最小值为；
（3）由题意得
由,得,
所以,所以,
所以.
【例2】设,···, 都在椭圆C：上,且构成一个公差为的等差数列（其中O是坐标原点）,记及
(1)若,求点的坐标（写出一个即可）：
(2)当公差d变化时,求的最小值.
【解析】（1）由,解得：,
因为所以,因为为公差为的等差数列,
所以,所以,
可得,
由,可得,故点的坐标可以为.
（2）原点到二次曲线上各点的最小距离为,最大距离为；
因为,故,且,
故,因为,故在上递增,
故的最小值为.
当椭圆C：,则,
所以的最小值为.
【例3】（2023届湖北省荆门市龙泉中学高三5月模拟）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议,当取得最小值时,求n的取值．
【解析】（1）因为,
当时,,
所以,
又时,不满足上式,
故数列的通项公式为.
（2）当n为奇数时,,
当,时,
因为单调递增,∴,
综上,当n为奇数时,；
当n为偶数时,,
因为单调递增,∴．
综上所述,当取得最小值时,n的取值为1,2,3．
【例4】（2024届山东省菏泽第一中学高三下学期5月月考）已知数列的前项和为,且满足,．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意的正整数恒成立,求整数的最大值．
【解析】（1）因为,
所以,
当时,,
两式相减得：,
即,,
所以,
所以,,
所以,是以为首项,以为公差得等差数列,
故．
（2）因为,
所以,
依题意,不等式为,
即,
由得对任意的正整数恒成立,
又,
所以对任意的正整数恒成立．
设,
则,
所以,
所以当时,最大,最大值为,
所以,
解得,
则整数的最大值为．
【例5】（2024届北京市中国人民大学附中高三下学期5月三模）给定正整数,设数列是的一个排列,对,表示以为首项的递增子列的最大长度,表示以为首项的递减子列的最大长度.
(1)若,,,,,求和；
(2)求证：,；
(3)求的最小值.
【解析】（1）以为首项的最长递增子列是,以为首项的最长递减子列是和.
所以,.
（2）对,由于是的一个排列,故.
若,则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个,
得到一个以为首项的更长的递增子列,所以；
而每个以为首项的递减子列都不包含,且,
故可将替换为,得到一个长度相同的递减子列,所以.
这意味着；
若,同理有,,故.
总之有,从而和不能同时为零,
故.
（3）根据小问2的证明过程知和不能同时为零,故.
情况一：当为偶数时,设,则一方面有
；
另一方面,考虑这样一个数列：,.
则对,有,.
故此时.
结合以上两方面,知的最小值是.
情况二：当为奇数时,设,则一方面有
；
另一方面,考虑这样一个数列：,.
则对,有,.
故此时.
结合以上两方面,知的最小值是.
综上,当为偶数时,的最小值是；当为奇数时,的最小值是.
【例6】（2024届江西省九江市高三第三次高考模拟）已知数列共有项,且,若满足,则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
(1)当时,写出所有满足的“约束数列”；
(2)当时,设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件,并说明理由；
(3)当时,求的最大值.
【解析】（1）当时,所有满足的“约束数列”有：
①；②；③
（2）是的充分不必要条件.理由：
①当时,.
则,
当且仅当时,成立,
“约束数列”是公差为1的等差数列
②当“约束数列”是等差数列时,由,
得,或,或,
若,则的公差为；
若,则的公差为；
若,则的公差为,
即当“约束数列”是等差数列时,或或2024.
由①②,得是的充分不必要条件.
（3）要使得取最大值,则,
当且仅当同时满足以下三个条件时,取最大值.
①当时,；②当时,；
③当时,.
.
1．（2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次学业质量抽测）已知是等差数列的前项和,,数列是公比大于1的等比数列,且,.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设,求使取得最大值时的值.
【解析】（1）设等差数列的公差为,
则,解得,
所以,
设等比数列的公比为,
则,解得,
所以；
（2）由（1）得,
则,
,
当时,,
当时,,
当时,,
所以当或时,取得最大值.
2．数列的前n项和记为,已知,．
(1)求证：是等差数列；
(2)若,,成等比数列,求的最大值．
【解析】（1）①,
当时, ②,
得：,
即,即,且.
是公差为的等差数列.
（2）由（1）知是公差为的等差数列,
,
又,,成等比数列,
,
,即,
故,解得.
,
,
二次函数的对称轴为,
,当或时取到最大值为.
故的最大值为.
3．已知等差数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为,且,令,求的最小值．
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为．
由,得,
解得：,所以．
（2）方法一：由（1）得,
由题意,
,
而,从而,
,
而关于单调递减,从而关于单调递增,
所以关于也是单调递增,
所以当时,的最小值为；
方法二：由（1）得,
由题意,
,
而,从而,
又,所以单调递增,
所以的最小值为.
