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南昌市第二次模拟考试试卷
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设 , 是两个不同的平面，则 ∥ 的一个充分条件是
A． , 平行于同一条直线 B． , 平行于同一个平面
C． , 垂直于同一个平面 D． 内有无数条直线与 平行
2．已知复数 z 满足 iz 3 4i，则 | z |
A． 2 B．2 C．5 D．7
3．已知集合 A {x || x 1| 3}，B {x | y x2 4}，则 A B
A．[2,4] B．[2, 4) C．[ 2,4) D． ( , 4)
4．在 ABC中，角 A, B ,C 的对边分别是a,b,c，若b 3，2a cosC 2c cos A 3a，则
a
4 9
A． 2 B．3 C． D．
3 2
5．如图是江西省博物馆中典藏的元青白釉印花双凤纹碗，高5.7cm，口径19cm，若将该
碗的内表面近似于一个球面的一部分， 则这个球的半径近似于
A．9.6cm
B．9.8cm
C．10.2cm
D．10.8cm
6．已知 , 终边不重合，sin 3 cos sin 3cos ，则 tan( )
3 2 4 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
7．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函
1 1 1
数 y ，“对勾”函数 y x ，“飘带”函数 y x 等等，它们的图象都能由某条双
x x x
x2 y2
曲线绕原点旋转而得.现将双曲线C1 : 12 2 绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”a b
x 1
函数 y 的图象C2 ，则双曲线C1 的离心率为
4 3 x
2 3 21 21
A． B． C． D．2 3
3 3 4
8．已知函数 f (x) 满足 f (x y) f (y) 2 f (x)，f (x) 0，且 f (1) 4，则 f (2 x) f (x)
的最小值为
A．4 B．2 2 C．8 D．4 2
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸
和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基
于 DeepSeek 的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科
学研究、社会发展中的高效益应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融
合与创新．某探究小组利用 DeepSeek 解答了 50 份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到
如下频率分布直方图，则下列说法正确的是
A．a 0.08 B．估计准确率的30％分位数为90％
C．估计准确率的平均数为90％ D．估计准确率的中位数为92.5％
10．已知 f (x) x3 ax2 bx 2，不等式 f (x) 2 的解集为{x | x 1且 x 2}，则下列
说法中正确的是
A．函数 f (x) 的极大值点为1
B．函数 f (x) 的对称中心为 ( 1, 0)
C．过点 ( 1, 0) 可作一条直线与曲线 y f (x) 相切
1
D．当 2 x 时， f (2x 1) 2
2
y2
11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C : sin x 1就是其中之一，下列选项中关于
2
曲线C的说法正确的有
A．当 x [ 8,8]时，曲线C与 x 轴有 4 个交点

B．曲线C图像关于 x 对称
2
π 7
C．当 x [0, ]时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值小于
2 2
π 1
D．当 x [0, ]时，曲线C上的一点P到原点距离的最小值大于
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2x , (x 0)
12．已知函数 f (x) ，若 f (a) 4 ，则a ________．
x 2, (x 0)
13．已知向量a (1, 2),a b 5，则 |b |的最小值是________．
14．某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特
性，每次只能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰
品，则不同的取法数有________种．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 ACC1A1 是边长为4 的正方形，BC1 2 7 ，AB 2 ，
AB BC．
（1）求证：平面 ACC A1 C11A1 平面 ABC；
（2）求二面角B AC1 C的余弦值． B1
A
C
B
16. （15 分）
已知抛物线C : y2 4x，过点D(4,0) 作斜率大于0 直线 l与曲线C 交于 A,B两点.原
点O关于 AB的对称点为记为M 点．
（1）求证：OA OB；
（2）当M 在抛物线C上时，求三角形 ABM 的面积．
17．（15 分）
为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问
答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少 2 个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；
第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4 个问
题，每答对一个得20 分，答错不得分；第一阶段答对2 个问题的选手进入低分组，共回答
4 个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是
2 1
；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是 ，若选手甲进入低分组，
3 4
1
每个问题答对的概率都是 ．
2
（1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
（2）求选手甲在该次比赛得分数为40 分的概率；
