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第二节　简谐运动的描述
1～7题每题8分，共56分
考点一　简谐运动的函数描述
1．(多选)物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3cos(100t＋) m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5cos(100t＋) m。比较A、B的运动，则(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
2．两个质点各自做简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x1＝Acos(ωt＋α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为(　　)
A．x2＝Acos(ωt＋α＋π)
B．x2＝Acos(ωt＋α－π)
C．x2＝Acos(ωt＋α－π)
D．x2＝Acos(ωt＋α＋π)
考点二　简谐运动的图像描述
3.(2023·深圳市盐田高中高二月考)某物体的x－t图像如图所示，x－t图像为余弦函数图线，则(　　)
A．0.1～0.2 s内，物体正在做加速运动
B．0.1～0.2 s内，物体位移正在减小
C．0.1～0.2 s内，物体速度方向与规定的正方向相反
D．0.1～0.2 s内，物体的加速度大小保持不变
4．(2023·广东省执信中学高二检测)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是(　　)
A．t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大
B．t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C．在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向不变
D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4·cos 50πt (m)
考点三　简谐运动的周期性与对称性
5．如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
6.(多选)如图所示，一质点在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，E、F点分别为AO和OB之间关于O点的对称点(即EO和OF的距离相等)。质点从E点向右运动经过时间t1第一次经过F点，再经过时间t2第四次经过F点。下列说法正确的是(　　)
A．质点经过E点和F点的速度一定相同
B．质点经过E点和F点的加速度大小相等
C．质点从A点第一次运动到B点的时间为t1＋t2
D．该质点的振动周期为
7.如图所示是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为(　　)
A．x＝8sin(πt＋) cm
B．x＝8sin(πt＋) cm
C．x＝8cos(πt＋π) cm
D．x＝8cos(πt＋) cm
8～10每题9分，11题17分，共44分
8．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是(　　)
A．3 s,6 cm B．4 s,6 cm
C．4 s,9 cm D．2 s,8 cm
9．(多选)(2024·广州市第十六中学期中)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．振子的位移—时间函数为x＝12cos(1.25πt－)(cm)
B．t＝0.1 s和t＝0.7 s时，振子的速度相同
C．0.2 s到0.4 s，振子的加速度逐渐减小
D．t1到t2，振子振动的时间为半个周期
10．一位游客在栈桥边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.6 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)
A．0.6 s B．0.9 s C．1.2 s D．1.8 s
11．(17分)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
(1)(5分)求弹簧振子的振动周期T。
(2)(5分)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
(3)(7分)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
第二节　简谐运动的描述
1．CD　[振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错；A、B的周期均为T＝＝ s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，即A的相位始终超前B的相位，D对。]
2．B　[由题意可知，当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处，则有在t＝0时刻，第一个质点在正方向最大位移处时，第二个质点正经平衡位置向正方向最大位移处运动，因此可知第二个质点的初相位比第一个质点的初相位迟，则第二个质点的振动方程为x2＝Acos(ωt＋α－π)，A、C、D错误，B正确。]
3．C　[0.1～0.2 s内，物体从平衡位置向负的最大位移处移动，做加速度逐渐增大的减速运动，位移沿负方向且不断增大，速度沿负方向且不断减小，速度和位移的方向皆与规定的正方向相反。故选C。]
4．A　[t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大，故A正确；t＝2×10－3 s时刻纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向，故C错误；纸盆中心做简谐运动的方程为x＝Asin ＝1.0×10－4sin 500πt (m)，故D错误。]
5．B　[由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1 s；而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b再回到b的最短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期为T＝0.8 s，由f＝，得f＝ Hz＝1.25 Hz，故选B。]
6．BD　[由对称性可知，质点经过E点和F点的速度大小一定相同，但是方向不一定相同，选项A错误；质点经过E点和F点时位移的大小相同，根据a＝－可知，加速度大小相等，选项B正确；质点从E点向右运动经过时间t1第一次经过F点，再经过时间t2第四次经过F点，设周期为T，则t2＋t1＝T，解得T＝，质点从A点第一次运动到B点的时间为t＝T＝，选项C错误，D正确。]
7．A　[简谐运动的表达式为
x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，
则x＝8sin(πt＋φ) cm，
在t＝0时，位移是4 cm，代入解得初相φ＝或φ＝，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，则所求的振动方程为x＝8sin(πt＋π) cm，故选A。]
8．B　[简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等，那么平衡位置O到B点的时间t1＝0.5 s，因过B点后再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，质点总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝＝6 cm，故选B。]
