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第六节　共点力的平衡条件及其应用
第1课时　共点力平衡的条件　三力平衡问题
［学习目标］　1.知道什么是共点力，理解平衡状态，掌握共点力平衡的条件(重点)。2.会根据平衡条件，利用合成法和正交分解法解决简单的三力平衡问题(重难点)。
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、共点力的平衡和平衡条件
1.图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G 的木棒在力 F1 和 F2 的共同作用下处于平衡状态的情况，这些力都位于同一平面内。根据每幅图中各个力作用线的几何关系，可以把上述四种情况的受力分成两类，你认为哪些情况属于同一类？你是根据什么来划分的？

2.汇力圆环在三个力的作用下处于静止状态，已作出三力图示，试根据平行四边形定则作出任何两个力的合力，与第三个力比较，得出三力平衡的条件？
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1.共点力：如果几个力作用在物体的　　　　上，或者几个力的作用线相交于　　　　，这几个力就称为共点力。
2.平衡状态：物体处于　　　　　　　或者保持　　　　　　　　的状态叫作平衡状态。
3.共点力的平衡条件：为了使物体保持　　　状态，作用在物体上的力所必须满足的条件。
4.共点力平衡条件的推论
(1)二力平衡：物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力的大小　　　　、方向　　　　，作用在同一直线上。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力　　　　、　　　　、共线。
(3)多力平衡：物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时，其平衡条件是所受　　　　　　　　　。
平衡状态中所说的“静止”如何理解？ 一个物体在某一时刻速度v=0，那么物体在这一时刻一定受力平衡吗？
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(1)只有静止的物体才受力平衡。(　　)
(2)某时刻物体的速度不为零，也可能处于平衡状态。(　　)
(3)作用在一个物体上的两个力如果是一对平衡力，则这两个力是共点力。(　　)
例1　物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
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例2　一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组中的情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是(　　)
A.1 N　4 N　7 N B.2 N　6 N　9 N
C.2 N　5 N　8 N D.6 N　8 N　6 N
二、三力平衡问题
如图所示，一个质量为m的物体在倾角为θ的斜面上保持静止，重力加速度为g，请分别用力的合成法和正交分解法求出物体所受的支持力和摩擦力。

　处理共点力平衡问题的常用方法：
1.力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
注意：根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大、反向)。
(3)根据三角函数或勾股定理解三角形。
2.正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系，让尽量多的力与坐标轴重合；
(2)正交分解不在坐标轴上的各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程求解。
例3　生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ 角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO 上的拉力各等于多少？(用两种方法进行求解)
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例4　如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是(　　)
A.F= B.F=mgtan θ
C.FN= D.FN=mgtan θ
分析平衡问题的基本思路
(1)明确平衡状态(所受合力为零)；
(2)巧选研究对象；
(3)受力分析(画出规范的受力分析图)；
(4)列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)；
(5)求解或讨论(解的结果及物理意义)。
答案精析
一、
1.图甲和图丁中各力的作用线相交于同一点，这样的几个力是共点力；图乙和图丙中各力的作用线无法相交于同一点，这样的力是非共点力。
2.作图如图所示
任意两个力的合力与第三个力等大反向，即三力的合力为零。
梳理与总结
1.同一点　同一点
2.静止　匀速直线运动
3.平衡
4.(1)相等　相反　(2)等大　反向　(3)合力为零
讨论与交流
“静止”要满足两个条件：v=0，a=0，两者缺一不可。“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别。例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止，物体在这一时刻不一定受力平衡。
易错辨析
(1)×　(2)√　(3)√
例1　(1)10 N　方向水平向左
(2)10 N
解析　(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°得到F1'，则F1'与其余四个力的合力F垂直，如图所示，
F合== N=10 N。
例2　D　［能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可以为零，方法是两个较小的力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是，物体就可能处于平衡状态，故D正确。］
二、
方法一　力的合成法
如图甲所示，由平衡条件和几何关系可知
FN=Fcos θ=mgcos θ
f=Fsin θ=mgsin θ
方法二　正交分解法
如图乙所示，建立直角坐标系，由平衡条件和几何关系可知
y方向上FN=Gy=mgcos θ
x方向上f=Gx=mgsin θ
例3　 　Gtan θ
解析　方法一　合成法
如图所示，取O点为研究对象进行受力分析，由共点力的平衡条件可知
F4=F3=G
由图示几何关系可知
悬绳AO上的拉力F1==
水平绳BO上的拉力
F2=F4tan θ=Gtan θ
方法二　正交分解法
如图所示，以O为原点建立直角坐标系，取O点为研究对象进行受力分析，悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别为F1、F2，
由共点力的平衡条件和几何关系可知在x方向上F2=F1x=F1sin θ ①
在y方向上F3=F1y=F1cos θ=G ②
由①②式解得，F1=，F2=Gtan θ
例4　A　［对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解，根据平衡条件列方程，水平方向有：
FNcos θ=F
竖直方向有：FNsin θ=mg
联立解得FN=，F=。］(共50张PPT)
DISANZHANG
第三章
第1课时　共点力平衡的条件　
三力平衡问题
1.知道什么是共点力，理解平衡状态，掌握共点力平衡的条件(重点)。
2.会根据平衡条件，利用合成法和正交分解法解决简单的三力平衡问题(重难点)。