（3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为 X ，求随机
变量 X 的分布列和期望值．
18．（17 分）
已知 f (x) xax ex 1(a 1)．
（1）当a e时，求函数 f (x) 的单调区间；
（2）当a e时，求证： f (x) 0 ；
（3）当1 a e ，试讨论函数 f (x) 的零点个数．
19．（17 分）
对于共 k 项的等差数列{an}（公差不为0 ）各项重新排列得到新数列{bn}，若{bn}中
的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列{bn}是等差数列{an}的“无均
数列”．
（1）若 k 4，写出等差数列{an}（公差不为0 ）的4 个不同的“无均数列”；
（2）若 k 8，写出等差数列{an}（公差不为0 ）的一个“无均数列”；
（3）若 k 2025，判断等差数列{an}（ 公差不为0 ）的“无均数列”是否存在，并证明你的
结论．
第二次模拟考试数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A D D B C
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABD BCD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12． 2 13． 5 14．216 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】【解析】（1）因为侧面 ACC1A1 是边长为 4 的正方形，
所以CC1 AC，C1C AC 4，
因为 AB 2 ， AB BC，
则BC 2 3 ，因为 BC1 2 7 ，C1C 4，
2 2 2
所以CC1 BC BC1 ，即CC1 BC，.................................................................... 3 分
因为BC AC C，所以CC1 平面 ABC，
因为CC1 平面 ACC1A1 ，所以平面 ACC1A1 平面 ABC； ..................................... 6 分
z
（2）以 AC,AA1为 y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， A1 C1
因为 AC 4 π， AB 2 ，BC 2 3 ，所以 BAC ，
3 B1
所以 A(0, 0,0)，B( 3,1,0) ，C (0,4,4)，
1
则 AB ( 3,1,0)， AC1 (0, 4, 4)， yA
设平面 ABC1的法向量为n C 1
(x, y, z) ，
x
AB
B
n 0 3x y 0
由 ，可得 ， 令 x 1，则n1 (1, 3, 3)，
AC1 n 0 4y 4z 0
平面 ACC1的法向量为 n2 (1, 0, 0) ， ........................................................................... 10 分

n1 n 2 7所以cos n1,n2 ，
| n1 | | n 7
B
2 |
y
7即二面角B AC1 C的余弦值为 ． 13 分 7
16．【解析】（1）设 A(x1, y1),B(x2 , y2)，直线 l : x my 4 ，
x my 4 O D
x
2
联立直线与抛物线方程 得： y 4my 16 0，
y
2 4x A
1
则有 y1y2 16， x1x2
2 My1y2 16 ， ......... .... 4 分 16

OA OB x1x2 y1y2 16 ( 16) 0 ,
所以OA OB . ................................................................................................... 7 分
（2）设O关于直线 l的对称点M (x0, y0)，
x0 y m 0 4 0 2 2 8 8m
解得： x0 , y y 1 m2 0 1 1
0 m2 1
x0 m
8 8m
即M ( , )， ........................................................................................... 10 分
m2 1 m2 1
64m2 32
又因为点M 在抛物线C上，则 ，解得m 1.12 分
(m2 1)2 m2 1
2
所以 | y1 y2 | (y1 y2 ) 4y1y2 4 5 ，
1 1
所以 S MAB S OAB |OD || y1 y2 | 4 4 5 8 5 . ............................... 15 分 2 2
17．【解析】（1）选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答三个问题答对其中 2 个或 3 个，其概
率为：
2 1 2 20
p C21 3 ( )
2 ( ) ( )3 ； ..................................................................................... 4 分
3 3 3 27
（2）选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对 2 个问题；进入低分
组，答对 4 个问题.故概率为：
2 2 1 1 2 3 1 13p2 C3 ( )
2 ( )( )4 ( )3 C24 ( )
2 ( )2 ； ........................................................ 9 分
3 3 2 3 4 4 144
（3） X 的可能取值有0, 20, 40, 60,80 ，
3 81 3 1 108
P(X 0) C0 4 1 3 14 ( ) ， P(X 20) C ( ) ( ) ， 4 256 4 4 4 256
3 1 54 3 1 12
P(X 40) C2 24 ( ) ( )
2 ， P(X 60) C3 3
4 4 256 4
( )( ) ，
4 4 256
1 1
P(X 80) C44 ( )
4 ，
4 256
所以分布列为：
X 0 20 40 60 80
81 108 54 12 1
P
256 256 256 256 256
1
所以E(X ) 20 4 20 . ................................................................................. 15 分