4．已知数列满足．
(1)计算,猜想的通项公式并加以证明；
(2)设,求使数列取得最大值时n的值．
【解析】（1）由题意得,,猜想,
式子可化为,
因为,所以,
因此数列的通项公式为,得证．
（2）由得,,所以,
若,当且仅当成立,则,
当时,,
当时,,
故时,取最大值.
5．（2025届湖南省名校联考联合体高三上学期入学考试）给定整数,数列,且,为整数.在中去掉一项,并将剩下的数分成项数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
(1)已知数列,写出的值及的特征值；
(2)若,当,其中,且时,证明：；
(3)已知数列的特征值为,求的最小值.
【解析】（1）由题知：,
的特征值为1.
（2）由于,
①当时,根据定义可知
,
同理可得：.
所以,所以；
②当时,同理可得：
,
,
所以,所以.
综上有：.
（3）不妨设,
显然,,
,
当且仅当时取等号；
,
当且仅当时取等号；
由（2）可知的较小值为,
所以,
当且仅当时取等号,
此时数列为常数列,其特征值为0,不符合题意,
则必有.
当时,
因为.
所以.
因此
.
当时,可取到最小值,符合题意.
所以.最小值为.
6．已知数列满足,且.
(1)求证：数列是等比数列,并求出的通项公式；
(2)若,求满足条件的最大整数.
【解析】（1）因为,所以,
可得,即,
,
所以数列是以为首项为公比的等比数列,
所以,；
（2）由（1）得,
所以
,
显然是单调递增数列,
当时,,
当时,,
所以满足条件的最大整数为.
7．设数列的前n项和为,,且对于任意都有成立．
(1)写出,的值,并求数列的通项公式；
(2)若等差数列的首项,公差,求数列的前n项和的最小值．
【解析】（1）当时,,
当时,,
所以,又,
所以,所以.
（2）因为,,
所以,
因为,
所以的最小值为.
8．数列的首项,.
(1)证明是等差数列,并求的通项公式；
(2)设,
①当数列的项取得最大值时,求的值；
②求数列的前项和.
【解析】（1）解：由,可得,
所以,即
又由,可得,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,所以
则,即数列的通项公式为.
（2）解：①由（1）知,可得,
当时,所以不是最大项,
设第项（）最大,则,
可得,解得,所以数列第项和第项取得最大,
②由, ①
可得, ②
由①-②得,
,
可得,
即,
所以
.
9．设数列的前项和是,且满足,其中为实数,.
(1)求证：是等比数列.
(2)当,时,另一数列的通项公式是（其中常数是整数）,对于任意,都有成立,求整数的最小值.
(3)当,时,记集合,,将中所有元素按从小到大的顺序排列为一个新数列,求使成立的最小的的值.
【解析】（1）证：时,,作差得
即,由题,,故（且）
而时,,即也成立
由易得,故,即是以为公比的等比数列.
（2）由（1）,是以1为首项,为公比的等比数列,所以,
由题意,,则,
所以时,,单调递增；时,,单调递减,
又,只需,
即,所以整数的最小值为14.
（3）由（1）,,,故.
对于数列的项,其前面的项1,3,5,…,,共有项,,共有项,
所以为数列的项,
且.
由（项）,,,
因为,,所以,,. ,
因此所求的最小值为36.
10．（2024届四川省自贡市普高高三第三次诊断）已知数列的前项和为,且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若,,成等比数列,求的最大值．
【解析】（1）数列满足①,
当时,有②,
①②可得：,
即,
变形可得,
故数列是以为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列,
若,,成等比数列,则有,
即,解得,
所以,
所以单调递减,又当时,,当时,,当时,,
故当或时,取得最大值,
且．
11．对于数列,如果存在正整数,使得对任意,都有,那么数列就叫做周期数列,叫做这个数列的周期.若周期数列,满足：存在正整数,对每一个,都有,我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是和,求证：；
(3)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是和,求的最大值.
【解析】（1）均是周期数列,理由如下：
因为,
所以数列是周期数列,其周期为（或任意正整数）.
因为,
所以.
所以数列是周期数列,其周期为（或的正整数倍）.
（2）假设不成立,则有,即对于,都有.
因为,所以.
又因为,所以.
所以,
所以,即,与周期的最小值是矛盾.
所以.
（3）当是奇数时,首先证明不存在数列满足条件.
假设,即对于,都有.
因为,
所以,
即,及.
又时,,
所以,即,与的周期最小值是矛盾.
其次证明存在数列满足条件.
取
及,
对于,都有.
当是偶数时,首先证明时不存在数列满足条件.
假设,即对于,都有.
因为,
所以,
即,及.
又时,,
所以,即,与的周期最小值是矛盾.
