资源简介

第一节　简谐运动
第1课时　认识简谐运动
1～7题每题8分，共56分
考点一　弹簧振子
1．(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是(　　)
A．做机械振动的物体必有一个平衡位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
考点二　简谐振动的回复力
2．下列关于简谐振动回复力的说法正确的是(　　)
A．回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B．回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．简谐运动公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
3．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　)
4.一个振动，如果回复力与偏离平衡位置的位移成正比而且方向与位移相反，就能判定它是简谐振动。请你据此证明：图中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球的运动是简谐振动。
考点三　简谐运动及其图像
5．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。若振子位于N点时开始计时，则其“位移－时间”图像为(　　)
6．(多选)轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定，它们组成了一个振动系统，称为竖直弹簧振子，如图甲所示。用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动。如图乙所示的照片是通过频闪照相得到的，频闪仪每隔0.05 s闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置。拍摄时底片从左往右匀速运动，因此在底片上留下了小球一系列的像，下列说法正确的是(　　)
A．钢球原来静止时的位置就是振子的平衡位置
B．释放钢球的初始位置就是振子的平衡位置
C．忽略空气阻力，以地面为参考系，可以将钢球的运动看作是简谐运动
D．忽略空气阻力，以底片为参考系，可以将钢球的运动看作是简谐运动
7.(2024·江门市忠源纪念中学高二期中)如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在AB间振动。设AB＝20 cm，振子由A到B时间为0.1 s，振子质量为m，重力加速度为g，k为劲度系数，则下列说法正确的是(　　)
A．振子的振幅为20 cm，周期为0.2 s
B．振子在A、B两处受到的回复力分别为kΔx＋mg与kΔx－mg
C．振子在A、B两处受到的回复力大小都是kΔx
D．振子一次全振动通过的路程是20 cm
8～10题每题9分，共27分
8.如图所示，在上、下两个轻弹簧的共同作用下，振子在竖直方向上做往复运动，忽略一切阻力，下列说法正确的是(　　)
A．振子做简谐运动
B．上、下两个弹簧的弹力均不可能为零
C．上面弹簧的弹力一定大于下面弹簧的弹力
D．振子运动到最高点时，上面弹簧的弹力最小，下面弹簧的弹力最大
9.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力跟位移之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
10．(多选)(2023·茂名市电海中学月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内振子的“位移－时间”图像如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B．振子在C点和D点的回复力相同
C．t＝0.3 s时，振子的速度方向为竖直向上
D．振子在1 s内通过的路程为6 cm
11．(17分)一质量为m、侧面积为S的正方体木块，静止在水面上(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
(1)(6分)试分析木块上下振动的回复力的来源；
(2)(11分)试证明该木块的振动是简谐振动。
第1课时　认识简谐运动
1．AB　[物体在平衡位置附近的往复运动叫机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向振动物体所在位置的有向线段，位移随时间改变，振动物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，而路程越大，位移不一定越大，故B正确，C、D错误。]
2．B　[回复力是做简谐振动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；物体做简谐振动时，回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧的长度，D错误。]
3．C　[由简谐振动的回复力公式F＝－kx可知，C正确。]
4．见解析
解析　小球静止时受到重力、斜面的支持力和弹簧的拉力三个力的作用。平衡时弹簧伸长了x0，则mgsin θ＝kx0，弹簧拉长后，设离开平衡位置的位移为x，规定x方向为正方向，则弹簧的拉力F′＝－k(x0＋x)，小球沿斜面方向所受的合力即为小球受到的回复力，且F＝F′＋mgsin θ＝－k(x0＋x)＋kx0＝－kx。这个力与偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，因此小球的运动是简谐振动。
5．A　[开始计时时振子位于正向最大位移处向负方向做简谐运动，振动图像为余弦函数图像，故A项正确。]
6．AC　[钢球的平衡位置是弹力和重力相平衡的位置，也就是静止时所处的位置，钢球在释放的初始位置时，合力不为零，此位置不是平衡位置，选项A正确，B错误；
忽略空气阻力，以地面为参考系，可以将钢球在竖直方向上的运动看作是简谐运动；而以底片为参考系时，钢球还参与水平方向的匀速直线运动，则钢球的运动不是简谐运动，选项C正确，D错误。]
7．C　[A、B间距离为20 cm，故振幅为10 cm，选项A错误；根据回复力公式可知在A、B两处受到的回复力大小都为kΔx，B错误，C正确；振子完成一次全振动经过的路程为
s＝4 A＝40 cm，D错误。]
8．A　[振子受重力和弹簧弹力，振子在平衡位置重力与弹簧弹力平衡，合力为零；则振子在平衡位置上方的合力方向向下，偏离平衡位置的位移Δx方向向上，二者的大小关系符合胡克定律，则有F合＝－kΔx，同理，振子在平衡位置下方时合力与偏离平衡位置的位移关系同上，故振子做简谐运动，故A正确；由于弹簧原长未知，所以振动过程中，上、下弹簧弹力都有等于零的可能性，比如振子在平衡位置时，上方弹簧伸长，下方弹簧是原长，下方弹簧的弹力为零，如果在平衡位置时，下方弹簧压缩，上方弹簧是原长，则上方弹簧的弹力为零，故B、C错误；同上，因为上、下弹簧的原长未知，所以振子运动到最高点时，无法判断上、下弹簧的弹力是最大还是最小，故D错误。]
9．AD　[物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的，故A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的摩擦力的合力提供的，故B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力跟位移之比为－k，故C错误；当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为xmax，以整体为研究对象有：kxmax＝(M＋m)a，以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma，联立解得xmax＝，故D正确。]
10．CD　[振子在O点受到的合力等于零，弹簧弹力与其自身重力平衡，故A错误；由简谐运动的对称性可知，振子在C点和D点的回复力大小相同，方向相反，故B错误；由题图乙可知，t＝0.3 s时，振子处于由D点向O点运动过程，其速度方向为竖直向上，故C正确；由题图乙可知，周期T＝2.0 s，经过1 s即半个周期，振子通过的路程为s＝2A＝6 cm，故D正确。]
11．(1)木块所受重力和浮力的合力　(2)见解析
解析　(1)木块上下振动的回复力是木块所受重力和浮力的合力。
(2)证明：以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块被压入水中x后，撤去外力瞬间木块的受力
如图所示，则F合＝mg－F浮①
又F浮＝ρgS(Δx＋x)②
联立①②式可得
F合＝mg－ρgS(Δx＋x)
＝mg－ρgSΔx－ρgSx
又由木块静止时，
有mg＝ρgSΔx，
所以F合＝－ρgSx
即F＝－kx(k＝ρgS)
所以木块的振动是简谐振动。第一节　简谐运动
第1课时　认识简谐运动
[学习目标]　1.了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型，理解弹簧振子的平衡位置(重点)。2.理解回复力的概念，掌握回复力公式，知道回复力在机械振动中的特征(重难点)。3.理解简谐运动的概念和特点，知道简谐运动的图像特征，能用简谐运动的图像获取描述简谐运动的特征物理量(重点)。
一、弹簧振子
如图所示的装置，把小球向右拉到B点后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
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1．机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的________运动叫作机械振动，简称振动。
2．弹簧振子：小球和__________组成的系统，其中的小球称为__________。
条件：(1)小球和水平杆之间的摩擦可以__________；
(2)小球可以看作质点。
说明：弹簧振子是一种理想化模型，弹簧为轻质弹簧(可认为质量集中于小球)，不计摩擦和空气等阻力，小球从平衡位置被拉开的距离在弹性限度内。
1．弹簧振子一定都在水平方向振动吗？试举例说明。
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2．弹簧振子的平衡位置一定在弹簧的原长位置吗？
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(1)乒乓球在地面上的上下运动是一种机械振动。(　　　)
(2)弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。(　　　)