9．AD　[由题图乙可知，该振动的振幅为12 cm，周期T＝1.6 s，
所以ω＝＝1.25π rad/s，
结合振动图像可知，振子的位移—时间函数为
x＝12cos(1.25πt－)(cm)，
故A正确；由题图乙的振动图像可知，图像上某点的斜率表示该点处的瞬时速度，t＝0.1 s和t＝0.7 s时，图像中的斜率一正一负，说明两点的速度方向相反，所以速度不相同，故B错误；由题图乙可知，t＝0.2 s到t＝0.4 s时间内，振子的位移为正，正在逐渐增大，所以根据F＝－kx可知回复力逐渐增大，加速度逐渐增大，故C错误；t1和t2时刻，振子的位移关于平衡位置对称，并且速度方向相反，且时间间隔是小于一个周期的，由此可知两时刻的时间差是半个周期，故D正确。]
10．C　[把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y＝Acos t，代入数据得y＝30cos t (cm)，当y＝15 cm时，在一个周期内对应的点分别为t1＝0.6 s，t2＝3 s，所以在一个周期内，游客能舒服登船的时间是1.2 s，C正确。]
11．见解析
解析　(1)根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，
则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，
则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振动物体在4.0 s内通过的路程
s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据物体做简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ)，
A＝12.5 cm，
ω＝＝2π rad/s，φ＝0，
得x＝12.5sin 2πt cm，振动图像如图所示。第二节　简谐运动的描述
[学习目标]1.了解简谐运动的函数表达式中各量的物理意义，能根据运动情况写出简谐运动的函数表达式(重难点)。2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像(重难点)。
一、简谐运动的函数描述
1．振子振动时__________与__________关系的曲线叫振动曲线，简称x－t图线。
2．简谐运动位移－时间图像的函数表达式为x＝____________，式中A是简谐运动的__________，ω是简谐运动的__________。
3．ω与周期T或频率f的关系为：ω＝＝__________。
说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)通过简谐运动的函数描述可得出简谐运动的振幅A、周期T、频率f等物理量。
根据表达式x＝Acos(ωt＋φ)，当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ(n＝1,2,3…)，t1、t2两个时刻的位移有什么关系？ 这体现了简谐运动有什么特点？
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例1　(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1cos 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s，则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度最大
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2cos 5πt (m)，则B振动的频率比A高
例2　弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5 s，M、N相距0.8 cm，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3cos(4πt) m
B．x＝－4×10－3cos(4πt) m
C．x＝8×10－3cos(2πt) m
D．x＝4×10－3cos(2πt) m
二、简谐运动的图像描述
P、Q两振子做简谐运动的x－t函数表达式x1＝A1cos t，x2＝A2cos(t＋)，如图所示为二者的振动曲线，试思考以下问题：
(1)开始计时后，振子Q、P的位移分别在哪个时刻(在一个周期内)达到正向最大值？两者达到正向最大值的时间差是多少？
(2)二者在同一时刻振动情况相同吗？
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1．相位：位移—时间函数x＝Acos(ωt＋φ)中的__________叫作相位，而t＝0时的相位φ叫作__________，简称初相。
2．相位的意义：相位是一个表示振子处在振动周期中的__________的物理量。
说明：相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
3．相位差：相位是一个__________概念，与所取的__________有关。两个振动的相位差是个__________概念，表示两个__________相同的简谐运动的振动先后关系。
说明：频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
例3　如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题：
(1)在t＝0时刻，振子所处的位置为______点，正在向__________(选填“左”或“右”)运动。
(2)该简谐运动的周期为________ s，振幅为________ cm。
(3)在图乙中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、__________和________。
(4)在t＝2 s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向__________。(选填“相同”或“相反”)
(5)振子在前4 s内的位移等于________ cm，其路程为________ cm。
(6)该弹簧振子的位移－时间函数表达式为______________________。
由简谐运动的图像获取的信息
(1)简谐运动的周期、频率、相位、振幅。
(2)某一时刻质点的位移的大小和方向如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(3)某一时刻质点的运动方向
根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。
(4)质点的位移、速度的变化情况
①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是衡位置。若远离平衡位置，则位移越来越大，速度越来越小；若衡位置，则位移越来越小，速度越来越大。
②根据斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小，斜率为正，则速度沿所选正方向，斜率为负，则速度沿负方向。
例4　如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振动物体的位移x随时间t的变化规律如图乙所示，则由图可知(　　)
A．t＝0.2 s时，振动物体的加速度方向向右
B．t＝0.6 s时，振动物体的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐增大
