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2025年山东省淄博市中考数学模拟试卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（ ）

A． B． C． D．
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．截至2025年3月15日，国产电影《哪吒2》票房达到人民币150.66亿元，全球影史票房排名第五，票房的成功是对中国传统文化的一次有力宣扬，是中国动画电影的骄傲．将150.66亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线相交于点O，射线平分，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．一组数，，，，，若将每个数都加，下列不会改变的量是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
6．如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
7．如图，在正方形中，E是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F，若，则长为（ ）．
A． B．1 C． D．
8．如图，在矩形中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点F；再以B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为30，则k的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程与所用的时间的函数关系如图所示，则下列说法①比赛全程1500米，②2分时甲、乙相距300米，③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点，④3分35秒时乙追上甲，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
11．计算： ．
12．如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
13．分解因式： ．
14．如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接．若，则的长为 ．
15．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，则 ．
三、解答题（共8题90分）
16．计算：．
17．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）计算：．
18．如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．
(1)在旋转过程中，
①当，，三点在同一直线上时，的长为 ；
②当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长；
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点，转到其内的点处，即满足，连接，如图②，此时，求的长．
19．北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
甲班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89
乙班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81
【整理数据】两组数据各分数段，如表所示：
成绩
甲班 1 5 3 1
乙班 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 72和79 51.8
乙班 80 80
【问题解决】
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由；
(3)按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共87人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数．
20．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标．
22．综合与实践
【经典再现】
人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到．
【类比探究】
（2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）；
【综合应用】
（3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长．
23．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，当时，求直线的表达式；
(3)请判断：是否有最大值，如有请求出最大值以及点P的坐标，如没有请说明理由．
参考答案
1．【考点】正负数的定义、有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算．
由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式．
解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图表示的过程是：，
故选：A．
2．【考点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
3．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
解：150.66亿．
故选：C．
4．【考点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查角平分线的定义、邻补角，根据邻补角定义求得，再根据角平分线的定义求解即可．
解：∵直线相交于点O，，
∴，
∵射线平分，
∴，
故选：B．
5．【考点】求中位数、求方差、求一组数据的平均数、求众数
【分析】本题考查平均数，众数，中位数和方差，熟练掌握相关定义及其计算方法是解题的关键．利用平均数，众数，中位数和方差的相关定义及其意义即可求解
解：对于一组数，，，，，若将每个数都加，
则平均数、中位数和众数都加，且这组数据的波动幅度不会发生变化，
因为方差是这组数据的波动程度，是每个数据与平均数之差的平方的平均值，
则方差不会改变，
故选：A．
6．【考点】用计算器求锐角三角函数值、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到，进行判断即可．
解：由题意，得：在中，，，
∴；
计算器的按键为 ；
故选A．
7．【考点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理与判定及相似三角形的性质与判定；熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点F作于点H，由题意易得，然后可得，则有是等腰直角三角形，，进而可得，最后问题可求解．
解：过点F作于点H，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∵E是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
8．【考点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键．
过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长．
如图，过点F作于Q
．
∵，，
∴．
根据题意可知为的平分线，，
∴，，
，
∴．
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9．【考点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质等考点，明确题意、灵活利用数形结合的思想解答是解题的关键．
根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质求出k的值即可．
解：设点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为，
∵点D是的中，
∴点D的坐标为，
∵菱形的面积为30，
∴， 即
∵点D在抛物线上，
∴，即，
∴将代入可得：，解得：．
故选B．
10．【考点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键．
①由函数图象可以得；②根据图象列式计算即可得出结论；③由函数图象可以得答案；④设t分钟后乙追上甲，列出方程，即可求解．
解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确；