(3)机械振动是匀变速直线运动。(　　　)
(4)平衡位置即为速度为零的位置。(　　　)
例1　(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，开始时，系统静止，如图所示。用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长的位置
C．在小球速度最大的位置
D．在小球原来静止的位置
对平衡位置的理解
(1)弹簧振子不振动时，小球静止的位置。
①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。
②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的弹力与重力平衡时的位置。
③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。
(2)振动过程中合力为零，小球的速度最大的位置。
二、简谐振动的回复力
如图所示为水平方向的弹簧振子模型。
(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
(2)使振子回到平衡位置的力与振子偏离平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
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1．回复力
(1)定义：使振子能返回__________的力。
(2)方向：总是指向__________，跟振子偏离平衡位置的位移方向__________。
(3)表达式：F＝__________，其中x表示振子偏离__________位置的位移，“－”表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向__________。
2．简谐振动
物体在跟平衡位置的位移大小成________，并且总指向平衡位置的__________的作用下的振动叫作简谐振动。
1．在劲度系数为k、原长为L0且固定于一点的轻质弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐振动吗？如果是，什么力充当回复力？
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2．回复力是性质力还是效果力？结合如图所示三个实例中质量为m的物体做简谐振动的情况进行分析。
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3．简谐振动的回复力公式F＝－kx中的k就是弹簧的劲度系数吗？
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(1)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　　　)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　　　)
例2　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
例3　(多选)如图所示，物体系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，现向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是(　　)
A．物体做简谐振动，OC＝OB
B．物体做简谐振动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
三、振子的“位移—时间”图像　简谐运动
如图甲所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。
请思考：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
(3)图乙为振子振动时位移与时间的图像，试分析t1和t2时刻振子分别位于哪个位置？该图像有什么特点？是否描述的是振子运动的轨迹？
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1．全振动：如图所示，点O为振子的平衡位置，先将振子由平衡位置O拉到点B，从释放振子开始计时，振子开始振动。振子经历B→O→B′→O→B路径的一个完整振动过程叫作一次全振动。
2．弹簧振子的位移—时间图像，如图所示。
3．简谐运动：振子一直在__________附近振动，每个全振动中偏离平衡位置的最大距离和需要的时间都__________，振子的位移－时间函数为______________函数，我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动。
4．描述简谐运动的物理量
(1)振幅：物体振动时离开平衡位置的__________距离。
说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。
②一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
(2)周期：物体完成一次__________所需要的时间，用T表示。
(3)频率：物体在一段时间内____________与所用时间之比，用f表示。
(4)周期和频率的关系为f＝__________。
1．做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
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2．同一个振动系统，弹簧振子的振动周期与振幅有关吗？
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例4　如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则(　　)
A．从O→B→O小球做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
例5　(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点在t＝3 s时处于平衡位置
C．t＝3 s时，质点的振幅为零
D．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
答案精析
一、
易错辨析
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
例1　CD　[平衡位置是振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置，可知在该位置小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，即小球原来静止的位置是小球的平衡位置，故选项D正确，A、B错误；当小球在振动过程中经过平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。]
二、
易错辨析
(1)×　(2)×
例2　AD　[弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与小球偏离平衡位置的位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。]
例3　AD　[以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐振动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确。]
三、
例4　C　[小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝AB＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝1 T，所以小球通过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。]
例5　BD　[由题图知质点做简谐运动的振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，始终不变，t＝3 s时，质点的位移为零处于平衡位置，但振幅仍为2 cm，故B正确，C错误；0～3 s内质点通过的路程为
s＝3A＝6 cm，故D正确。](共63张PPT)
DIYIZHANG
第二章
第1课时　认识简谐运动
1.了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型，理解弹簧振子的平衡位置(重点)。
2.理解回复力的概念，掌握回复力公式，知道回复力在机械振动中的特征(重难点)。
3.理解简谐运动的概念和特点，知道简谐运动的图像特征，能用简谐运动的图像获取描述简谐运动的特征物理量(重点)。
学习目标
一、弹簧振子
二、简谐振动的回复力
课时对点练
三、振子的“位移—时间”图像　简谐运动
内容索引
弹簧振子
一
如图所示的装置，把小球向右拉到B点后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终
停止运动？
答案　小球的运动具有往复性。小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
答案　小球往复运动的次数增多，运动时间变长。
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案　小球将持续地在A、B间做往复运动。
1.机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的 运动叫作机械振动，简称振动。
2.弹簧振子：小球和 组成的系统，其中的小球称为 。
条件：(1)小球和水平杆之间的摩擦可以 ；
(2)小球可以看作质点。
说明：弹簧振子是一种理想化模型，弹簧为轻质弹簧(可认为质量集中于小球)，不计摩擦和空气等阻力，小球从平衡位置被拉开的距离在弹性限度内。
梳理与总结
往复
弹簧
振子
忽略不计
讨论与交流
1.弹簧振子一定都在水平方向振动吗？试举例说明。
答案　弹簧振子不一定都是水平放置的，例如竖直悬挂的弹簧振子、光滑斜面上的弹簧振子等。
2.弹簧振子的平衡位置一定在弹簧的原长位置吗？
答案　不一定。如图所示，用手把小球向上托起一段距离，然后释放，小球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。
(1)乒乓球在地面上的上下运动是一种机械振动。(　　)
