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专题06 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题）
目录
一、导函数有效部分为一次型 1
二、导函数有效部分为类一次型 3
三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 5
角度1：最高项系数含参 5
角度2：最高项系数不含参 8
四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 12
五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 15
一、导函数有效部分为一次型
1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别得出函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，，则在上单调递减
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递增
当时，，则在上单调递减
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见详解
【优尖升-分析】（1）求出导函数，分类讨论的正负确定和的解，得单调性；
【详解】（1）由，，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
【详解】（1）依题意，，
当时，，
当时，由得，由得，
即当时函数在是减函数；
当时在是减函数，在是增函数；
4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）对求导后，令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解；
【详解】（1），
令，则，
若，则，从而，所以即在定义域内单调递增，
若，则当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
综上所述，若，在定义域内是增函数，若，在上是减函数，在上是增函数.
二、导函数有效部分为类一次型
1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【优尖升-分析】求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性.
【详解】由题意可得：函数的定义域为，，
（i）当时，恒成立，在上单调递增；
（ⅱ）当时，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【优尖升-分析】由题意可得，按和的取值分类讨论的正负即可得到的单调性；
【详解】由题意，令，得，
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
当时，
若，则，所以，
若，则，，所以；
综上，在单调递减，在单调递增.
3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【优尖升-分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；
【详解】（1），
当时，在R上单调递减；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，的增区间为；
当时，的增区间为，减区间为.
4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）函数，
当时，则在上单调递增；
当时，令，得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在单调递增．
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1），
分当时，恒成立，在上单调递减．
当时，令，得；令，得
在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
三、导函数有效部分为可因式分解的二次型
角度1：最高项系数含参
1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【优尖升-分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性；
（2）由（1）可知函数的单调性，可求函数的最小值，从而得证.
【详解】（1）由题知，函数的定义域为，
所以求导得，
若，
由得或，由得，
所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，
由得或，由得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若函数，当时，讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）先求出的导函数，分析导函数正负从而得出函数的单调性，由函数单调性可得出函数的最大值.
（2）讨论带参函数的单调性，分类讨论导数正负情况即可.
【详解】（1）当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为；
（2）由已知得，，
.
，
当时，，所以当时，单调递增；
当时， ，
所以当与时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时， ，
因而当与时，，单调递增，
当时，，单调递减.
所以，当时，在与上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在与上单调递增，在上单调递减.
3．（2024·河南郑州·二模）已知函数.
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)1
(2)见解析
【优尖升-分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；
（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.
【详解】（1）函数定义域为，，
因为是函数的极值点，
所以，解得或，
因为，所以.此时，
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.
所以.
（2）.
因为，所以，令得；令得；
∴所以时，函数的增区间为,
时函数的单调减区间为，单调增区间为.
4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性
【答案】见解析.
【优尖升-分析】
对求导后按照两根的大小及函数定义域分类讨论，由此即可得解.
【详解】
，
令得，
当即时，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
当时，；当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当即时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当，即时，
当时，；当或时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
角度2：最高项系数不含参
1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的在上的最大值和最小值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)最大值为9，最小值为
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值；
（2）求导可得，分类讨论当、、时函数对应的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，则，
令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以在上的最大值为9，最小值为.
（2），则，
令，解得或，
当即时，
，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当即时，，在R上单调递增；
当即时，
，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）求出导函数，然后根据和分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；
（2）根据（1）的结论知，令得，结合对数运算累加法即可证明.
【详解】（1）的定义域为.
，
①当时，在上单调递增；
②当时，时，在上是增函数．
时，在上是减函数，
时，是增函数.
3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间；
【详解】（1）由函数，
可得，
①若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
②若时，可得，所以在上递增，无递减区间；
③若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
④若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，①当时，增区间为，减区间为；
②当时，增区间为，无减区间；
③当时，增区间为，减区间为；
④当时，增区间为，减区间为.
4．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由；
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)不存在零点，理由见解析
(2)答案见解析
【优尖升-分析】
（1）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到恒成立，即可判断；
（2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性.
【详解】（1）当时，，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
所以恒成立，则不存在零点.