D．在任意0.4 s时间内，振动物体通过的路程是10 cm
个周期内路程与振幅的关系
振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，个周期内的路程才等于一个振幅。当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在个周期内的路程大于A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在个周期内的路程小于A。
三、简谐运动的周期性与对称性
　简谐运动是一种周期性的运动，做简谐运动的物体每经过一个周期，它的位移、速度、加速度、回复力等物理量都恢复原值。在简谐运动中，各物理量在不同阶段又具有一定的对称性。如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD，请结合该简谐运动从时间、位移、速度等物理量，说一说简谐运动的对称性体现在哪些方面？
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例5　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是(　　)
A. s B. s C．1.4 s D．1.6 s
1．周期性造成多解：由于简谐运动的周期性，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
答案精析
一、
例1　CD　[由振动方程可知振幅A＝0.1 m，故A错误；由振动方程可知
ω＝2.5π rad/s，
则 T＝＝ s＝0.8 s，故B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移为零，速度最大，故C正确；由B的振动方程x＝0.2cos 5πt (m)可知ω为5π，可求出周期T′＝ s＝0.4 s，
又f＝，可求fA＝ Hz＝1.25 Hz，fB＝ Hz＝2.5 Hz，故B振动的频率比A高，故D正确。]
例2　B　[振子在M、N两点之间做简谐运动，由于M、N相距0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处，综上可得x＝－4×10－3cos(4πt) m，B正确，A、C、D错误。]
二、
例3　(1)O　右　(2)4　3　(3)B点　O点　A点　(4)相反　(5)0　12　(6)x＝3cos (t－) cm
解析　(1)由振动图像知，t＝0时，x＝0，表示振子位于平衡位置，即O点。在0～1 s内，振动位移x>0，且逐渐增大，表示t＝0时，振子正在向正方向运动，即向右运动。
(2)由题图乙知，振子的周期为4 s，振幅为3 cm。
(3)t＝1 s时，x＝3 cm，振子位于B点；在t＝2 s时，x＝0，振子位于平衡位置O点；t＝3 s时，x＝－3 cm，振子位于A点。
(4)在t＝2 s时，x－t图像的斜率为负，表示向负方向运动，即向左运动，与t＝0时速度的方向相反。
(5)在t＝4 s时，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程为
s＝3 cm×4＝12 cm。
(6)由题图乙可知弹簧振子的位移－时间表达式满足
x＝Acos (t－)，
代入数据得：x＝3cos (t－) cm。
例4　C　[t＝0.2 s时，振动物体的位置由O点向右运动到OB间的某点，振动物体受到的回复力向左，所以加速度向左，故A错误；t＝0.6 s时，由x－t图像知其斜率为负，故其速度方向与正方向相反，因此速度向左，故B错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，图中斜率绝对值逐渐增大，因此可判断振动物体运动的速度增大，所以振动物体的动能逐渐增大，故C正确；由题图乙可知振动物体的周期为1.6 s，振动物体在0.4 s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故D错误。]
三、
例5　AC　[假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝×4 s＝ s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T′＝4×(0.3＋) s＝1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。](共61张PPT)
DIYIZHANG
第二章
第二节　简谐运动的描述
1.了解简谐运动的函数表达式中各量的物理意义，能根据运动情况写出简谐运动的函数表达式(重难点)。
2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像(重难点)。
学习目标
一、简谐运动的函数描述
二、简谐运动的图像描述
课时对点练
三、简谐运动的周期性与对称性
内容索引
简谐运动的函数描述
一
1.振子振动时 与 关系的曲线叫振动曲线，简称x－t图线。
2.简谐运动位移－时间图像的函数表达式为x＝Acos(ωt＋φ)，式中A是简谐运动的 ，ω是简谐运动的 。
2πf
说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)通过简谐运动的函数描述可得出简谐运动的振幅A、周期T、频率f等物理量。
位移
时间
振幅
角频率
讨论与交流
根据表达式x＝Acos(ωt＋φ)，当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ(n＝1,2,3…)，t1、t2两个时刻的位移有什么关系？ 这体现了简谐运动有什么特点？
答案　t1、t2两个时刻的位移相同，这体现了简谐运动的周期性特点。
　(多选)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1cos 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s，则
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度最大
D.若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2cos 5πt (m)，则
B振动的频率比A高
例1
√
√
由振动方程可知振幅A＝0.1 m，故A错误；
在t＝0.2 s时，振子的位移为零，速度最大，故C正确；
　弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，周期为0.5 s，M、N相距0.8 cm，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是
A.x＝8×10－3cos(4πt) m
B.x＝－4×10－3cos(4πt) m
C.x＝8×10－3cos(2πt) m
D.x＝4×10－3cos(2πt) m
例2
√
返回
简谐运动的图像描述
二
(1)开始计时后，振子Q、P的位移分别在哪个时刻(在一个周期内)达到正向最大值？两者达到正向最大值的时间差是多少？
(2)二者在同一时刻振动情况相同吗？
1.相位：位移—时间函数x＝Acos(ωt＋φ)中的 叫作相位，而t＝0时的相位φ叫作 ，简称初相。
2.相位的意义：相位是一个表示振子处在振动周期中的 的物理量。
说明：相位ωt＋φ代表了做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的状态。它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
ωt＋φ
梳理与总结
初相位
哪个位置