(2)弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。(　　)
(3)机械振动是匀变速直线运动。(　　)
(4)平衡位置即为速度为零的位置。(　　)
√
×
×
×
　(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，开始时，系统静止，如图所示。用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长的位置
C.在小球速度最大的位置
D.在小球原来静止的位置
例1
√
√
平衡位置是振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置，可知在该位置小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，即小球原来静止的位置是小球的平衡位置，故选项D正确，A、B错误；
当小球在振动过程中经过平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。
总结提升
对平衡位置的理解
(1)弹簧振子不振动时，小球静止的位置。
①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。
②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的弹力与重力平衡时的位置。
③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。
(2)振动过程中合力为零，小球的速度最大的位置。
返回
简谐振动的回复力
二
如图所示为水平方向的弹簧振子模型。
(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
答案　弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
(2)使振子回到平衡位置的力与振子偏离平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案　弹簧弹力与振子偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1.回复力
(1)定义：使振子能返回 的力。
(2)方向：总是指向 ，跟振子偏离平衡位置的位移方向 。
(3)表达式：F＝ ，其中x表示振子偏离 位置的位移，“－”表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向 。
2.简谐振动
物体在跟平衡位置的位移大小成 ，并且总指向平衡位置的 的作用下的振动叫作简谐振动。
平衡位置
梳理与总结
平衡位置
相反
－kx
平衡
相反
正比
回复力
1.在劲度系数为k、原长为L0且固定于一点的轻质弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐振动吗？如果是，什么力充当回复力？
讨论与交流
答案　是简谐振动。规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg＝kx0，小球在c点受到的弹力大小为F′＝k(x＋x0)，小球在c点的回复力F＝mg－F′＝mg－k(x＋x0)＝mg－kx－kx0＝－kx，回复力满足F＝－kx，是简谐振动。弹簧弹力和重力的合力充当回复力。
2.回复力是性质力还是效果力？结合如图所示三个实例中质量为m的物体做简谐振动的情况进行分析。
答案　回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如题图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如题图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如题图丙所示，在光滑地面上质量为m的物体随质量为M的滑块一起振动，物体的回复力由滑块对物体的静摩擦力提供。
3.简谐振动的回复力公式F＝－kx中的k就是弹簧的劲度系数吗？
答案　简谐振动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。
(1)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　　)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　　)
×
×
　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力
的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
例2
√
√
弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；
回复力与小球偏离平衡位置的位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；
回复力总是指向平衡位置，故D正确。
　(多选)如图所示，物体系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，现向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是
A.物体做简谐振动，OC＝OB
B.物体做简谐振动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx
D.回复力F＝－3kx
例3
√
√
以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受合力：F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，因此物体做简谐振动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确。
返回
振子的“位移—时间”图像　简谐运动
三
如图甲所示，在弹簧振子的小球上固定安置一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。
请思考：(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
答案　轨迹是一条平行于运动方向的直线。
(2)振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
答案　轨迹是一条正弦曲线。
(3)图乙为振子振动时位移与时间的图像，试分析t1和t2时刻振子分别位于哪个位置？该图像有什么特点？是否描述的是振子运动的轨迹？
答案　t1时刻振子位于正向最大位移处，t2时刻振子位于平衡位置；振子的位移与时间的图像是正弦函数图像；它反映了振子位移随时间的变化关系，并不是振子的运动轨迹。
1.全振动：如图所示，点O为振子的平衡位置，先将振子由平衡位置O拉到点B，从释放振子开始计时，振子开始振动。振子经历B→O→B′→O→B路径的一个完整振动过程叫作一次全振动。
梳理与总结
2.弹簧振子的位移—时间图像，如图所示。
3.简谐运动：振子一直在 附近振动，每个全振动中偏离平衡位置的最大距离和需要的时间都 ，振子的位移－时间函数为______
__________函数，我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动。
平衡位置
不变
正弦
或者余弦
4.描述简谐运动的物理量
(1)振幅：物体振动时离开平衡位置的 距离。
说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。
②一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
(2)周期：物体完成一次 所需要的时间，用T表示。
(3)频率：物体在一段时间内 与所用时间之比，用f表示。
(4)周期和频率的关系为f＝____。
最大
全振动
全振动的次数
讨论与交流
1.做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
答案　无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A(A为振幅)。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A(A为振幅)。
2.同一个振动系统，弹簧振子的振动周期与振幅有关吗？
答案　一个振动系统的周期有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。
　如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则
A.从O→B→O小球做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
例4
√
小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；
从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。
　(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点在t＝3 s时处于平衡位置
C.t＝3 s时，质点的振幅为零
D.0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
例5
√
√
由题图知质点做简谐运动的振幅为2 cm，周期
为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；
振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，始终不
变，t＝3 s时，质点的位移为零处于平衡位置，
但振幅仍为2 cm，故B正确，C错误；
0～3 s内质点通过的路程为s＝3A＝6 cm，故D正确。
返回
课时对点练
四
考点一　弹簧振子
1.(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是
A.做机械振动的物体必有一个平衡位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
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基础对点练
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物体在平衡位置附近的往复运动叫机械振动，故A正确；