4
18. x【解析】（1）当a e时， f (x) xe ex 1
f (x) (x 1)ex ex xex，
当 x (0, )时， f (x) 0，则 f (x) 在 (0, )为增函数；
当 x ( ,0)时， f (x) 0，则 f (x) 在 ( ,0)为减函数； ..................................... 4 分
（2）因为a e，
当 x 0 x x x x时，a e ，所以 xa xe ，
当 x 0 a x ex xax xex时， ，所以 ，
x x x x
所以 xa e 1 xe e 1，
设 (x) xex ex 1，
由（1）可知 f (x) f (0) 0，
所以不等式 f (x) 0成立. ........................................................... 9 分
（3）解法一： f
e
(x) (ln a x 1)a x ex a x ((ln a x 1) ( )x ) ，
a
e设 (x) (ln a x 1) ( )x ，此时 (0) 0，
a
e则 (x) ln a (1 ln a) ( )x
a
1 e
因为1 a e ，所以0 ln a ， 1，
2 a
则 (x)在R 为减函数， (0) 2ln a 1， .......................................................... 11 分
①当a e 时， (0) 0 ，结合 (x)在R 为减函数
当 x ( ,0)时， (x) 0， (x) 在 ( ,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0， (x) 在 (0, )为减函数；
所以 (x) (0) 0 ，所以 f (x) 0，即 f (x) 在R 上为减函数， ...................... 13 分
又因为 f (0) 0，所以 f (x) 只有一个零点；
②当1 a e 时， (0) 2ln a 1 0
所以存在 x0 0，使得 (x0 ) 0
当 x ( , x0 ) 时， (x) 0，所以 (x) 在 ( , x0 )上增函数;
当 x (x0 , ) 时， (x) 0，所以 (x) 0在 (x0 , )上减函数.
因为 (0) 0,则 (x0 ) 0 ，当 x ， (x) ，
x1 ( , x0 ) 使得 (x1) 0 ，
所以 x ( , x1) 时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 ( , x1) 为减函数；
当 x (x1,0)时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (x1,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (0, )为减函数；
当 x ， f (x) 1，又因为 f (0) 0，所以 f (x1) 0 .
所以 x2 ( , x1) 使得 f (x2 ) 0，
f (x) 在 (0, )为减函数，所以 f (x) f (0) 0，所以 f (x) 存在两个零点.
综上所述：当a e 时，函数 f (x) 有 1 个零点;当1 a e 函数 f (x) 有 2 个零点.
.................................................................. 17 分
a
解法二： f (x) (ln a x 1)a x ex ex ((ln a x 1)( )x 1)，
e
a
设 (x) (ln a x 1)( )x 1，此时 (0) 0，
e
则 2 a(x) (ln a ln a)x 2ln a 1)( )x ，
e
设 k ln a, (k 0)，所以 (x) (k 2 k)x 2k 1 a( )x ， ................................. 11 分 e
1 1 a
①当a e x时，此时 k ，则 (x) ( x)( ) ，此时 (0) 0 ，
2 4 e
当 x ( ,0)时， (x) 0， (x) 在 ( ,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0， (x) 在 (0, )为减函数；
所以 (x) (0) 0 ，所以 f (x) 0，即 f (x) 在R 上为减函数.
又因为 f (0) 0，所以 f (x) 只有一个零点； ........................................................... 13 分
1
②当1 a e ，所以0 k
2
设h(x) (k 2 k)x 2k 1 . k 2因为 k 0 ，
因为h(0) 2k 1 0 时，所以存在 x0 0，使得h(x0 ) 0
当 x ( , x0 ) 时，h(x) 0，即 (x) 0，所以 (x) 在 ( , x0 )上增函数;
当 x (x0 , ) 时，h(x) 0，即 (x) 0，所以 (x) 0在 (x0 , )上减函数.
因为 (0) 0,则 (x0 ) 0 ，当 x ， (x) ，
x1 ( , x0 ) 使得 (x1) 0 ，
所以 x ( , x1) 时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 ( , x1) 为减函数；
当 x (x1,0)时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (x1,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (0, )为减函数；
当 x ， f (x) 1，又因为 f (0) 0，所以 f (x1) 0 .
所以 x2 ( , x1) 使得 f (x2 ) 0，
f (x) 在 (0, )为减函数，所以 f (x) f (0) 0，所以 f (x) 存在两个零点.
综上所述：当a e 时，函数 f (x) 有 1 个零点;当1 a e 函数 f (x) 有 2 个零点.
.................................................................... 17 分
解法三： f (x) xelna x ex 1，设 k ln a，
则 f (x) xekx ex 1，则有 f (x) (kx 1)ekx ex ekx (kx 1 e(1 k )x ) ，
(x) kx 1 e(1 k )x，
设 (x) k (1 k)e(1 k )x .