3.相位差：相位是一个 概念，与所取的 有关。两个振动的相位差是个 概念，表示两个 相同的简谐运动的振动先后关系。
说明：频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
相对
时间零点
绝对
频率
　如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题：
例2
(1)在t＝0时刻，振子所处的位置为____点，正在向_____(选填“左”或“右”)运动。
O
右
由振动图像知，t＝0时，x＝0，表示振子位于平衡位置，即O点。在0～1 s内，振动位移x>0，且逐渐增大，表示t＝0时，振子正在向正方向运动，即向右运动。
(2)该简谐运动的周期为_____ s，振幅为____ cm。
4
3
由题图乙知，振子的周期为4 s，振幅为3 cm。
(3)在图乙中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、_______和______。
B点
O点
A点
t＝1 s时，x＝3 cm，振子位于B点；在t＝2 s时，x＝0，振子位于平衡位置O点；t＝3 s时，x＝－3 cm，振子位于A点。
(4)在t＝2 s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向________。(选填“相同”或“相反”)
相反
在t＝2 s时，x－t图像的斜率为负，表示向负方向运动，即向左运动，与t＝0时速度的方向相反。
(5)振子在前4 s内的位移等于____ cm，其路程为_____ cm。
0
12
在t＝4 s时，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程为s＝3 cm×
4＝12 cm。
(6)该弹簧振子的位移－时间函数表达式为____________________。
总结提升
由简谐运动的图像获取的信息
(1)简谐运动的周期、频率、相位、振幅。
(2)某一时刻质点的位移的大小和方向如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(3)某一时刻质点的运动方向
根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。
(4)质点的位移、速度的变化情况
①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是衡位置。若远离平衡位置，则位移越来越大，速度越来越小；若衡位置，则位移越来越小，速度越来越大。
②根据斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小，斜率为正，则速度沿所选正方向，斜率为负，则速度沿负方向。
　如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振动物体的位移x随时间t的变化规律如图乙所示，则由图可知
A.t＝0.2 s时，振动物体的加速度
方向向右
B.t＝0.6 s时，振动物体的速度方
向向右
C.在t＝0.4 s到t＝0.8 s时间内，振动物体的动能逐渐增大
D.在任意0.4 s时间内，振动物体通过的路程是10 cm
例4
√
t＝0.2 s时，振动物体的位置由O点向右运动到OB间的某点，振动物体受到的回复力向左，所以加速度向左，故A错误；
t＝0.6 s时，由x－t图像知其斜率为负，故其速度方向与正方向相反，因此速度向左，故B错误；
t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，图中斜率绝对值逐渐增大，因此可判断振动物体运动的速度增大，所以振动物体的动能逐渐增大，故C正确；
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简谐运动的周期性与对称性
三
简谐运动是一种周期性的运动，做简谐运动的物体每经过一个周期，它的位移、速度、加速度、回复力等物理量都恢复原值。在简谐运动中，各物理量在不同阶段又具有一定的对称性。如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD，请结合该简谐运动从时间、位移、速度等物理量，说一说简谐运动的对称性体现在哪些方面？
答案　(1)时间的对称：①来回通过相同两点间的时间相等，如tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段位移的时间相等，如tAC＝tDB、tCO＝tOD。
(2)位移的对称：①物体经过同一点时位移相同。
②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时位移大小相等，方向相反。
(3)速度的对称：①物体连续两次经过同一点(如C点)的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于平衡位置对称的两点(如C点与D点)时速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
　(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是
例5
√
√
假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为
则小球第三次通过M点还要经过的时间是t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。
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1.周期性造成多解：由于简谐运动的周期性，物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。
课时对点练
四
基础对点练
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振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，A错；
因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；
2.两个质点各自做简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x1＝Acos(ωt＋α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为
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由题意可知，当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处，则有在t＝0时刻，第一个质点在正方向最大位移处时，第二个质点正经平衡位置向正方向最大位移处运动，
3.(2023·深圳市盐田高中高二月考)某物体的x－t图像如图所示，x－t图像为余弦函数图线，则
A.0.1～0.2 s内，物体正在做加速运动
B.0.1～0.2 s内，物体位移正在减小
C.0.1～0.2 s内，物体速度方向与规定的正方向相反
D.0.1～0.2 s内，物体的加速度大小保持不变
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0.1～0.2 s内，物体从平衡位置向负的最大位移处移动，做加速度逐渐增大的减速运动，位移沿负方向且不断增大，速度沿负方向且不断减小，速度和位移的方向皆与规定的正方向相反。故选C。
4.(2023·广东省执信中学高二检测)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在。如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是