机械振动的位移是以平衡位置为起点指向振动物体所在位置的有向线段，位移随时间改变，振动物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，而路程越大，位移不一定越大，故B正确，C、D错误。
考点二　简谐振动的回复力
2.下列关于简谐振动回复力的说法正确的是
A.回复力是使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.简谐运动公式F＝－kx中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
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回复力是做简谐振动的物体所受到的指向平衡位置的力，不一定是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，A错误，B正确；
回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体偏离平衡位置的位移方向相反，C错误；
物体做简谐振动时，回复力为F＝－kx，k是比例系数，x是物体相对平衡位置的位移，不是弹簧的长度，D错误。
3.对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是
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由简谐振动的回复力公式F＝－kx可知，C正确。
4.一个振动，如果回复力与偏离平衡位置的位移成正比而且方向与位移相反，就能判定它是简谐振动。请你据此证明：图中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，
小球的运动是简谐振动。
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答案　见解析
小球静止时受到重力、斜面的支持力和弹簧的拉力三个力的作用。平衡时弹簧伸长了x0，则mgsin θ＝kx0，弹簧拉长后，设离开平衡位置的位移为x，规
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定x方向为正方向，则弹簧的拉力F′＝－k(x0＋x)，小球沿斜面方向所受的合力即为小球受到的回复力，且F＝F′＋mgsin θ＝－k(x0＋x)＋kx0＝－kx。这个力与偏离平衡位置的位移成正比且方向相反，因此小球的运动是简谐振动。
考点三　简谐运动及其图像
5.如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。若振子位于N点时开始计时，则其“位移－时间”图像为
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开始计时时振子位于正向最大位移处向负方向做简谐运动，振动图像为余弦函数图像，故A项正确。
6.(多选)轻质弹簧的下端悬挂一个钢球，上端固定，它们组成了一个振动系统，称为竖直弹簧振子，如图甲所示。用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动。如图乙所示的照片是通过频闪照相得到的，频闪仪每隔0.05 s闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置。拍摄时底片从左往右匀速运动，因此在底片上留下了小球一系列的像，下列说法正确的是
A.钢球原来静止时的位置就是振子的平衡位置
B.释放钢球的初始位置就是振子的平衡位置
C.忽略空气阻力，以地面为参考系，可以将钢
球的运动看作是简谐运动
D.忽略空气阻力，以底片为参考系，可以将钢球的运动看作是简谐运动
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钢球的平衡位置是弹力和重力相平衡的位置，也就是静止时所处的位置，钢球在释放的初始位置时，合力不为零，此位置不是平衡位置，选项A正确，B错误；
忽略空气阻力，以地面为参考系，可以将钢球在竖直方向上的运动看作是简谐运动；而以底片为参考系时，钢球还参与水平方向的匀速直线运动，则钢球的运动不是简谐运动，选项C正确，D错误。
7.(2024·江门市忠源纪念中学高二期中)如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在AB间振动。设AB＝20 cm，振子由A到B时间为0.1 s，振子质量为m，重力加速度为g，k为劲度系数，则下列说法正确的是
A.振子的振幅为20 cm，周期为0.2 s
B.振子在A、B两处受到的回复力分别为kΔx＋mg与
kΔx－mg
C.振子在A、B两处受到的回复力大小都是kΔx
D.振子一次全振动通过的路程是20 cm
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A、B间距离为20 cm，故振幅为10 cm，选项A错误；
根据回复力公式可知在A、B两处受到的回复力大小都为kΔx，B错误，C正确；
振子完成一次全振动经过的路程为s＝4 A＝40 cm，D错误。
8.如图所示，在上、下两个轻弹簧的共同作用下，振子在竖直方向上做往复运动，忽略一切阻力，下列说法正确的是
A.振子做简谐运动
B.上、下两个弹簧的弹力均不可能为零
C.上面弹簧的弹力一定大于下面弹簧的弹力
D.振子运动到最高点时，上面弹簧的弹力最小，下面弹簧
的弹力最大
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能力综合练
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振子受重力和弹簧弹力，振子在平衡位置重力与弹簧弹力平衡，合力为零；则振子在平衡位置上方的合力方向向下，偏离平衡位置的位移Δx方向向上，二者的大小关系符合胡克定律，则有F合＝－kΔx，同理，振子在平衡位置下方时合力与偏离平衡位置的位移关系同上，故振子做简谐运动，故A正确；
由于弹簧原长未知，所以振动过程中，上、下弹簧弹力都有等于零的可能性，比如振子在平衡位置时，上方弹簧伸长，下方弹簧是原长，下方弹簧的弹力为零，如果在平衡位置时，下方弹簧压缩，上方弹簧是原长，则上方弹簧的弹力为零，故B、C错误；
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同上，因为上、下弹簧的原长未知，所以振子运动到最高点时，无法判断上、下弹簧的弹力是最大还是最小，故D错误。
9.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是
A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C.物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力跟位移之比为k
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物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A
的摩擦力提供的，故A正确；
滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的摩擦力的合力提供的，故B错误；
物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力满足F＝－kx，则回复力跟位移之比为－k，故C错误；
10.(多选)(2023·茂名市电海中学月考)如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内振子的“位移－时间”图像如图乙所示，下列说法正确的是
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A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B.振子在C点和D点的回复力相同
C.t＝0.3 s时，振子的速度方向为竖直向上
D.振子在1 s内通过的路程为6 cm
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振子在O点受到的合力等于零，弹簧弹力与其自身重力平衡，故A错误；
由简谐运动的对称性可知，振子在C点
和D点的回复力大小相同，方向相反，故B错误；
由题图乙可知，t＝0.3 s时，振子处于由D点向O点运动过程，其速度方向为竖直向上，故C正确；
由题图乙可知，周期T＝2.0 s，经过1 s即半个周期，振子通过的路程为s＝2A＝6 cm，故D正确。
11.一质量为m、侧面积为S的正方体木块，静止在水面上(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸入)撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
(1)试分析木块上下振动的回复力的来源；
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答案　木块所受重力和浮力的合力　
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木块上下振动的回复力是木块所受重力和浮力的合力。
(2)试证明该木块的振动是简谐振动。
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答案　见解析
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证明：以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块被压入水中x后，撤去外力瞬间木块的受力
如图所示，则F合＝mg－F浮 ①
又F浮＝ρgS(Δx＋x) ②
联立①②式可得
F合＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx
又由木块静止时，
有mg＝ρgSΔx，
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所以F合＝－ρgSx
即F＝－kx(k＝ρgS)
所以木块的振动是简谐振动。
返回第2课时　简谐运动的各物理量分析
1～7题每题8分，共56分
考点一　简谐运动的能量特征
1．(2024·肇庆市香山中学高二期中)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最大，势能最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，总能量最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