（2）函数，，
则，
①当时可知当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，
可知当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增；
③当，即时，恒成立，
所以在上单调递增；
④当，即时，
可知当时，当或时，
所以在上单调递减，在，上单调递增；
综上可得：当时的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.
四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型
1．（2024·陕西西安·二模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）借助导数对、及分类讨论即可得；
【详解】（1）的定义域为， ，
①当时，，由，得，
由，得，
当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减，
②当时，，，
当时，，的区间上单调递减，
③当时，由，得或，且.
当变化时，的变化情况如下表：
递减 递增 递减
综上所述，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上的单调递减；
当时，在区间上的单调递增，
在区间和上单调递减区间；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【优尖升-分析】
求出函数的导数，对分类讨论，由导数的正负求出函数的单调区间.
【详解】由题意知，函数的定义域为，且
①当时，因为，所以，所以.
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.
②当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.
④当时，由，解得；由，解得或.
所以在上单调递减，在，上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出的单调区间；
【详解】（1），
则，
当时，由得，得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
当时，，∴在上单调递增，
当时，令，得或；
令，得，
∴在上单调递减，在和上单调递增，
当时，令，得或；
令，得，
∴在上单调递减，在和上单调递增.
4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【优尖升-分析】（1）求出函数的导函数得到，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
令，解得或．
①当时，，则当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，，则恒成立，所以在上单调递增；
③当时，，
则当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在和上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增；
当时在和上单调递增，在上单调递减．
五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型
1．（2024·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解，
（2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解.
【详解】（1）当时，，解得
又因为，所以切线方程为：，即
（2）的定义域为，
当时，得恒成立，在单调递增
当时，令，
（i）当即时，
恒成立，在单调递增
（ii）当即时，
由得，或，
由得，
所以在，单调递增，
在单调递减
综上：当时，在单调递增；
当时，在，单调递增；
在单调递减
2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)极大值0
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）利用导数分析单调性，求出极值即可；
（2）含参数的单调性讨论，求导后分与零的大小求出导函数为零的根，再求单调区间，讨论单调性即可.
【详解】（1）当时，，
则，
令，解得（舍），，
所以当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递减函数；
所以当时为极大值，.
（2），
①当时，，恒大于零，
所以在上为单调递增函数；
②当时，导数分子恒大于零，
所以在上为单调递增函数；
③当时，导数分子为零时的两个根，
因为，
所以单增区间为，单减区间为 .
综上，当时，在上为单调递增函数；
当时，在为单调递增函数；在为单调递减函数.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
【答案】当时，在R上单调递增；当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
【优尖升-分析】
通过求出函数的导数，对其导数进行正负判断，进而求出单调区间.
【详解】
由题得，令得，
①若，即当时，恒成立，在R上单调递增；
②若，即当或时，可得的两根分别为，，
当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在R上单增；
当或时，在，上单调递增，在上单调递减．
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【优尖升-分析】
分类讨论的不同取值，利用导函数的符号判断单调性即可.
【详解】
由题意可得的定义域为，，
设，令，，
①当时，，此时恒成立，在上单调递增；
②当时，，设的两根为，
由，可知的两根都小于0，
所以在上大于0，所以在上单调递增；
③当时，，由，解得，，
由，可知的两根都大于0，
所以当时，，，在，上单调递增，
当时，，，在上单调递减.
综述所述：当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题）
目录
一、导函数有效部分为一次型 1
二、导函数有效部分为类一次型 2
三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 3
角度1：最高项系数含参 3
角度2：最高项系数不含参 4
四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 5
五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 6
一、导函数有效部分为一次型
1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数．
(1)讨论的单调性；
二、导函数有效部分为类一次型
1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性.
2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性.
3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调性；
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
三、导函数有效部分为可因式分解的二次型
角度1：最高项系数含参
1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，.
(1)若，求的最大值；
(2)若函数，当时，讨论的单调性.
3．（2024·河南郑州·二模）已知函数.
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)求函数的单调区间.
4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性
角度2：最高项系数不含参
1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的在上的最大值和最小值；
(2)讨论的单调性．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
4．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由；
(2)求函数的单调区间.
四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型
1．（2024·陕西西安·二模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；
4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．
(1)讨论的单调性；
五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型
1．（2024·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论的单调性．
2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.
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