学习目标
一、共点力的平衡和平衡条件
二、三力平衡问题
课时对点练
内容索引
共点力的平衡和平衡条件
一
1.图甲、乙、丙、丁分别画出了重力为G 的木棒在力 F1 和 F2 的共同作用下处于平衡状态的情况，这些力都位于同一平面内。根据每幅图中各个力作用线的几何关系，可以把上述四种情况的受力分成两类，你认为哪些情况属于同一类？你是根据什么来划分的？
答案　图甲和图丁中各力的作用线相交于同一点，这样的几个力是共点力；图乙和图丙中各力的作用线无法相交于同一点，这样的力是非共点力。
2.汇力圆环在三个力的作用下处于静止状态，已作出三力图示，试根据平行四边形定则作出任何两个力的合力，与第三个力比较，得出三力平衡的条件？
答案　作图如图所示
任意两个力的合力与第三个力等大反向，即三力的合力为零。
1.共点力：如果几个力作用在物体的 上，或者几个力的作用线相交于 ，这几个力就称为共点力。
2.平衡状态：物体处于 或者保持 的状态叫作平衡状态。
3.共点力的平衡条件：为了使物体保持 状态，作用在物体上的力所必须满足的条件。
梳理与总结
同一点
同一点
静止
匀速直线运动
平衡
4.共点力平衡条件的推论
(1)二力平衡：物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力的大小 、方向 ，作用在同一直线上。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力 、 、共线。
(3)多力平衡：物体受多个共点力的作用而处于平衡状态时，其平衡条件是所受 。
相等
相反
等大
反向
合力为零
平衡状态中所说的“静止”如何理解？ 一个物体在某一时刻速度v=0，那么物体在这一时刻一定受力平衡吗？
讨论与交流
答案　“静止”要满足两个条件：v=0，a=0，两者缺一不可。“保持”某状态与某“瞬时”状态有区别。例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止，物体在这一时刻不一定受力平衡。
(1)只有静止的物体才受力平衡。(　　)
(2)某时刻物体的速度不为零，也可能处于平衡状态。(　　)
(3)作用在一个物体上的两个力如果是一对平衡力，则这两个力是共点力。(　　)
×
√
√
　物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力
的合力的大小和方向；
例1
答案　10 N　方向水平向左
五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
答案　10 N
若将F1转过90°得到F1'，则F1'与其余四个力的
合力F垂直，如图所示，
F合== N=10 N。
　一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组中的情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是
A.1 N　4 N　7 N B.2 N　6 N　9 N
C.2 N　5 N　8 N D.6 N　8 N　6 N
例2
√
能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可以为零，方法是两个较小的力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是，物体就可能处于平衡状态，故D正确。
返回
三力平衡问题
二
如图所示，一个质量为m的物体在倾角为θ的斜面上保持静止，重力加速度为g，请分别用力的合成法和正交分解法求出物体所受的支持力和摩擦力。
答案　方法一　力的合成法
如图甲所示，由平衡条件和几何关系可知
FN=Fcos θ=mgcos θ
f=Fsin θ=mgsin θ
方法二　正交分解法
如图乙所示，建立直角坐标系，由平衡条件和
几何关系可知
y方向上FN=Gy=mgcos θ
x方向上f=Gx=mgsin θ
处理共点力平衡问题的常用方法：
1.力的合成法——一般用于受力个数为三个时
(1)确定要合成的两个力；
(2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力；
注意：根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大、反向)。
(3)根据三角函数或勾股定理解三角形。
提炼·总结
2.正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时
(1)建立直角坐标系，让尽量多的力与坐标轴重合；
(2)正交分解不在坐标轴上的各力；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程求解。
　生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。如图所示，悬吊重物的细绳，其O点被一水平绳BO牵引，使悬绳AO段和竖直方向成θ 角。若悬吊物所受的重力为G，则悬绳AO和水平绳BO 上的拉力各等于多少？(用两种方法进行求解)
例3
答案　 　Gtan θ
方法一　合成法
如图所示，取O点为研究对象进行受力分析，
由共点力的平衡条件可知F4=F3=G
由图示几何关系可知
悬绳AO上的拉力F1==
水平绳BO上的拉力F2=F4tan θ=Gtan θ
方法二　正交分解法
如图所示，以O为原点建立直角坐标系，取O点为研究对象进行受力分析，悬绳AO和水平绳BO上的拉力分别
为F1、F2，
由共点力的平衡条件和几何关系可知在x方
向上F2=F1x=F1sin θ ①
在y方向上F3=F1y=F1cos θ=G ②
由①②式解得，F1=，F2=Gtan θ
　如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是
A.F= B.F=mgtan θ
C.FN= D.FN=mgtan θ
例4
√
对小滑块进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解，根据平衡条件列方程，
水平方向有：FNcos θ=F
竖直方向有：FNsin θ=mg
联立解得FN=，F=。
总结提升
分析平衡问题的基本思路
(1)明确平衡状态(所受合力为零)；
(2)巧选研究对象；
(3)受力分析(画出规范的受力分析图)；
(4)列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法)；
(5)求解或讨论(解的结果及物理意义)。
返回
课时对点练
三
考点一　平衡状态与平衡条件
1.下列说法正确的是
A.物体的速度在某一时刻等于0，物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C.物体处于平衡状态，所受合力一定为0
D.物体处于平衡状态时，物体一定做匀速直线运动
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基础对点练
√
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速度为零时，物体不一定处于平衡状态，如竖直上抛到最高点时，速度为零，加速度竖直向下为g，A错误；
物体相对另一物体保持静止时，不一定处于平衡状态，如两个物体一起做变速运动，故B错误；
物体处于平衡状态，受力平衡，合外力一定为零，C正确；
物体处于平衡状态，物体可能保持静止或匀速运动状态，D错误。
2.光滑水平面上，某物体在水平方向两个力的作用下处于静止状态，其中一个力F在大小不变的情况下，将方向在水平面内逆时针转过90°，保持另一个力的大小、方向都不变，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上力的大小为
A.F B.F
C.2F D.3F
