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高二年级数学期中测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ）
A．s＞s1 B．s3.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4.某植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）
A．48种 B．36种 C．8种 D．6种
5.在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，则（ ）
A． B． C． D．1
6.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知是椭圆的左 右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数在处取得极值，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.函数的图像与直线只有一个公共点
D.对任意的
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10.已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．为定值 D．
11.如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（ ）
A．若点是平面的中心，则点到直线的距离为
B．二面角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．若是平面的中心，点是平面的中心，则面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________。
13.已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
14.若数列和满足，，，，则______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为。
（1）求切线的倾斜角的取值范围；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。
16.（15分）
如图，已知四边形为菱形，且，取中点为．现将四边形沿折起至，使得。
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）若点满足，当平面时，求的值。
17.（15分）
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知， 。
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围。
18.（17分）
已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为。
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由。
19.（17分）
某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示。将分数不低于分的学生称为“高分选手”。
（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
（参考公式：，其中）
数学试卷 第2页，共2页高二年级数学期中测试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，所以
又因为，所以，故选：A.
2.某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ）
A．s＞s1 B．s【答案】A
【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，
即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，
则，
，
若比较与的大小，只需比较与的大小即可，
而，，
所以，
从而，故选A．
3.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为奇函数在上单调递减，且，
所以在单调递减，且，
所以当或时，，当或时，，
当时，不等式等价于，
所以或，解得，
当时，不等式等价于，
所以或，解得或，
综上，不等式的解集为，故选：A
4.某植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（ ）
A．48种 B．36种 C．8种 D．6种
【答案】A
【解析】由题意知在点可先参观区域，也可先参观区域或，
每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，
所以第一步可以从个路口任选一个，有种走法，
参观完第一个区域后，选择下一步走法，有种走法，
参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有种走法，
根据分步乘法计数原理，共有种不同的参观路线，故选A。
5.在中，，，，M为BC中点，O为的内心，
且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，
则，
又，
则，
则，则，故选A．
6.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由，可得
由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在区间上是增函数，则，解之得
综上，的取值范围是故选：B
7.已知是椭圆的左 右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，抛物线的准线与轴的交点为
因为是椭圆的左 右焦点，所以
抛物线准线为直线，所以.
因为是底角为的等腰三角形，则，
则，
则 ，整理得，
所以离心率.故选A.
8.已知函数在处取得极值，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.函数的图像与直线只有一个公共点
D.对任意的
【答案】A
【解析】对于A，因为真数，
所以
所以，欲证，只需证
因为，定义域为
所以，令，解得
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，即，所以，
即，故A错误
对于B， 因为函数在处取得极值，
所以，，解得，故B正确.
即
对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根，
由上述可得在递减，在递增，
所以，故C正确
对于D，由上述得恒成立，
即恒成立，
所以当时，，即
因为
所以
且
所以，
即证，故D正确
故选:ACD.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，
所以，所以，C正确；
取，，显然满足，但，D错误，
10.已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．为定值 D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，.
对于A，，故为偶函数，A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，；
当时，，，所以，故D正确.
故选：ACD.
11.如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（ ）
A．若点是平面的中心，则点到直线的距离为
B．二面角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．若是平面的中心，点是平面的中心，则面
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
对于A，，，
，，
点到直线的距离，A正确；
对于B，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，，，
由图形可知：二面角为锐二面角，
二面角的正切值为，B正确；
对于C，平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面的一个法向量为，又，
，
即直线与平面所成的角为，C错误；
对于D，平面的法向量，，
，即，面，D正确.故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________。
【答案】
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，则，
所以抛物线的方程为.
13.已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】
，
因为函数有两个不同的极值点,
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有：，解得.
,
设,
，故在上单调递增，
故，所以.
因此的取值范围是
故答案为：；
14.若数列和满足，，，，则______。
【答案】
【解析】因为，，
所以，
即，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
又，即，所以
所以；
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为。
（1）求切线的倾斜角的取值范围；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。
解：（1）因为，则，
解得，所以，
则，故，，
，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.
（2）设曲线与过点，的切线相切于点，
则切线的斜率为，所以切线方程为
因为点，在切线上，
所以 ，即，
由题意，该方程有三解
设，则，令，解得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
故的极小值为，极大值为，
所以实数的取值范围是.
16.（15分）
如图，已知四边形为菱形，且，取中点为．现将四边形沿折起至，使得。
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）若点满足，当平面时，求的值。
证明：（1）在左图中，为等边三角形，为中点
所以，所以．
因为，
所以．
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面．
（2）设菱形的边长为2，
由（1）可知，，．
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图空间坐标系：
可得，，，．
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，令，则．
平面的法向量为．
设平面和平面夹角为，
则，所以平面和平面夹角的余弦值为．
（3）解：由，设，即，
所以，解得，所以，
所以，
因为平面，则，即，
所以．
17.（15分）
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知， 。
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围。
解：（1）∵，∴，
∴，∴，
△ABC为锐角三角形，于是．
（2）由正弦定理，可得，，
，
∴周长
，
又∵△ABC为锐角三角形，，
，∴，
∴，∴，
∴周长的取值范围为．
18.（17分）
已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为。
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由。
解：（1）双曲线的渐近线为，
又，，故其渐近线的倾斜角小于，而双曲线的两条渐近线的夹角为，
则渐近线的的倾斜角为，
则，即．
又，则．
所以双曲线的方程是．
（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，
代入，得，即．
设点，则．
设点，则
令，得，
此时．
当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．
对于点．
所以存在定点，使为定值．
19.（17分）
某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示。将分数不低于分的学生称为“高分选手”。
（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女生有人，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
（参考公式：，其中）
解：（1）由题意知，解得，
样本平均数为，
中位数为，众数为；
（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人，
随机变量的所有可能取值有、、、，
∴，，
，，
∴随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望；
（3）由题可知，样本中男生人，女生人属于“高分选手”的人，其中女生人，
得出以下列联表：
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
∴，
∴有的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关。
第2页，共2页

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