其次证明时存在数列满足条件.
取
及,
对于,都有.
综上,当是奇数时,的最大值为；
当是偶数时,的最大值为.
12．（2024届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知n行n列的数表中,满足：,.若数表满足当时,总有,则称此数表为典型数表,此时记.
(1)若数表,,请直接写出M,N是否是典型数表；
(2)当时,是否存在典型数表A使得,若存在,请写出一个数表A；若不存在,请说明理由；
(3)若数表A为典型数表,求的最小值（直接写出结果,不需要证明）.
【解析】（1）M不是典型数表,N是典型数表.
因为数表,所以,
此时,
,
所以,
不满足当时,总有,
故数表不是典型数表；
因为数表,所以当时,,
,
所以,
由于数表N的数据具有对称性,所以当时,总有,
故数表N是典型数表.
（2）假设当时,存在典型数表A使得,
则需满足取得最小,即典型数表A中的“1”需要最少,
由典型数表的定义可知：当时,总有,
所以需要使得尽量多的横列和,
所以将表分成4个4×4数表,对角的两个数表数值相同,
但上下左右对称的数表数值不同,此时可保证取得最小,
而满足上述条件的典型数表A如,
此时满足取得最小,但是的最小值为32,
故不存在典型数表,使得.
（3）由（2）可知,要使取得最小,
需要尽量多的横列和或典型数表中“1”尽量少,
当为偶数时,结合（2）分析可得：的最小值为；
当为奇数时,在偶数的数表中间加上一行和一列,且在新增行列中添加个“1”,
即可满足典型数列,此时的最小值为.
13．（2024届黑龙江省部分学校高三第三次模拟）如果n项有穷数列满足,,…,,即,则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”,其中成等差数列,且,依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”,且满足,记为数列的前项和.
①若,,…,构成单调递增数列,且.当为何值时,取得最大值
②若,且,求的最小值.
【解析】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”,所以,
又因为成等差数列,其公差,…
所以数列的7项依次为1,3,5,7,5,3,1；
（2）①由,,…,是单调递增数列,数列是项数为的“对称数列”且满足,
可知,,…,构成公差为2的等差数列,,,…,构成公差为的等差数列,
故
,
所以当时,取得最大值；
②因为即,
所以即,
于是,
因为数列是“对称数列”,
所以
,
因为,故,
解得或,所以,
当,,…,构成公差为的等差数列时,满足,
且,此时,所以的最小值为2025.
14．（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列,,函数,其中,均为实数．
(1)若,,,,,
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为,求证：．
(2)若为奇函数,,,且,问：当时,是否存在整数,使得成立．若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．（附：,）
【解析】（1）（ⅰ）,,
由,
得,解得,
又,
,
,是以2为公比,2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令,则,
．
显然,当时,是递增数列,在时,单调递减,
可得,．
．
（2）为奇函数,
．
,
又,,
,．
,
由得,．
,
,
,,
在上为增函数,
当时,,；
,
．
当时,．
时,,又,
当时,,．
又,的最大值为5．
15．（2024届河南师范大学附中高三下学期最后一卷）已知数列的前项和为,若存在常数,使得对任意都成立,则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列,且,求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数,且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列,且,求的值；
②求的最小值．
【解析】（1）设等差数列的公差为,由,得,
解得,则,
于是,即,
所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质,得,又等比数列的公比为,
若,则,解得,与为任意正整数相矛盾；
当时,,而,整理得,
若,则,解得,与为任意正整数相矛盾；
若,则,当时,恒成立,满足题意；
当且时,,解得,与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由,得,即,
因此,即,
则有,
由数列各项均为正数,得,从而,即,
若,则,与为任意正整数相矛盾,
因此当时,恒成立,符合题意,
所以的最小值为4．
16．从中选取个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列,称数列为的子数列,当时,把的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列,称数列为的子二代数列．
(1)若的子数列是首项为2,公比为2的等比数列,求的子二代数列的前8项和；
(2)若的子数列是递增数列,且子二代数列共有项,求证：是等差数列；
(3)若,求的子二代数列的项数的最大值．
【解析】（1）由题意,得,
所以数列的前8项依次为：2,4,6,8,12,14,16,24,
因为,
所以数列的前8项和为86．
（2）因为是递增数列,且共有项,
所以,
所以,,,…,这个数互不相等,且都是中的项,
同理,,
所以,,,…,,这个数互不相等,
且都是中的项,
又中共有项,所以,,…,,
所以,
所以是等差数列．
（3）因为,当时,的结果共有个,
设,则,
若存在,,,使得,则,
所以,
若,设,则,
是偶数,是奇数,矛盾,
所以,,
所以的4950个结果可以互不相等,
所以的项数的最大值为4950．
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