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物体水平方向受到两个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另一个力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另一个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再加一个大小为F的力，故B项正确。
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11
3.如图所示，一箱苹果沿着倾角为θ的斜面，以速度v匀速下滑。在箱子的中央有一个质量为m的苹果，它受到周围苹果对它作用力的合力的方向
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下
C.竖直向上 D.垂直斜面向上
√
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一箱苹果整体向下匀速运动，其中央的一个苹果也一定是做匀速运动，受到的合力为零。由于中央的那一个苹果只受重力与它周围苹果对它的作用力，故重力与它周围苹果对它作用力的合力为一对平衡力，大小相等、方向相反，它受到周围苹果对它作用力的合力的方向竖直向上，故选C。
考点二　三力平衡问题
4.(2024·深圳市期中)手机放在固定的斜面上，手机处于静止状态，则斜面对手机的
A.支持力竖直向上
B.支持力小于手机所受的重力
C.摩擦力沿斜面向下
D.摩擦力大于手机所受的重力沿斜面向下的分力
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5.(2024·深圳市高级中学高一期末)如图所示，用四种方法悬挂相同的镜框，镜框均处于静止状态，绳中所受拉力最小的图是
√
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镜框受重力和两根绳子的拉力处于平衡状态，合力等于0，可知两根绳子拉力的合力等于镜框的重力，设每根绳子与竖直方向的夹角为θ，则有2Tcos θ=mg，故绳子与竖直方向的夹角越小，绳子拉力越小。故选A。
6.(2024·湛江市高一期末)如图所示，一只蜗牛沿着葡萄枝缓慢爬行，若葡萄枝与水平方向的夹角为α，蜗牛质量为m，重力加速度的大小为g，则蜗牛受到的摩擦力为
A.mgsin α B.mgcos α
C.mg D.mgtan α
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√
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蜗牛受力平衡，受力如图
摩擦力与重力沿葡萄枝斜向下的分力平衡，
有f=mgsin α，故A正确，B、C、D错误。
7.(2023·江门市高一期末)如图所示，一木块放在水平桌面上，受到水平向右的F1=10 N和水平向左的F2=2 N两个推力的作用，木块处于静止状态。若撤去F1，则木块在水平方向受到的合力为
A.10 N，方向向左
B.10 N，方向向右
C.2 N，方向向左
D.0
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能力综合练
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木块开始在水平方向受三个力而平衡，则摩擦力f=F1-F2=8 N；撤去F1后，外力为2 N<8 N，则木块仍能处于平衡状态，故受到的合力一定为0，D正确。
12
8.(多选)(2023·广东省高二学业考试)如图所示，质量为m的灯笼用两根轻绳AO、BO悬挂且保持静止。AO与水平方向夹角为30°，BO水平，AO、BO的拉力大小分别为TA、TB，重力加速度为g。下列关系式正确的有
A.TA=mg B.TA=2mg
C.TA=2TB D.TA=TB
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√
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根据题意，对结点O受力分析，由平衡条件有TAsin 30°=mg，TAcos 30° =TB，解得TA==2mg，TA==TB。故选B、D。
12
9.如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1=F2且∠AOB=60°。下列关系式正确的是
A.F=F1
B.F=2F1
C.F=3F1
D.F=F1
√
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以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ=30°，
在竖直方向上，由平衡条件可得
F1cos 30°+F2cos 30°=F，又F1=F2，
可得F=F1，故D正确，A、B、C错误。
12
10.在城市道路改造工程中，常在路边安放排污管用于排污。某工地上正在用起重机起吊排污管，如图所示，已知排污管重力为1.8×104 N，长为2 m，厚度可忽略不计。一绳索穿过排污管，绳索能承受的最大拉力为1.5×104 N，为使起重机能吊起排污管，
那么这根绳索最短长度为
A.2.5 m B.4.5 m
C.8 m D.10 m
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对排污管受力分析，设两段绳索与竖直方向的夹角为α，如图所示，
由几何关系可得cos α==0.6，
则绳索最短长度为
lmin=2×+2 m=4.5 m
故B正确，A、C、D错误。
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11.(2024·广州市白云中学高一统考)如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°，物体甲及人均
答案　m1g　m1g　
处于静止状态。已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求轻绳OA、OB中的张力大小；
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以结点O为研究对象，进行受力分析如图，
根据共点力的平衡条件：FOA与FOB的合力
与物体甲的重力等大反向，由几何关系得：
FOA==m1g
FOB=m1gtan θ=m1g
1
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(2)求人受到的摩擦力；
答案　m1g　水平向左　
人在水平方向仅受绳OB的拉力和地面的摩擦力f作用，根据平衡条件有
f=FOB=m1g，方向水平向左。
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(3)若人的质量m2=60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
答案　24 kg
人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有FN=m2g，则f'=μFN=μm2g=180 N，
要使人在水平面上不滑动，需满足Fmax= m1g≤f'
解得m1≤24 kg。
12.如图所示，质量均为m的A、B两球，用一根劲度系数为k的轻弹簧连接，静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R，且球的半径远小于碗的半径，重力加速度为g。则弹簧的原长为
A.+R B.+R
C.+R D.+R
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尖子生选练
√
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以A球为研究对象进行受力分析，小球受重力、弹簧弹力和碗的支持力，如图所示，
由平衡条件得tan θ=，解得x=，