②甲的速度米/分，
∴分时甲、乙相距为米，故②正确；
③由函数图象可以得；乙比甲领先秒到达终点，故③错误；
④设t分钟后乙追上甲，则，解得：分钟，
即乙追上甲用分钟分钟40秒，故④错误．
故选：B．
11．【考点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式和二次根式化简，二次根式计算等．根据题意利用完全平方公式展开计算，再将化简后合并同类项即可．
解：，
故答案为：．
12．【考点】用勾股定理解三角形、坐标与图形综合、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了学生对平行四边形的性质、勾股定理和坐标与图象性质的理解和掌握，根据四边形是平行四边形，可求出C点的横坐标，再利用勾股定理求出的长，然后即可得出点C的坐标．此题难度不大，属于基础题．
解：∵点A的坐标为,点B的坐标为,
∴，
∴,
∴,
∴,点C在第二象 限,
∴点C的坐标为.
故答案为： ．
13．【考点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
解：，
故答案为：．
14．【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等边对等角、根据正方形的性质证明
【分析】连接，先证明，得出，从而得出，根据三角形的内角和定理得出，则有为等腰直角三角形，最后根据勾股定理求出结果即可．
解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
故本题答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握考点的应用及正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
15．【考点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关考点是解题的关键．过点、分别作轴的垂线，垂足为点、，通过证明得到，再根据得到，得出，再由反比例函数的性质可知，，列出方程即可求出的值．
解：如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为点、，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，即，
，
，
，
，
在中，，
，
点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
，，
，
解得：．
故答案为：．
16．【考点】化简绝对值、实数的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，化简绝对值，再进行二次根式的混合运算．
解：
17．【考点】实数的混合运算、分式化简求值、分母有理化、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，分母有理化，求特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键：
（1）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可；
（2）先分母有理化，求特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可．
解：（1）
，
当时，原式；
（2）
．
18．【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键．
（1）①分两种情况，由线段的和差关系求解即可；
②分两种情况，由勾股定理求解即可；
（2）由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长，利用“”证明，可得．
（1）解：①由题意可得：
当点在线段的延长线上时，，
当点在线段上时，，
综上所述，或，
故答案为：或；
②若为斜边时，则，
若为斜边时，则，
综上所述，或，
故答案为：或；
（2）解：如图，连接，
由旋转可得：，，
，
，
，
在中，由勾股定理可得，
由为等腰直角三角形可得：，，
，即，
，
，
．
19．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、求方差、求中位数、根据方差判断稳定性
【分析】（1）根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可；
（2）根据方差越小成绩越整齐进行求解即可；
（3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案．
（1）将甲班成绩从低到高排列为：69，72，72，78，79，79，85，86，89，91，
处在第5名和第6名的成绩分别为79，79，
∴甲班的中位数，
乙班的平均数，
乙班的方差，
故答案为：79；80；26.4；
（2）乙班的竞赛成绩更加整齐，理由如下：
∵甲班的方差为51.8，乙班的方差为26.4，，
∴乙班的竞赛成绩更加整齐；
（3）（人），
∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为43人．
【点评】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体，掌握相应的定义是解题的关键．
20．【考点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键．
（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得．
（1）解：设商城每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：商城每次降价的百分率为．
（2）解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，利润最大，为250元，
答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元．
21．【考点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案；
（2）联立，即可求解；
（3）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案．
（1）解：将点代入一次函数，
，
故，
将代入反比例函数，
得，
∴这个反比例函数的表达式；
（2）解：联立，
解得：或，
可知；
（3）解：设，且，交x轴于点M，如图；
，
，
，
解得，
点P的坐标为或．
22．【考点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论；
（2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解；
（3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解．
解：（1）如图1，

取的中点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2，

在上截取，连接，
∵E时的中点，
∴，
不妨设，则，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴；
（3）如图3，

∵，
∴可设，，则，
延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得，，
∴，（舍去），
∴．
【点评】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．【考点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形
【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；
（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；
（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可．
（1）解：由题意可得：
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）设与y轴交于点E，
当二次函数的表达式为中时，，
∴,,
∵轴，
，
，
，
，
，设，
则，，
在中，由勾股定理得，
解得，
，
设所在直线表达式为
解得
∴直线的表达式为．
（3）设与交于点N．
过B作y轴的平行线与相交于点M．
由A、C两点坐标分别为，
由待定系数法可得所在直线表达式为
∴M点坐标为，
∵，
∴，
设，则
，
∴当时，有最大值0.8，
此时P点坐标为．
【点评】本题考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等考点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．
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