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福建省2025年中考数学模拟训练卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，数轴上点在数表示的点的左侧，则点表示的数可能是（ ）
A． B． C．0.5 D．1.5
2．当今国际形势风云交错，面对国外对我国芯片领域的技术制裁，中芯国际科研团队成功突破14纳米光刻技术形成量产．1纳米是十亿分之一米，那么14纳米用科学记数可表示为（ ）米
A． B． C． D．
3．砚与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣5a=2a B．2ab﹣3ab=﹣ab C．a3﹣a2=a D．2a+3b=5ab
5．已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查结果如图所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
7．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　）
①点与点关于点对称；②；③；④．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．某项工作，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，已知甲先做天，然后甲、乙合作完成此项工作．若设甲一共做了天，则所列方程是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．如图，点在正六边形的对角线上移动，以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点．若，则的长可以是（ ）
A． B． C． D．
填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．在足球比赛中如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失4个球，记作 个．
12．一个扇形统计图中，某部分占总体的三分之一，该部分所对应的扇形圆心角为 ．
13．不等式组的解集是 ．
14．如图，内接于，是的切线，连接经过点，若，则的度数为 ．
15．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为 ．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在中，，点，在边上，．求证：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：
平均数 众数 中位数
A学校 85.5 80 n
B学校 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）；
(3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．
21．（8分）如图，为的直径，点C和点D是上的两点，连接，，交的延长线于点E．求证：是的切线；
22．（10分）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
23．（10分）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦．
(1)现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？
(2)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了．
①哪种小麦的单位面积产量高？
②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）；
(3)一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？
24．（12分）阅读下列材料，完成相应任务．
面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”．
例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”．
操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径．
在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）；
深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？
情形1：特例研究
已知等边三角形的边长为2，
当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________．
当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________．
情形2：一般研究
①当面径经过三角形的一个顶点时．
已知：如图3，已知．
求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积．
小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）；
②当面径不经过三角形的顶点时．
已知：如图4，已知．
求作：直线m，使直线m平分的面积．
小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求）
25．（14分）把矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点分别为．
【知识技能】（1）如图1，当点落在上时，连接．判断的形状并证明．
【数学理解】（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，延长交于点，求证：．
【拓展探索】（3）如图3，当点落在上时，连接交于点．若，请求出的长．中小学教育资源及组卷应用平台
福建省2025年中考数学模拟训练卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，数轴上点在数表示的点的左侧，则点表示的数可能是（ ）
A． B． C．0.5 D．1.5
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为点P在数表示的点的左侧，
所以点P表示的数比小，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
2．当今国际形势风云交错，面对国外对我国芯片领域的技术制裁，中芯国际科研团队成功突破14纳米光刻技术形成量产．1纳米是十亿分之一米，那么14纳米用科学记数可表示为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：14纳米用科学记数法表示为米，故B正确．
故选：B．
3．砚与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，该砚台的俯视图是一个正方形中用一个圆（不与正方形的边相邻），
故选：C．
4．下列运算中结果正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项的法则的应用与同类项的判断，注意合并后各项系数和为结果的系数，而字母与字母指数不变是解题关键．根据同类项的合并法则把系数相加即可求出答案．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
5．已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．
【详解】解：设该三角形第三边的长是，
∴，
∴，
∴该三角形第三边的长不可能是2．
故选：A．
6．数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查结果如图所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差等知识点，解题的关键是熟练掌握相关概念和计算公式．
根据平均数，众数，中位数，方差的定义可得出答案．
【详解】解：因为13和14岁年龄的人数不确定，所以平均数，众数和方差不能确定，