1
因为1 a e ，所以0 k ，
2
则 (x)在R 为减函数， (0) 2k 1， ............................................................. 11 分
1
①当a e ，即 k ， (0) 0 ，结合 (x)在R 为减函数
2
当 x ( ,0)时， (x) 0， (x) 在 ( ,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0， (x) 在 (0, )为减函数；
所以 (x) (0) 0 ，所以 f (x) 0，即 f (x) 在R 上为减函数.
又因为 f (0) 0，所以 f (x) 只有一个零点； ....................................................... 13 分
②当1 a e 时， (0) 2k 1 0，
所以存在 x0 0，使得 (x0 ) 0，
当 x ( , x0 ) 时， (x) 0，所以 (x) 在 ( , x0 )上增函数;
当 x (x0 , ) 时， (x) 0，所以 (x) 0在 (x0 , )上减函数.
因为 (0) 0,则 (x0 ) 0 ，当 x ， (x) ，
x1 ( , x0 ) 使得 (x1) 0 ，
所以 x ( , x1) 时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 ( , x1) 为减函数；
当 x (x1,0)时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (x1,0)为增函数；
当 x (0, )时， (x) 0，即 f (x) 0，即 f (x) 在 (0, )为减函数；
当 x ， f (x) 1，又因为 f (0) 0，所以 f (x1) 0 .
所以 x2 ( , x1) 使得 f (x2 ) 0，
f (x) 在 (0, )为减函数，所以 f (x) f (0) 0，所以 f (x) 存在两个零点.
综上所述：当a e 时，函数 f (x) 有 1 个零点;当1 a e 函数 f (x) 有 2 个零点.
...................................................................... 17 分
19．【解析】（1）当 k 4时，存在以下“无均数列”：
a1,a3 ,a2 ,a4 ；a1,a3 ,a4 ,a2 ；a3 ,a1,a2 ,a4 ；a3 ,a1,a4 ,a2 ；
a2 ,a4 ,a1,a3 ；a2 ,a4 ,a3,a1；a4 ,a2 ,a1,a3 ；a4 ,a2 ,a3,a1，
a2 ,a1,a4 ,a3 ；a3 ,a4 ,a1,a2 ，总共 10 种（写出其中的 4 个即可）. .......................... 4 分
（2）当 k 8时，存在“无均数列”：a1,a5 ,a3 ,a7 ,a2 ,a6 ,a4 ,a8 . ............................... 8 分
m
（3）存在，先证明对 k 2 (m 2,m N) 时，存在，
①当m 2 时，由（1）知存在“无均数列”，
②假设 k 2m (m 2,m N) 时，a1,a2 ,a3 , a m 存在“无均数列”， 2
k 2m 1 m则 时，数列{an}分成 2 组：(a1,a3, ,a ) ，(a ,a2m 1 1 2 4 , ,a m 1 ) ，两组分别有22
次项，且从这两组中各任取一项，得到的两项的等差中项不是{an}的项，由假设，
数列a1,a3 ,a5 , ,a m 1 存在“无均数列”，设为b1,b2 ,b3 , ,b ， 2 1 2m
数列a2 ,a4 ,a6 , ,a m 1 存在“无均数列”，设为 c2 1,c2 ,c3 , ,c m ， 2
构造数列：b1,b2 ,b3, ,b m ,c1,c2 ,c3 , ,c m ， .......................................................... 12 分 2 2
观察 (a3 ,a7 , ,a m ) ， (a4 ,a8 , ,a m ) ，每组之间的任意两个数的平均数均不在两数位置2 1 2
之间，故只需要考虑每组内部重新排成“无均数列”，
因此数列：b1,b2 ,b3, ,b m ,c1,c2 ,c3 , ,c m ，中任意两项的等差中项均不在这两项中间.即 2 2
k 2m 1 时，数列{an}存在“无均数列”。
m
由①②可知， k 2 (m 2,m N) 时，都存在“无均数列”， ................................. 14 分
所以令m 11，即 k 2048时，存在“无均数列”，
接下来我们只需要将a2026 ,a2027 , ,a2048 项去掉，
便可得到 k 2025时，等差数列{an}存在“无均数列”.
同样注意到此时每一组是一共 8 项的等差数列，令 fn e4n 3 n 1, 2, ,8 ，故由第二
问知道，此时只需要把其分为 4 组 f1, f5 、 f3 , f7 、 f2 , f6 、 f4 , f8 这样排列就能构成“无
均“数列.
因此反复执行上述操作能把 2048 项的等差数列 an 重新排列成一个“无均“数列，
所以当 k 2025时也能重新排列成一个“无均“数列. ...................................... 17 分

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