根据几何关系得cos θ==，故θ=60°，
所以x==，
故弹簧原长x0=x+R=+R，故D正确。
返回第2课时　多力平衡问题　轻绳、轻杆模型
［学习目标］　1.熟练运用正交分解法处理多力平衡问题(重点)。2.知道轻绳轻杆上弹力的区别，并能分析简单的平衡问题(重难点)。
一、多力平衡问题
1.当物体受到不在同一条直线上的多个共点力时，一般要采用正交分解法。
2.用正交分解法解决平衡问题的一般步骤：
(1)明确研究对象，对物体受力分析。
(2)建立坐标系：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便。
(3)根据共点力平衡的条件列方程：Fx=0，Fy=0。
例1　如图所示，小明用与水平方向成θ=37°角的轻绳拉木箱，使木箱沿水平地面向右匀速运动。已知绳中拉力恒为F=300 N，木箱重力G=480 N，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)分析木箱的受力情况，画出木箱的受力示意图；
(2)求木箱所受的摩擦力和地面对木箱的支持力大小；
(3)求木箱与地面间的动摩擦因数的大小。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
例2　如图，在倾角为37°的固定斜面上，一质量为10 kg的物块恰好沿斜面匀速下滑，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)若用平行于斜面向上的拉力F拉着物块沿斜面匀速上滑，求F的大小。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
例3　同学们都有过擦黑板的经历。如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m=0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F=10 N且F与黑板表面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板。(取g=10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
(2)若作用力F的方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务？
(3)比较以上两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，说明理由。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
二、轻绳、轻杆模型
(1)如图所示，AB、BC为轻质杆，杆的A、C端通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接，要使物体保持静止，试分析AB、BC杆能否用等长的细绳代替？
(2)绳对物体的弹力和杆对物体的弹力有什么区别？杆的弹力方向是否一定沿着杆？
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
例4　(多选)一重力为4 N的球固定在支杆B的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为3 N，则AB杆对球的作用力(　　)
A.大小为7 N
B.大小为5 N
C.方向与水平方向成53°角斜向右下方
D.方向与水平方向成53°角斜向左上方
例5　(1)如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧竖直墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆上的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA=30°，轻杆OB水平，已知重力加速度为g，求细绳OA的拉力和轻杆的弹力。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
(2)图乙中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有光滑轻质小滑轮，用一根细绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA=30°，已知重力加速度为g，求细绳OA的拉力和轻杆对滑轮的作用力。
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
1.甲图中绳OA和绳OC属于两根绳，两绳上的拉力大小不一定相等。乙图中是一根绳绕过滑轮或光滑物体，这两段绳(OA段与OC段)上的拉力一定相等。
2.甲图中轻杆可以绕B点自由转动，是“活杆”(也称“铰链”)，其弹力方向沿杆方向。乙图中轻杆固定于墙上，是“定杆”，其弹力方向不一定沿杆方向。
答案精析
例1　(1)见解析图　(2)240 N　300 N
(3)0.8
解析　(1)木箱受绳的拉力F、重力G、地面的支持力FN和摩擦力f的作用，受力示意图如图所示
(2)建立如图所示的直角坐标系，由正交分解得，
水平方向
Fcos 37°=f
竖直方向
Fsin 37°+FN=G
解得f=240 N，FN=300 N
(3)由滑动摩擦力公式得f=μFN
解得μ==0.8。
例2　(1)0.75　(2)120 N
解析　(1)把重力正交分解，由平衡条件知f=mgsin 37°，FN=mgcos 37°，f=μFN
联立以上三式解得μ=tan 37°=0.75
(2)由平衡条件得F=mgsin 37°+f'
f'=μmgcos 37°
解得F=120 N。
例3　(1)0.5　(2)2 N　(3)见解析
解析　(1)当黑板擦缓慢向上滑动时，受力分析如图甲所示，
根据共点力的平衡条件可知
水平方向：FN=Fsin 53°
竖直方向：Fcos 53°=f+mg
又：f=μFN
联立解得μ=0.5，f=4 N
(2)在黑板擦缓慢向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
水平方向：FN'=F'sin 53°
竖直方向：F'cos 53°+f'=mg
又：f'=μFN'
解得F'=2 N，f'=0.8 N
(3)由(1)(2)可知，黑板擦缓慢向上移动时的摩擦力比缓慢向下移动时的摩擦力更大，擦得更干净。
二、
(1)AB杆对B点产生的是拉力，当用轻绳代替时效果不变，仍能使装置平衡；BC杆承受的是压力，如果使用轻绳代替，装置将无法保持平衡。
(2)绳对物体只能产生拉力作用，杆可以产生拉力，也可以产生支持力。绳的弹力方向一定沿绳，杆的弹力方向不一定沿杆。
例4　BD　［对小球进行受力分析，如图所示，绳的拉力T与重力G的合力
F==5 N，
sin θ==0.8，得θ=53°，由平衡条件可知，杆对球的作用力与F等大反向，故选B、D。］
例5　(1)2mg　mg　(2)mg　mg
解析　(1)由于题图甲中的轻杆可绕B点自由转动，是转轴杆(“活杆”)，故轻杆弹力方向沿杆方向，O点的受力情况如图a所示，其中T2=mg，则O点所受细绳OA的拉力T1、轻杆的弹力FN1的合力与细绳OC的拉力大小相等、方向相反，故T1==2mg，轻杆的弹力FN1==mg。
(2)题图乙中是用一细绳跨过滑轮悬挂重物的，由于O点处是滑轮，它只是改变细绳中力的方向，并未改变力的大小，且AOC是同一根细绳，而同一根细绳上的力处处相等，故图b中细绳OA的拉力为T1'=T2'=mg。
由于杆OB不可转动，所以轻杆所受弹力的方向不一定沿OB方向，轻杆对滑轮的作用力FN2一定与两根细绳的合力FN2'大小相等、方向相反，FN2=FN2'=2mgcos 60°=mg，即轻杆对滑轮的作用力大小为mg。(共52张PPT)
DISANZHANG
第三章
第2课时　多力平衡问题　轻
绳、轻杆模型
1.熟练运用正交分解法处理多力平衡问题(重点)。
2.知道轻绳轻杆上弹力的区别，并能分析简单的平衡问题(重难点)。
学习目标