因为总数为20，中位数取排序后的第10位和第11位数的平均数，由表可知，第10位数是12，第11位数是12，
∴中位数．
故选：D．
7．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　）
①点与点关于点对称；②；③；④．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解．
【详解】解：与关于点成中心对称，
，点与点关于点对称，，
①②③正确，④错误，
故选：A
8．某项工作，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，已知甲先做天，然后甲、乙合作完成此项工作．若设甲一共做了天，则所列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键；
设甲一共做了天，则乙一共做了天，列方程即可求解；
【详解】解：设甲一共做了天，则乙一共做了天，
根据题意，可得；
故选：B
9．如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形，则三角形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA OB＝OA ，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．
【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA＝OB，
∴S△OAB＝OA OB＝OA ，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解得或，
∴此时A的坐标为（1，1），
∴OA＝，
∴S△OAB＝OA ＝＝1，
∴△OAB面积的最小值为1，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．如图，点在正六边形的对角线上移动，以点为圆心，线段的长为半径作弧，交射线于点．若，则的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，连接交于，连接，作于，连接，证明为等边三角形，得出，解直角三角形得出，，求出，再由勾股定理得出，从而得出，即可得解．
【详解】解：如图：连接交于，连接，作于，连接，
∵多边形为正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长可以是，
故选：C．
填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．在足球比赛中如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失4个球，记作 个．
【答案】
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
【详解】解：甲队进3个球，记作个，那么甲队失4个球，记作个，
故答案为：
12．一个扇形统计图中，某部分占总体的三分之一，该部分所对应的扇形圆心角为 ．
【答案】120
【分析】本题考查扇形统计图，对应的扇形的圆心角为，进一步计算即可．解题的关键是理解圆心角占比，属于中考常考题型．
【详解】解：对应的扇形圆心角的度数为．
故答案为：120．
13．不等式组的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
14．如图，内接于，是的切线，连接经过点，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的切线性质以及圆周角定理，解题的关键是利用切线性质求出圆心角的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
连接，先根据切线性质求出，进而得到，再依据圆周角定理求出．
【详解】解：连接，
是的切线，
半径，
，
，
，
，
故答案为：．
15．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键要熟练掌握菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
本题设，则，根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算，再计算的长．
【详解】解：设，则，
，
四边形为菱形，
，，，
，
，
解得，
即，，
在中，，
在中，，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标，正确求出二次函数于y轴的交点坐标，顶点坐标，理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键．先求出点，点，则，根据得，再求出抛物线顶点，然后分两种情况讨论如下：①当时，与线段交于点C，此时，则点，由此得直线的表达式为，将点代入之中可得a的值；②当时，与线段的延长线交于点C，此时，则点，由此得直线的表达式为，将点代入之中可得a的值，综上所述即可得出答案．
【详解】解：对于，当时，，
∴点，
∵轴，
∴点B的纵坐标为，
∴当时，得，，
∴点B的坐标是，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴抛物线的顶点P的坐标为，
∵直线交直线于点C，
∴有以下两种情况：
①当时，抛物线的开口向上，与线段交于点C，如图1所示：
此时，
∴点C的坐标为，
设直线的表达式为：，
将点代入，得：，
∴直线的表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：；
②当时，抛物线的开口向上，与线段的延长线交于点C，如图2所示：
此时，
∴点C的坐标为，
设直线的表达式为：，
将点代入，得：，
∴直线的表达式为：，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
综上所述：a的值为或．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，先求锐角三角函数值，绝对值以及负整数指数幂，再算加减法即可求解
【详解】解：
18．（8分）如图，在中，，点，在边上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
（8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
当时
原式．
20．（8分）在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：
平均数 众数 中位数
A学校 85.5 80 n
B学校 85.5 m 86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为、，请判断_______（填“”“”或“”）；
(3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．
【答案】(1)85；87
(2)
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、方差，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义可得答案．
（2）根据方差的定义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两位学生恰好在同一学校的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：（1）由折线统计图可得，，
将学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，．
故答案为：85；87．
（2）由折线统计图可知，校学生成绩的波动幅度明显大于校学生成绩的波动幅度，
故答案为：．
（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，
选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．
故答案为：．
21．（8分）如图，为的直径，点C和点D是上的两点，连接，，交的延长线于点E．求证：是的切线；
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．连接，证得，可得，从而得到，进而得到利用切线的判定定理即可求证；