2．(多选)如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B．振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
3.弹簧振子的位移—时间图像如图所示。在2～3 s的时间内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是(　　)
A．Ek变小，Ep变大 B．Ek变大，Ep变小
C．Ek、Ep均变小 D．Ek、Ep均变大
4.如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，则(　　)
A．振子速度最大时，振动系统的势能为零
B．振子速度最大时，振子的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C．振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
考点二　简谐运动中各物理量的变化
5．关于质点做简谐运动的说法正确的是(　　)
A．在某一时刻，它的速度与加速度的方向相同，与位移的方向相反
B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C．在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D．在某一段时间内，它的动能减小，加速度的大小也减小
6．如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置，细杆水平。则振子(　　)
A．从B向O运动过程中动能一直减小
B．从O向C运动过程中加速度一直减小
C．从B经过O向C运动过程中速度一直增大
D．从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大
7．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　)
A．质点0时刻开始是从平衡位置沿x轴正方向运动的
B．2 s末速度最大，沿x轴的负方向
C．3 s末加速度最大，沿x轴负方向
D．质点在4 s内的路程是零
8～11题每题8分，共32分
8.(2023·佛山市高二期末)如图所示为一款玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧及底部组成，弹簧质量不计，开始弹簧小人静止在桌面上，现轻压头部后由静止释放，小人开始上下振动，头部上升至最高点时，底部不离开桌面，不计阻力，该过程可近似为简谐运动，下列判断中正确的是(　　)
A．头部上升的时间比下降的时间短
B．头部上升过程速度先变大再变小
C．头部上升过程中所受合力越来越小
D．头部处于平衡位置时弹簧弹性势能最小
9．(2023·青岛市高二期末)一弹簧振子振幅为A，从最大位移处经过时间t0第一次到达平衡位置，若振子从平衡位置处经过时间时的加速度大小和动能分别为a1和E1，而振子位移为时的加速度大小和动能分别为a2和E2，则a1、a2和E1、E2的大小关系为(　　)
A．a1>a2，E1a2，E1>E2
C．a1E2
10．(多选)如图所示，物体A置于物体B上，一轻弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B在光滑水平面上往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止，则下列说法正确的是(　　)
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力对B做负功
11.(2024·东莞市阶段训练)如图所示，一轻质弹簧左端固定，右端与小滑块a相连，初始时刻小滑块a静止在光滑的水平面上的O点，质量相等的滑块b紧靠a的右侧，在外力作用下将两滑块推至M点，由静止释放两滑块，a运动至N点速度为0，下列说法正确的是(　　)
A．ON＝OM
B．滑块a、b在O点右侧某位置分离
C．滑块a还可以再次回到M点
D．滑块a从M至O的时间大于从O至N
　(12分)
12．将一轻质弹簧一端固定在地面上竖直放置，原长为2L。不用考虑弹簧倾倒情形发生。将一质量为m的小球A刚好与弹簧上端接触由静止释放，小球运动到最低点时距地面高度为L。现移走A球，将另一质量为的小球B放在该弹簧上端并不与弹簧粘连，在外力作用下将小球B向下压至距地面L高度处，再由静止释放小球B。以上各情形中小球均可看作质点，不计空气阻力，弹簧均在弹性限度范围以内，重力加速度为g。则以下说法正确的是(　　)
A．小球A、B由静止释放后均做简谐运动
B．小球A的最大动能为mgL
C．小球B运动至地面高度L处时动能最大
D．小球B运动距地面的最大高度为4L
第2课时　简谐运动的各物理量分析
1．A　[小球在平衡位置时动能最大，势能最小，A正确；小球在A、B位置时，动能最小，整个振动过程中，总能量不变，B、D错误；小球衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误。]
2．CD　[振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不相等，A错；振子从最低点向最高点运动过程中，弹簧弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能一直是拉伸状态，弹力做正功，也可能弹簧先是拉伸状态，弹力做正功，后是压缩状态，弹力做负功，B错；振子运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供，且运动过程中，系统的机械能守恒，C、D对。]
3．B　[由题图可知，在2～3 s的时间内，振子由负向最大位移处运动至平衡位置，故振子的速度变大，则动能Ek变大，根据机械能守恒可知，势能Ep变小，故选B。]
4．C　[振子在平衡位置时的速度最大，此时振子的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，振子的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，则振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变，振动系统的机械能守恒，D错误；振子在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小，C正确。]
5．A　[回复力与位移方向总是相反，速度与加速度可能同向也可能反向，所以在某一时刻，质点的速度与加速度的方向相同，与位移的方向相反，A正确，B错误；做简谐运动的质点，衡位置时，回复力的大小减小，而速度增大，动能增大；远离平衡位置时，回复力的大小增大，速度减小，动能减小，C错误；某一段时间内，它的动能减小，正在远离平衡位置，所以位移的大小在增大，回复力的大小在增大，加速度的大小在增大，D错误。]
6．D　[因O点是平衡位置，则从B向O运动过程中速度一直增大，动能一直增大，选项A错误；从O向C运动过程中，离开平衡位置的位移增大，回复力增大，则加速度增大，选项B错误；在平衡位置O时速度最大，则从B经过O向C运动过程中速度先增大后减小，选项C错误；在O点时弹性势能最小，则从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大，选项D正确。]
7．AB　[由题图可知，质点0时刻开始是从平衡位置沿x轴正方向运动的，A正确；2 s末质点回到平衡位置，速度最大，方向沿x轴的负方向，B正确；3 s末质点到达负的最大位移处，加速度最大，沿x轴正方向，C错误；质点在4 s内完成一次全振动，路程是4A，即8 cm，D错误。]
8．B　[因头部上下振动可近似为简谐运动，可知头部上升的时间等于下降的时间，选项A错误；根据简谐运动的规律可知，头部上升过程速度先变大再变小，选项B正确；头部上升过程中回复力先减小后增加，回复力由合力提供则，所受合力先减小后增加，选项C错误；头部处于平衡位置时，弹簧形变量不为零，且该位置弹簧形变量不是最小的，则此时弹簧弹性势能不是最小，选项D错误。]
9．A　[振子从平衡位置向最大位移处运动时，振子做减速运动，并且加速度增大，所以经过时间通过的位移大于，所以a1>a2，E110．AB　[物体A、B保持相对静止，在轻质弹簧的作用下做简谐运动，A正确；
对A、B整体由牛顿第二定律
kx＝(mA＋mB)a
对A由牛顿第二定律f＝mAa
解得f＝x，B正确；
在衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做正功，在远离平衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做负功，同理A对B的摩擦力也做功，衡位置时做负功，远离平衡位置时做正功，C、D错误。]
11．D　[由于a、b向右运动至O处速度最大，此后a减速至N，b匀速向右运动，a、b在O处分离。当a运动至N点速度为0时，a在O处的动能全部转化成弹簧的弹性势能，小于在M处时的弹性势能，所以ONt2，故D正确。]
12．D　[小球A由静止释放后到达最低点，然后恰能上升至原来的位置，然后再次向下运动，做简谐运动；而小球B从距地面L高度处由静止释放后，到达原长位置时小球将脱离弹簧做竖直上抛运动，则小球B的运动不是简谐运动，选项A错误；
由题意可知，小球A在下降时处于平衡位置，此时动能最大，由能量守恒定律有mg＝Ek＋E弹
可知小球A的最大动能小于mgL，选项B错误；
小球A的平衡位置满足mg＝k
小球B的动能最大处弹簧形变量满足g＝kL′，可得L′＝，即此时距离地面L，离地面高度L处小球B的动能不是最大，选项C错误；
设小球B从距地面L高度处释放能上升的最大高度为h，则由能量守恒可知mgL＝gh
解得h＝3L
即小球B运动距地面的最大高度为4L，选项D正确。]第2课时　简谐运动的各物理量分析
[学习目标]1.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。2.会用动力学的观点分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。
一、简谐运动的能量特征
如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动，O为平衡位置。
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统机械能的大小与什么因素有关？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量如何变化？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