一、多力平衡问题
二、轻绳、轻杆模型
课时对点练
内容索引
多力平衡问题
一
1.当物体受到不在同一条直线上的多个共点力时，一般要采用正交分解法。
2.用正交分解法解决平衡问题的一般步骤：
(1)明确研究对象，对物体受力分析。
(2)建立坐标系：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便。
(3)根据共点力平衡的条件列方程：Fx=0，Fy=0。
　如图所示，小明用与水平方向成θ=37°角的轻绳拉木箱，使木箱沿水平地面向右匀速运动。已知绳中拉力恒为F=300 N，木箱重力G=480 N，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)分析木箱的受力情况，画出木箱的受力示意图；
例1
木箱受绳的拉力F、重力G、地面的支持力FN
和摩擦力f的作用，受力示意图如图所示
答案　见解析图
(2)求木箱所受的摩擦力和地面对木箱的
支持力大小；
建立如图所示的直角坐标系，由正交分解得，
水平方向Fcos 37°=f
竖直方向Fsin 37°+FN=G
解得f=240 N，FN=300 N
答案　240 N　300 N
(3)求木箱与地面间的动摩擦因数的大小。
由滑动摩擦力公式得
f=μFN
解得μ==0.8。
答案　0.8
　如图，在倾角为37°的固定斜面上，一质量为10 kg的物块恰好沿斜面匀速下滑，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，
cos 37°=0.8。
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
例2
答案　0.75
把重力正交分解，由平衡条件知
f=mgsin 37°
FN=mgcos 37°
f=μFN
联立以上三式解得μ=tan 37°=0.75
(2)若用平行于斜面向上的拉力F拉着物块沿斜面
匀速上滑，求F的大小。
答案　120 N
由平衡条件得F=mgsin 37°+f'
f'=μmgcos 37°
解得F=120 N。
　同学们都有过擦黑板的经历。如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m=0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F=10 N且F与黑板表面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面缓慢竖直向上擦黑板。(取g=10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6)
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
例3
答案　0.5　
当黑板擦缓慢向上滑动时，受力分析如图甲所示，
根据共点力的平衡条件可知
水平方向：FN=Fsin 53°
竖直方向：Fcos 53°=f+mg
又：f=μFN
联立解得μ=0.5，f=4 N
(2)若作用力F的方向保持不变，当F多大时能完成向下缓慢擦黑板的任务？
答案　2 N
在黑板擦缓慢向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
水平方向：FN'=F'sin 53°
竖直方向：F'cos 53°+f'=mg
又：f'=μFN'
解得F'=2 N，f'=0.8 N
(3)比较以上两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，
说明理由。
答案　见解析
由(1)(2)可知，黑板擦缓慢向上移动时的摩擦力比缓慢向下移动时的摩擦力更大，擦得更干净。
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轻绳、轻杆模型
二
(1)如图所示，AB、BC为轻质杆，杆的A、C端通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接，要使物体保持静止，试分析AB、BC杆能否用等长的细绳代替？
答案　AB杆对B点产生的是拉力，当用轻绳代替时效果不
变，仍能使装置平衡；BC杆承受的是压力，如果使用轻绳
代替，装置将无法保持平衡。
(2)绳对物体的弹力和杆对物体的弹力有什么区别？杆的弹力方向是否一定沿着杆？
答案　绳对物体只能产生拉力作用，杆可以产生拉力，也可以产生支持力。绳的弹力方向一定沿绳，杆的弹力方向不一定沿杆。
　(多选)一重力为4 N的球固定在支杆B的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为3 N，则AB杆对球的作用力
A.大小为7 N
B.大小为5 N
C.方向与水平方向成53°角斜向右下方
D.方向与水平方向成53°角斜向左上方
例4
√
√
对小球进行受力分析，如图所示，绳的拉力T与重力G的合力F==5 N，sin θ==0.8，得θ=53°，由平衡条件可知，杆对球的作用力与F等大反向，故选B、D。
　(1)如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧竖直墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆上的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA=30°，轻杆OB水平，已知重力加速度为g，求细绳OA的拉力和轻杆的弹力。
例5
答案　2mg　mg
由于题图甲中的轻杆可绕B点自由转动，是转轴杆(“活杆”)，故轻杆弹力方向沿杆方向，O点的受力情况如图a所示，其中T2=mg，则O点所受细绳OA的拉力T1、轻杆的弹力FN1的合力与细绳OC的拉力大小相等、方向相反，故T1==2mg，轻杆的弹力FN1==mg。
(2)图乙中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有光滑轻质小滑轮，用一根细绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA=30°，已知重力加速度为g，求细绳OA的拉力和轻杆对滑轮的作用力。
答案　mg　mg
题图乙中是用一细绳跨过滑轮悬挂重物的，由于O点处是滑轮，它只是改变细绳中力的方向，并未改变力的大小，且AOC是同一根细绳，而同一根细绳上的力处处相等，故图b中细绳OA的拉力为T1'=T2'=mg。
由于杆OB不可转动，所以轻杆所受弹力的方向不一定沿OB方向，轻杆对滑轮的作用力FN2一定与两根细绳的合力FN2'大小相等、方向相反，FN2=FN2'=2mgcos 60°=mg，即轻杆对滑轮的作用力大小为mg。
1.甲图中绳OA和绳OC属于两根绳，两绳上的拉力大小不一定相等。乙图中是一根绳绕过滑轮或光滑物体，这两段绳(OA段与OC段)上的拉力一定相等。
2.甲图中轻杆可以绕B点自由转动，是“活杆”(也称“铰链”)，其弹力方向沿杆方向。乙图中轻杆固定于墙上，是“定杆”，其弹力方向不一定沿杆方向。
总结提升
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课时对点练
三
考点一　多力平衡问题
1.(2023·梅州市高一统考)如图所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块受到的摩擦力f与拉力F的合力方向应该是
A.水平向右
B.竖直向上
C.向右偏上
D.向左偏上
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基础对点练
√
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对物块受力分析如图所示，由于重力G与地面支持力FN的合力方向竖直向下，因此F和f的合力方向只有竖直向上时，四力合力才能为零，B正确。
2.(2024·广东省高二学业考试)如图所示，物体在平行于斜面向上、大小为5 N的力F作用下，沿固定的粗糙斜面向上做匀速直线运动，物体与斜面间的滑动摩擦力