A.t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大
B.t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大
C.在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向
不变
D.纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4·cos 50πt (m)
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t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大，故A正确；t＝2×10－3 s时刻纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；
在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向，故C错误；
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考点三　简谐运动的周期性与对称性
5.如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为
A.1 Hz B.1.25 Hz
C.2 Hz D.2.5 Hz
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由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以O到b点的时间为0.1 s；而从b再回到a的最短时间为0.4 s，则从b再回到b的最短时间为0.2 s，所以从b到最大位移处的最短时间为0.1 s，
6.(多选)如图所示，一质点在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，E、F点分别为AO和OB之间关于O点的对称点(即EO和OF的距离相等)。质点从E点向右运动经过时间t1第一次经过F点，再经过时间t2第四次经过F点。下列说法正确的是
A.质点经过E点和F点的速度一定相同
B.质点经过E点和F点的加速度大小相等
C.质点从A点第一次运动到B点的时间为t1＋t2
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由对称性可知，质点经过E点和F点的速度大小一定相同，但是方向不一定相同，选项A错误；
质点从E点向右运动经过时间t1第一次经过F点，再经过时间t2第四次经过F点，
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7.如图所示是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为
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简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，
则x＝8sin(πt＋φ) cm，在t＝0时，位移是4 cm，
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，
8.一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s；质点通过B点后再经过1 s又第二次通过B点。在这2 s内质点通过的总路程为12 cm，则质点的振动周期和振幅分别是
A.3 s,6 cm B.4 s,6 cm
C.4 s,9 cm D.2 s,8 cm
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能力综合练
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简谐运动的质点先后以相同的速度通过A、B两点，则可判定A、B两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O的时间与由O到B的时间相等，那么平衡位置O到B点的时间t1＝0.5 s，因过B点后再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则有从B点到最大位移处的时间t2＝0.5 s，因此，质点振动的周期是T＝4×(t1＋t2)＝4 s，质点总路程的一半即为振幅，
9.(多选)(2024·广州市第十六中学期中)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是
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B.t＝0.1 s和t＝0.7 s时，振子的
速度相同
C.0.2 s到0.4 s，振子的加速度逐渐减小
D.t1到t2，振子振动的时间为半个周期
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由题图乙的振动图像可知，图像上某点的斜率表示该点处的瞬时速度，t＝0.1 s和t＝0.7 s时，图像中的斜率一正一负，说明两点的速度方向相反，所以速度不相同，故B错误；
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由题图乙可知，t＝0.2 s到t＝0.4 s时间内，振子的位移为正，正在逐渐增大，所以根据F＝－kx可知回复力逐渐增大，加速度逐渐增大，故C错误；
t1和t2时刻，振子的位移关于平衡位置对称，并且速度方向相反，且时间间隔是小于一个周期的，由此可知两时刻的时间差是半个周期，故D正确。
10.一位游客在栈桥边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为30 cm，周期为3.6 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过15 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是
A.0.6 s B.0.9 s C.1.2 s D.1.8 s
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11.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
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答案　见解析
(1)求弹簧振子的振动周期T。
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根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
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答案　见解析
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
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答案　见解析
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根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)，
得x＝12.5sin 2πt cm，振动图像如图所示。
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