在简谐运动中，振动系统的机械能________，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种__________的模型。
说明：简谐运动的能量是指在振子经过某一位置时系统具有的势能和动能之和，在振动过程中势能和动能相互转化。
如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
(1)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大。(　　　)
(2)同一简谐运动中的能量由平衡位置的速度决定，若经过平衡位置的速度大小不变，则振动系统的能量不变。(　　　)
例1　如图所示为一水平弹簧振子，振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)同一振动系统简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和__________相互转化，总机械能________(选填“守恒”或“不守恒”)。
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是________。
A．振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面，且物体和振子无相对滑动，下列说法正确的是________。
A．振幅不变
B．振幅减小
C．系统最大动能不变
D．系统最大动能减小
简谐运动的能量特征
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅共同决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
2．在简谐运动中，振动系统的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。振子的位移减小，势能转化为动能；位移增大，动能转化为势能。
例2　(多选)在光滑固定斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　　)
A．OB越长，振动能量越大(始终在弹簧弹性限度内)
B．在振动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
二、简谐运动中各物理量的变化
如图所示，讨论弹簧振子中小球偏离平衡位置的位移x、回复力F 及加速度a、速度v、动能Ek、 势能Ep遵循的变化规律，完成下表。(大小变化选填“增大”“减小”“最大”“0”或“不变”，方向选填“向左”或“向右”)
A A→O O O→B B
x
F(a)
v
Ek
Ep
在光滑水平杆上振子的振动过程中
1．在平衡位置处：振子离开平衡位置的距离为________，所受回复力为________，加速度为________，速度的大小__________，动能__________，弹簧的弹性势能__________。
2．在最大振幅处：振子离开平衡位置的距离________，所受回复力的大小__________，加速度的大小__________，速度为零，动能为________，弹簧的弹性势能__________。
说明：①简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。②位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
3．振子在振动过程中离开平衡位置的距离、加速度、速度、动能、弹性势能等在每个周期里完全重复，这样的运动叫作____________。
(1)当做简谐运动的物体的速度变化最快时，其动能最大。(　　　)
(2)当做简谐运动的物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小。(　　　)
(3)在做简谐运动的物体的动能相等的两个时刻，其加速度一定相同。(　　　)
例3　如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其位移—时间的图像如图乙所示，由图像可知(　　)
A．在t＝t1时刻，振子的速度最大
B．振子在t1到t2时间内加速度不断减小
C．在t＝0时刻，振子所受的回复力最大
D．振子在t2时刻动能最大
例4　如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的位移—时间图像，由图可知下列说法中正确的是(　　)
A．在t＝0.2 s时，振子的加速度为正向最大
B．在t＝0.4 s与t＝0.8 s两个时刻，振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s时间内，振子做加速度增大的减速运动
D．在t＝0.4 s到t＝0.6 s时间内，振子的动能增大，势能减小
例5　(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)<，如图所示，则(　　)
A．t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B．在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C．在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小
D．在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
答案精析
一、
易错辨析
(1)×　(2)×
例1　(1)振幅　弹性势能　守恒
(2)ABD　(3)AC
解析　(1)同一振动系统简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，即动能与弹性势能之和保持不变，所以C错误，D正确。
(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上物体，系统的总能量即为此时弹簧的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以系统最大动能不变，选项C正确，D错误。
例2　AC　[做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，振动能量越大，A正确；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处势能最小，C正确，D错误。]
二、
易错辨析
(1)×　(2)×　(3)×
例3　A　[在t＝t1时刻，振子处于平衡位置，速度最大，故A正确；在t1到t2时间内，振子从平衡位置到最大位移过程中回复力不断增大，加速度也不断增大，故B错误；在t＝0时刻，振子处于平衡位置，所受的回复力为零，故C错误；在t2时刻振子处于最大位移处，速度为零，动能为零，故D错误。]
例4　C　[在t＝0.2 s时，振子的位移为正向最大，根据a＝－可知，加速度为负向最大，故A错误；由题图乙可知在t＝0.4 s与t＝0.8 s两个时刻，振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；根据前面选项的分析，同理可知，从t＝0到t＝0.2 s时间内，振子做加速度增大的减速运动，故C正确；在t＝0.4 s到t＝0.6 s时间内，振子向负向最大位移处运动，动能减小，势能增大，故D错误。]
例5　ABC　[由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确；在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确；在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动过程中弹簧振子的机械能守恒，D错误。](共58张PPT)
DIYIZHANG
第二章
第2课时　简谐运动的各物理量分析
1.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。
2.会用动力学的观点分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。
学习目标
一、简谐运动的能量特征
二、简谐运动中各物理量的变化
课时对点练
内容索引
简谐运动的能量特征
一
如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动，O为平衡位置。
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？
弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是
否变化？
答案　振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。
(2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统机械能的大小与什么因素有关？
答案　振子回到平衡位置的动能增大；振动系统的机械能增大；振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量如何变化？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
答案　实际的振动系统，能量逐渐减小；理想化的弹簧振动系统，能量没有损失。
在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。
说明：简谐运动的能量是指在振子经过某一位置时系统具有的势能和动能之和，在振动过程中势能和动能相互转化。
梳理与总结
守恒
理想化
讨论与交流
如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
答案　不变，在M点时，系统的动能为零，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的弹性势能不变，总能量不变，最大动能也不发生变化。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？
答案　变小，在O点时弹簧弹性势能为零，振动系统
的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能也将减小。
(1)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大。(　　)