A.等于零 B.小于5 N
C.等于5 N D.大于5 N
√
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设斜面的倾角为θ，对物体受力分析如图所示，
根据题意由平衡条件有F=mgsin θ+f，可得f=
F-mgsin θ<5 N，故选B。
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3.(多选)(2024·珠海市期末)质量为m的木块，在推力F的作用下沿水平地面做匀速直线运动，如图所示。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，那么木块受到的滑动摩擦力的大小为
A.μmg B.μ(mg+Fsin θ)
C.μ(mg-Fsin θ) D.Fcos θ
√
√
物体做匀速直线运动，则水平方向f=Fcos θ，竖直方向FN=mg+Fsin θ，f=μFN，联立得f=μ(mg+Fsin θ)，故选B、D。
考点二　轻绳、轻杆模型
4.(多选)(2024·广州市第一中学高一期末)如图所示，在一倾角为α、顶端带有定滑轮的固定斜面上有一质量为M的物体甲。现将一不可伸长的轻绳一端连接物体甲，另一端绕过定滑轮后悬挂一质量为m的物体乙。已知重力加速度为g，轻绳与斜面平行，物体甲在斜面上保持静止。若不计一切摩擦，则下列说法正确的是
A.绳子拉力大小等于Mg
B.绳子拉力大小等于mg
C.M=m
D.M>m
√
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√
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物体甲静止在斜面上，所以物体乙处于静止
状态，对物体乙受力分析可知，绳子拉力大
小等于mg，故B正确；
对物体甲受力分析，由平衡条件知Mgsin α=mg可得M>m，故A、C错误，D正确。
5.如图，一质量m=6 kg的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数μ=，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，现用一与水平方向夹角为37°的力斜向右上拉物块，求此拉力的大小。(已知sin 37° =0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2)
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答案　20 N
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10
物块做匀速直线运动，受力分析如图，
则水平方向：Tcos 37°=f
竖直方向：FN=mg-Tsin 37°
且f=μFN
代入数据解得T=20 N。
6.(2024·惠州市高一月考)如图甲所示是一种常见的持球动作，用手臂挤压篮球，将篮球压在身侧。为了方便问题研究，我们将场景进行模型化处理，如图乙所示。已知篮球重力大小为G，粗糙竖直板对篮球的弹力大小为F1，摩擦力大小为f，光滑斜板对篮球的弹力大小为F2，竖直板和斜板之间的夹角为θ，篮球处于静止状态。下列说法正确的是
A.f=G B.f=G+F2sin θ
C.F1= D.F1=F2sin θ
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√
能力综合练
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对篮球进行受力分析，如图所示，利用正交分解，根据平衡条件有F2cos θ=F1，f=G+F2sin θ，故选B。
7.(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动，另一端O'光滑，一端固定在竖直墙壁B'点的细线跨过O'端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°，重力加速度为g，以下说法正确的是
A.图甲轻杆中弹力大小为mg
B.图乙轻杆中弹力大小为mg
C.图甲中轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向
D.图乙中轻杆A'O'的力沿A'O'方向
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√
√
√
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由于题图甲中轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，题图甲轻杆中弹
力方向沿两细线夹角的角平方线，大小为F甲==mg，故A正确。
题图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动，为“动杆”，另一端O'光滑，可以视为活结，O'两侧细线中拉力大小相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O'A'中弹力大小等于O'两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力大小无法确定，故B错误，D正确。
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根据共点力平衡条件，题图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。
8.如图，一质量m=10 kg的箱子先从倾角θ=37°的斜面上匀速滑下来，到地面后即由一旅客用与水平方向成θ=37°的斜向上的力拉着继续做匀速直线运动，已知箱子与斜面及地面间的动摩擦因数相同，g=10 m/s2， sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)箱子与斜面间的动摩擦因数；
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答案　0.75
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设箱子与斜面间的动摩擦因数为μ，箱子在斜面上匀速运动时，根据平衡条件有
mgsin θ=μmgcos θ
解得μ=0.75
(2)旅客拉箱子的力的大小以及地面对箱子的
摩擦力的大小。
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答案　60 N　48 N
旅客拉着箱子做匀速运动时，根据平衡条件有
Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)
解得F=60 N
则可知地面对箱子的摩擦力的大小为
f=Fcos θ=48 N。
9.如图所示，质量为m的木块在与水平方向成α角的推力F(大小未知)作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动。已知木块与墙壁间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。求：
(1)推力F的大小；
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答案　　
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以木块为研究对象，木块受到重力、支持力、
推力和摩擦力作用，受力情况如图所示。
水平方向：FN=Fcos α，
竖直方向：Fsin α=mg+f，
又f=μFN，联立解得：F=。
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动木块，且木块仍做匀速直线运动，则推力F'为多大。