【详解】证明：连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
22．（10分）已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求点B的坐标；
(2)过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质．
（1）求出抛物线的表达式，即可求解；
（2）证明，则，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
，
令，则，
，
．
（2）解：设直线与轴交于点，

则，
，
∴，
，
，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
．
23．（10分）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦．
(1)现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？
(2)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了．
①哪种小麦的单位面积产量高？
②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）；
一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？
【答案】(1)A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦
(2)①“丰收2号”小麦的单位面积产量高；②
(3)这台收割机每小时收割小麦
【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式．
（1）设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦，根据题意列分式方程，解方程并检验可得答案；
（2）①分别求出“丰收1号”和“丰收2号”单位面积产量，再用作差法来比较大小，即可得出结论；
②用高的单位面积产量除低的单位面积产量，化简即可得出答案；
（3）设这台收割机每小时收割小麦，根据“用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用”列分式方程，解方程并检验可得答案．
【详解】（1）解：设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦，
根据题意得，
解得．
检验：当时，，
原分式方程的解为，
A型播种机每小时种植，
答：A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦；
（2）解：①“丰收1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是，
“丰收2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是，
，
，．
．
．
．
“丰收2号”小麦的单位面积产量高；
②∵，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍；
故答案为：；
（3）解：设这台收割机每小时收割小麦，
，
解得，
检验：当时，．
原分式方程的解为．
答：这台收割机每小时收割小麦．
24．（12分）阅读下列材料，完成相应任务．
面径定义：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”．
例如，如图1，已知一个圆，点O是它的圆心，它的任意一条直径都是它的“面径”．
操作实验：如图2，在中，小雨发现用无刻度的直尺就能画出任意平行四边形的一条面径．
在图2中，请你用无刻度的直尺画出的一条面径（保留作图痕迹，不写画法，指出所求）；
深入探究：小雨继续思考，能否通过尺规作图，求作任意三角形的一条面径呢？
情形1：特例研究
已知等边三角形的边长为2，
当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，它的“面径”长是_________．
当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是_________．
情形2：一般研究
①当面径经过三角形的一个顶点时．
已知：如图3，已知．
求作：直线m，使直线m经过点F且平分的面积．
小雨的想法是：直线m交于点G，与的底，在同一直线上，高相同，若面积相等，则．请在图3中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法，指出所求）；
②当面径不经过三角形的顶点时．
已知：如图4，已知．
求作：直线m，使直线m平分的面积．
小雨的想法是：若直线m交，于M，N两点，使直线m平分的面积，则．只需，且相似比为．请在图4中沿用小雨的思路用尺规作出的面径．（保留作图痕迹，不写作法、指出所求）
【答案】操作实验：见解析；深入探究：情形1：；（答案不唯一）；情形2：①见解析；②见解析
【分析】本题考查了复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
操作实验：连接对角线，线段即为所求；
深入探究：情形1：利用等边三角形的性质即可解答；
情形2：①按题意作出图形即可；
②利用相似三角形的性质，作出图形即可．
【详解】解：操作实验：如图，
四边形为平行四边形，
，
和的高相同，
和的面积相同，
线段即为所求
；
深入探究：情形1：
如图，当“面径”经过等边三角形的一个顶点时，为等边三角形的“面径”时，
根据“面径”的定义可得，
，，
，
；
如图，当“面径”不经过等边三角形的顶点时，为等边三角形的“面径”时，
,
根据第一空中的描述，可得等边三角形底边上的高为，
，
根据“面径”的定义可得，
那可使，则，
过点作，
，，
,
，
当“面径”不经过等边三角形的顶点时，它的“面径”长可以是，
故答案为：；（答案不唯一）；
情形2：①如图，作的垂直平分线，则可找到的中点，则即为所求，
②如图，作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
再作，
则，
，
，
的面积比的面积为，
则线段即为所求．
25．（14分）把矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点分别为．
【知识技能】（1）如图1，当点落在上时，连接．判断的形状并证明．
【数学理解】（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，延长交于点，求证：．
【拓展探索】（3）如图3，当点落在上时，连接交于点．若，请求出的长．
【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）当点落在上时，旋转角为，由旋转的性质，得，由此即可求解；
（2）如图所示，连接，交于点，由矩形的性质得到，由旋转的性质，得，则，所以有四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；
（3）由勾股定理得到，如图所示，过点作于点，，又，，，，，再证明，得到，即可求解．
【详解】解：（1）是等腰直角三角形．证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴当点落在上时，旋转角为，
由旋转的性质，得，
∴是等腰直角三角形．
（2）证明：如图所示，连接，交于点，
在矩形中，，，，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质，得，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴．
（3）∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
如图所示，过点作于点，
由旋转的性质，得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题主要考查矩形、旋转的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质是关键．

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