(2)同一简谐运动中的能量由平衡位置的速度决定，若经过平衡位置的速度大小不变，则振动系统的能量不变。(　　)
×
×
　如图所示为一水平弹簧振子，振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
例1
(1)同一振动系统简谐运动的能量取决于______，振子振动时动能和__________相互转化，总机械能________(选填“守恒”或“不守恒”)。
振幅
弹性势能
守恒
同一振动系统简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是_____。
A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
ABD
振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速
度达到最大，动能最大，弹性势能最小，所以A
正确；
在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，所以B正确；
振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，故机械能守恒，即动能与弹性势能之和保持不变，所以C错误，D正确。
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面，且物体和振子无相对滑动，下列说法正确的是______。
A.振幅不变
B.振幅减小
C.系统最大动能不变
D.系统最大动能减小
AC
振子运动到B点时速度恰为零，此时放上物体，
系统的总能量即为此时弹簧的弹性势能，由于
简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；
由于机械能守恒，所以系统最大动能不变，选项C正确，D错误。
总结提升
简谐运动的能量特征
1.简谐运动的能量由振动系统和振幅共同决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
2.在简谐运动中，振动系统的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有机械能损耗，它将永不停息地振动下去。
3.在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。振子的位移减小，势能转化为动能；位移增大，动能转化为势能。
　(多选)在光滑固定斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是
A.OB越长，振动能量越大(始终在弹簧弹性限度内)
B.在振动过程中，物块A的机械能守恒
C.物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在
C点时最大，当物块A在O点时最小
D.物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A
在B点时最小
例2
√
√
做简谐运动的物体的能量跟振幅有关，对确定的
振动系统，振幅越大，振动能量越大，A正确；
在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重
力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；
在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处势能最小，C正确，D错误。
返回
简谐运动中各物理量的变化
二
如图所示，讨论弹簧振子中小球偏离平衡位置的位移x、回复力F 及加速度a、速度v、动能Ek、 势能Ep遵循的变化规律，完成下表。(大小变化选填“增大”“减小”“最大”“0”或“不变”，方向选填“向左”或“向右”)
A A→O O O→B B
x
F(a)
v
Ek
Ep
答案　
A A→O O O→B B
x 向左，最大 向左，减小 0 向右，增大 向右，最大
F(a) 向右，最大 向右，减小 0 向左，增大 向左，最大
v 0 向右，增大 向右，最大 向右，减小 0
Ek 0 增大 最大 减小 0
Ep 最大 减小 0 增大 最大
在光滑水平杆上振子的振动过程中
1.在平衡位置处：振子离开平衡位置的距离为 ，所受回复力为 ，加速度为 ，速度的大小 ，动能 ，弹簧的弹性势能 。
2.在最大振幅处：振子离开平衡位置的距离 ，所受回复力的大小_____，加速度的大小 ，速度为零，动能为 ，弹簧的弹性势能______。
说明：①简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。②位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
梳理与总结
零
零
最大
最大
零
为零
最大
最大
最大
零
最大
3.振子在振动过程中离开平衡位置的距离、加速度、速度、动能、弹性势能等在每个周期里完全重复，这样的运动叫作 。
周期性往复运动
(1)当做简谐运动的物体的速度变化最快时，其动能最大。(　　)
(2)当做简谐运动的物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小。
(　　)
(3)在做简谐运动的物体的动能相等的两个时刻，其加速度一定相同。
(　　)
×
×
×
　如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其位移—时间的图像如图乙所示，由图像可知
A.在t＝t1时刻，振子的速度最大
B.振子在t1到t2时间内加速度不断减小
C.在t＝0时刻，振子所受的回复力最大
D.振子在t2时刻动能最大
例3
√
在t＝t1时刻，振子处于平衡位置，速度最大，故A正确；
在t1到t2时间内，振子从平衡位置到最大位移过程中回复力不断增大，加速度也不断增大，故B错误；
在t＝0时刻，振子处于平衡位置，所受的回复力为零，故C错误；
在t2时刻振子处于最大位移处，速度为零，动能为零，故D错误。
　如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的位移—时间图像，由图可知下列说法中正确的是
A.在t＝0.2 s时，振子的加速度为正
向最大
B.在t＝0.4 s与t＝0.8 s两个时刻，振
子的速度相同
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，振子做加速度增大的减速运动
D.在t＝0.4 s到t＝0.6 s时间内，振子的动能增大，势能减小
例4
√
由题图乙可知在t＝0.4 s与t＝0.8 s两个时刻，振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；
根据前面选项的分析，同理可知，从t＝0到t＝0.2 s时间内，振子做加速度增大的减速运动，故C正确；
在t＝0.4 s到t＝0.6 s时间内，振子向负向最大位移处运动，动能减小，势能增大，故D错误。
　(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2－t1)< ，如图所示，则
A.t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相
等、方向相反
B.在t1～t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C.在t1～t2时间内，小球的动能先增大后减小
D.在t1～t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
例5
√
√
√
由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方
向相反，A正确；
在t1～t2时间内回复力先减小后增大，所以小球
的加速度先减小后增大，B正确；
在t1～t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确；简谐运动过程中弹簧振子的机械能守恒，D错误。
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课时对点练
三
考点一　简谐运动的能量特征
1.(2024·肇庆市香山中学高二期中)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，平衡位置为O，小球在A、B间振动，如图所示。下列结论正确的是
A.小球在O位置时，动能最大，势能最小
B.小球在A、B位置时，动能最大，总能量最大
C.小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D.小球在O位置时系统的总能量大于小球在B位置时系统的总能量
1
2
3
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5
6
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9
10
基础对点练
√
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3
4
5
6
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8
9
10
小球在平衡位置时动能最大，势能最小，A正确；
小球在A、B位置时，动能最小，整个振动过程中，总能量不变，B、D错误；
小球衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置时，回复力做负功，C错误。
11
12
2.(多选)如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是
A.振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B.振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D.振子在运动过程中，系统的机械能守恒
√
1
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3
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√
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1
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振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置出现在