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答案　mg
若将推力的方向改为竖直向上推动木块做匀速直线运动，木块只受重力和推力，根据平衡条件可得：F'=mg。
10.质量m=1 kg的物块恰好能沿倾角为37°的固定斜面匀速下滑，现给物块施加与斜面成37°角斜向上的拉力F，使物块沿斜面匀速上滑，如图所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力(g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)。
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数；
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答案　0.75
尖子生选练
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10
物块恰好沿斜面匀速下滑
物块沿斜面方向受力平衡，有
mgsin 37°=μmgcos 37°
解得：μ=0.75
(2)求拉力F的大小；
1
2
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答案　9.6 N
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2
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9
10
给物块施加拉力，使物块沿斜面匀速上滑时，物块的受力情况如图甲所示
沿x轴方向：Fcos 37°=f+mgsin 37°
沿y轴方向：FN+Fsin 37°=mgcos 37°
f=μFN
联立解得F=9.6 N
(3)若给原来静止的物块施加平行于斜面向上、大小
为10 N的拉力，求物块受到的摩擦力。
1
2
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10
答案　4 N，方向沿斜面向下
1
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10
如图乙所示，
因为F'>mgsin 37°，故物块受到沿斜面向下
的摩擦力
因F'-mgsin 37°<μmgcos 37°
故物块处于静止状态
物块受到的摩擦力f'=F'-mgsin 37°=4 N，方向沿斜面向下。
返回作业26　共点力平衡的条件　三力平衡问题
(分值：100分)
1~6题每题7分，共42分
考点一　平衡状态与平衡条件
1.下列说法正确的是 （　　）
A.物体的速度在某一时刻等于0，物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C.物体处于平衡状态，所受合力一定为0
D.物体处于平衡状态时，物体一定做匀速直线运动
2.光滑水平面上，某物体在水平方向两个力的作用下处于静止状态，其中一个力F在大小不变的情况下，将方向在水平面内逆时针转过90°，保持另一个力的大小、方向都不变，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上力的大小为 （　　）
A.F B.F
C.2F D.3F
3.如图所示，一箱苹果沿着倾角为θ的斜面，以速度v匀速下滑。在箱子的中央有一个质量为m的苹果，它受到周围苹果对它作用力的合力的方向 （　　）
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下
C.竖直向上 D.垂直斜面向上
考点二　三力平衡问题
4.（2024·深圳市期中）手机放在固定的斜面上，手机处于静止状态，则斜面对手机的 （　　）
A.支持力竖直向上
B.支持力小于手机所受的重力
C.摩擦力沿斜面向下
D.摩擦力大于手机所受的重力沿斜面向下的分力
5.（2024·深圳市高级中学高一期末）如图所示，用四种方法悬挂相同的镜框，镜框均处于静止状态，绳中所受拉力最小的图是 （　　）
6.（2024·湛江市高一期末）如图所示，一只蜗牛沿着葡萄枝缓慢爬行，若葡萄枝与水平方向的夹角为α，蜗牛质量为m，重力加速度的大小为g，则蜗牛受到的摩擦力为 （　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.mgsin α B.mgcos α
C.mg D.mgtan α
7~10题每题8分，11题16分，共48分
7.（2023·江门市高一期末）如图所示，一木块放在水平桌面上，受到水平向右的F1=10 N和水平向左的F2=2 N两个推力的作用，木块处于静止状态。若撤去F1，则木块在水平方向受到的合力为 （　　）
A.10 N，方向向左 B.10 N，方向向右
C.2 N，方向向左 D.0
8.（多选）（2023·广东省高二学业考试）如图所示，质量为m的灯笼用两根轻绳AO、BO悬挂且保持静止。AO与水平方向夹角为30°，BO水平，AO、BO的拉力大小分别为TA、TB，重力加速度为g。下列关系式正确的有 （　　）
A.TA=mg B.TA=2mg
C.TA=2TB D.TA=TB
9.如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1=F2且∠AOB=60°。下列关系式正确的是 （　　）
A.F=F1
B.F=2F1
C.F=3F1
D.F=F1
10.在城市道路改造工程中，常在路边安放排污管用于排污。某工地上正在用起重机起吊排污管，如图所示，已知排污管重力为1.8×104 N，长为2 m，厚度可忽略不计。一绳索穿过排污管，绳索能承受的最大拉力为1.5×104 N，为使起重机能吊起排污管，那么这根绳索最短长度为 （　　）
A.2.5 m B.4.5 m
C.8 m D.10 m
11.（16分）（2024·广州市白云中学高一统考）如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=37°，物体甲及人均处于静止状态。已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）（5分）求轻绳OA、OB中的张力大小；
（2）（4分）求人受到的摩擦力；
（3）（7分）若人的质量m2=60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ=0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
（10分）
12.如图所示，质量均为m的A、B两球，用一根劲度系数为k的轻弹簧连接，静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R，且球的半径远小于碗的半径，重力加速度为g。则弹簧的原长为 （　　）
A.+R B.+R
C.+R D.+R
答案精析
1.C　［速度为零时，物体不一定处于平衡状态，如竖直上抛到最高点时，速度为零，加速度竖直向下为g，A错误；物体相对另一物体保持静止时，不一定处于平衡状态，如两个物体一起做变速运动，故B错误；物体处于平衡状态，受力平衡，合外力一定为零，C正确；物体处于平衡状态，物体可能保持静止或匀速运动状态，D错误。］
2.B　［物体水平方向受到两个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另一个力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另一个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再加一个大小为F的力，故B项正确。］
3.C　［一箱苹果整体向下匀速运动，其中央的一个苹果也一定是做匀速运动，受到的合力为零。由于中央的那一个苹果只受重力与它周围苹果对它的作用力，故重力与它周围苹果对它作用力的合力为一对平衡力，大小相等、方向相反，它受到周围苹果对它作用力的合力的方向竖直向上，故选C。］