关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不相等，
A错；
振子从最低点向最高点运动过程中，弹簧弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能一直是拉伸状态，弹力做正功，也可能弹簧先是拉伸状态，弹力做正功，后是压缩状态，弹力做负功，B错；
振子运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供，且运动过程中，系统的机械能守恒，C、D对。
11
12
3.弹簧振子的位移—时间图像如图所示。在2～3 s的时间内，振子的动能Ek和势能Ep的变化情况是
A.Ek变小，Ep变大 B.Ek变大，Ep变小
C.Ek、Ep均变小 D.Ek、Ep均变大
1
2
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10
√
由题图可知，在2～3 s的时间内，振子由负向最大位移处运动至平衡位置，故振子的速度变大，则动能Ek变大，根据机械能守恒可知，势能Ep变小，故选B。
11
12
4.如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，则
A.振子速度最大时，振动系统的势能为零
B.振子速度最大时，振子的重力势能与弹簧的弹性势能相等
C.振子经平衡位置时，振动系统的势能最小
D.弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒
1
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10
√
11
12
振子在平衡位置时的速度最大，此时振子的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零，振子的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误；
因为只有重力和弹簧弹力做功，则振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变，振动系统的机械能守恒，D错误；
1
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3
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10
振子在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小，C正确。
11
12
考点二　简谐运动中各物理量的变化
5.关于质点做简谐运动的说法正确的是
A.在某一时刻，它的速度与加速度的方向相同，与位移的方向相反
B.在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C.在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D.在某一段时间内，它的动能减小，加速度的大小也减小
1
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√
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12
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
回复力与位移方向总是相反，速度与加速度可能同向也可能反向，所以在某一时刻，质点的速度与加速度的方向相同，与位移的方向相反，A正确，B错误；
做简谐运动的质点，衡位置时，回复力的大小减小，而速度增大，动能增大；远离平衡位置时，回复力的大小增大，速度减小，动能减小，C错误；
某一段时间内，它的动能减小，正在远离平衡位置，所以位移的大小在增大，回复力的大小在增大，加速度的大小在增大，D错误。
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6.如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置，细杆水平。则振子
A.从B向O运动过程中动能一直减小
B.从O向C运动过程中加速度一直减小
C.从B经过O向C运动过程中速度一直增大
D.从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大
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因O点是平衡位置，则从B向O运动过程中速度
一直增大，动能一直增大，选项A错误；
从O向C运动过程中，离开平衡位置的位移增大，回复力增大，则加速度增大，选项B错误；
在平衡位置O时速度最大，则从B经过O向C运动过程中速度先增大后减小，选项C错误；
在O点时弹性势能最小，则从C经过O向B运动过程中弹性势能先减小后增大，选项D正确。
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7.(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法中正确的是
A.质点0时刻开始是从平衡位置沿x轴正方向运动的
B.2 s末速度最大，沿x轴的负方向
C.3 s末加速度最大，沿x轴负方向
D.质点在4 s内的路程是零
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由题图可知，质点0时刻开始是从平衡位置沿x轴正方向运动的，A正确；
2 s末质点回到平衡位置，速度最大，方向沿x轴的负方向，B正确；
3 s末质点到达负的最大位移处，加速度最大，沿x轴正方向，C错误；
质点在4 s内完成一次全振动，路程是4A，即8 cm，D错误。
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8.(2023·佛山市高二期末)如图所示为一款玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧及底部组成，弹簧质量不计，开始弹簧小人静止在桌面上，现轻压头部后由静止释放，小人开始上下振动，头部上升至最高点时，底部不离开桌面，不计阻力，该过程可近似为简谐运动，下列判断中正确的是
A.头部上升的时间比下降的时间短
B.头部上升过程速度先变大再变小
C.头部上升过程中所受合力越来越小
D.头部处于平衡位置时弹簧弹性势能最小
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因头部上下振动可近似为简谐运动，可知头部上升的时间等于下降的时间，选项A错误；
根据简谐运动的规律可知，头部上升过程速度先变大再变小，选项B正确；
头部上升过程中回复力先减小后增加，回复力由合力提供则，所受合力先减小后增加，选项C错误；
头部处于平衡位置时，弹簧形变量不为零，且该位置弹簧形变量不是最小的，则此时弹簧弹性势能不是最小，选项D错误。
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10.(多选)如图所示，物体A置于物体B上，一轻弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B在光滑水平面上往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止，则下列说法正确的是
A.A和B均做简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D.B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力对B做负功
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物体A、B保持相对静止，在轻质弹簧的作用下做简谐运动，A正确；
对A、B整体由牛顿第二定律kx＝(mA＋mB)a
对A由牛顿第二定律f＝mAa
在衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做正功，在远离平衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做负功，同理A对B的摩擦力也做功，衡位置时做负功，远离平衡位置时做正功，C、D错误。
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11.(2024·东莞市阶段训练)如图所示，一轻质弹簧左端固定，右端与小滑块a相连，初始时刻小滑块a静止在光滑的水平面上的O点，质量相等的滑块b紧靠a的右侧，在外力作用下将两滑块推至M点，由静止释放两滑块，a运动至N点速度为0，下列说法正确的是
A.ON＝OM
B.滑块a、b在O点右侧某位置分离
C.滑块a还可以再次回到M点
D.滑块a从M至O的时间大于从O至N
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由于a、b向右运动至O处速度最大，此后a减速至N，b匀速向右运动，a、b在O处分离。当a运动至
N点速度为0时，a在O处的动能全部转化成弹簧的弹性势能，小于在M处时的弹性势能，所以ON11
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12.将一轻质弹簧一端固定在地面上竖直放置，原长为2L。不用考虑弹簧倾倒情形发生。将一质量为m的小球A刚好与弹簧上端接触由静止释放，小球运动到最低点时距地面高度为L。现移走A球，将另一质量为 的小球B放在该弹簧上端并不与弹簧粘连，在外力作用下将小球B向下压至距地面L高度处，再由静止释放小球B。以上各情形中小球均可看作质点，不计空气阻力，弹簧均在弹性限度范围以内，重力加速度为g。则以下说法正确的是
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小球A由静止释放后到达最低点，然后恰能上升至原来的位置，然后再次向下运动，做简谐运动；而小球B从距地面L高度处由静止释放后，到达原长位置时小球将脱离弹簧做竖直上抛运动，则小球B的运动不是简谐运动，选项A错误；
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设小球B从距地面L高度处释放能上升的最大高度为h，
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解得h＝3L
即小球B运动距地面的最大高度为4L，选项D正确。
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