4.B
5.A　［镜框受重力和两根绳子的拉力处于平衡状态，合力等于0，可知两根绳子拉力的合力等于镜框的重力，设每根绳子与竖直方向的夹角为θ，则有2Tcos θ=mg，故绳子与竖直方向的夹角越小，绳子拉力越小。故选A。］
6.A　［蜗牛受力平衡，受力如图
摩擦力与重力沿葡萄枝斜向下的分力平衡，有f=mgsin α，故A正确，B、C、D错误。］
7.D　［木块开始在水平方向受三个力而平衡，则摩擦力f=F1-F2=8 N；撤去F1后，外力为2 N<8 N，则木块仍能处于平衡状态，故受到的合力一定为0，D正确。］
8.BD　［根据题意，对结点O受力分析，由平衡条件有TAsin 30°=mg，TAcos 30°=TB，解得TA==2mg，TA==TB。故选B、D。］
9.D　［以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ=30°，
在竖直方向上，由平衡条件可得
F1cos 30°+F2cos 30°=F，又F1=F2，
可得F=F1，故D正确，A、B、C错误。］
10.B　［对排污管受力分析，设两段绳索与竖直方向的夹角为α，如图所示，
由几何关系可得
cos α==0.6，
则绳索最短长度为
lmin=2×+2 m=4.5 m
故B正确，A、C、D错误。］
11.(1)m1g　m1g　(2)m1g　水平向左　(3)24 kg
解析　(1)以结点O为研究对象，进行受力分析如图，根据共点力的平衡条件：FOA与FOB的合力与物体甲的重力等大反向，由几何关系得：FOA==m1g
FOB=m1gtan θ=m1g
(2)人在水平方向仅受绳OB的拉力和地面的摩擦力f作用，根据平衡条件有
f=FOB=m1g，方向水平向左。
(3)人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有FN=m2g，则f'=μFN=μm2g=180 N，
要使人在水平面上不滑动，需满足Fmax= m1g≤f'
解得m1≤24 kg。
12.D　［以A球为研究对象进行受力分析，小球受重力、弹簧弹力和碗的支持力，如图所示，由平衡条件得tan θ=，
解得x=，
根据几何关系得cos θ==，故θ=60°，
所以x==，
故弹簧原长x0=x+R=+R，
故D正确。］作业27　多力平衡问题　轻绳、轻杆模型
（分值：100分）
1~4题每题6分，5题12分，共36分
考点一　多力平衡问题
1.（2023·梅州市高一统考）如图所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块受到的摩擦力f与拉力F的合力方向应该是 （　　）
A.水平向右 B.竖直向上
C.向右偏上 D.向左偏上
2.（2024·广东省高二学业考试）如图所示，物体在平行于斜面向上、大小为5 N的力F作用下，沿固定的粗糙斜面向上做匀速直线运动，物体与斜面间的滑动摩擦力 （　　）
A.等于零 B.小于5 N
C.等于5 N D.大于5 N
3.（多选）（2024·珠海市期末）质量为m的木块，在推力F的作用下沿水平地面做匀速直线运动，如图所示。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，那么木块受到的滑动摩擦力的大小为 （　　）
A.μmg B.μ（mg+Fsin θ）
C.μ（mg-Fsin θ） D.Fcos θ
考点二　轻绳、轻杆模型
4.（多选）（2024·广州市第一中学高一期末）如图所示，在一倾角为α、顶端带有定滑轮的固定斜面上有一质量为M的物体甲。现将一不可伸长的轻绳一端连接物体甲，另一端绕过定滑轮后悬挂一质量为m的物体乙。已知重力加速度为g，轻绳与斜面平行，物体甲在斜面上保持静止。若不计一切摩擦，则下列说法正确的是 （　　）
A.绳子拉力大小等于Mg
B.绳子拉力大小等于mg
C.M=m
D.M>m
5.（12分）如图，一质量m=6 kg的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数μ=，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，现用一与水平方向夹角为37°的力斜向右上拉物块，求此拉力的大小。（已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10 m/s2）
6、7题每题8分，8、9题每题15分，共46分
6.（2024·惠州市高一月考）如图甲所示是一种常见的持球动作，用手臂挤压篮球，将篮球压在身侧。为了方便问题研究，我们将场景进行模型化处理，如图乙所示。已知篮球重力大小为G，粗糙竖直板对篮球的弹力大小为F1，摩擦力大小为f，光滑斜板对篮球的弹力大小为F2，竖直板和斜板之间的夹角为θ，篮球处于静止状态。下列说法正确的是 （　　）
A.f=G B.f=G+F2sin θ
C.F1= D.F1=F2sin θ
7.（多选）图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动，另一端O'光滑，一端固定在竖直墙壁B'点的细线跨过O'端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°，重力加速度为g，以下说法正确的是 （　　）
A.图甲轻杆中弹力大小为mg
B.图乙轻杆中弹力大小为mg
C.图甲中轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向
D.图乙中轻杆A'O'的力沿A'O'方向
8.（15分）如图，一质量m=10 kg的箱子先从倾角θ=37°的斜面上匀速滑下来，到地面后即由一旅客用与水平方向成θ=37°的斜向上的力拉着继续做匀速直线运动，已知箱子与斜面及地面间的动摩擦因数相同，g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
（1）（6分）箱子与斜面间的动摩擦因数；
（2）（9分）旅客拉箱子的力的大小以及地面对箱子的摩擦力的大小。
9.（15分）如图所示，质量为m的木块在与水平方向成α角的推力F（大小未知）作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动。已知木块与墙壁间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。求：
（1）（10分）推力F的大小；
（2）（5分）若将推力的方向改为竖直向上推动木块，且木块仍做匀速直线运动，则推力F'为多大。
10.（18分）质量m=1 kg的物块恰好能沿倾角为37°的固定斜面匀速下滑，现给物块施加与斜面成37°角斜向上的拉力F，使物块沿斜面匀速上滑，如图所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力（g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）。
（1）（4分）求物块与斜面间的动摩擦因数；
（2）（7分）求拉力F的大小；
（3）（7分）若给原来静止的物块施加平行于斜面向上、大小为10 N的拉力，求物块受到的摩擦力。
答案精析
1.B　［对物块受力分析如图所示，由于重力G与地面支持力FN的合力方向竖直向下，因此F和f的合力方向只有竖直向上时，四力合力才能为零，B正确。］
2.B　［设斜面的倾角为θ，对物体受力分析如图所示，根据题意由平衡条件有F=mgsin θ+f，可得f=F-mgsin θ<5 N，故选B。］
3.BD　［物体做匀速直线运动，则水平方向f=Fcos θ，竖直方向FN=mg+Fsin θ，f=μFN，联立得f=μ(mg+Fsin θ)，故选B、D。］
4.BD　［物体甲静止在斜面上，所以物体乙处于静止状态，对物体乙受力分析可知，绳子拉力大小等于mg，故B正确；对物体甲受力分析，由平衡条件知Mgsin α=mg可得M>m，故A、C错误，D正确。］
5.20 N
解析　物块做匀速直线运动，受力分析如图，则
水平方向：Tcos 37°=f
竖直方向：FN=mg-Tsin 37°
且f=μFN
代入数据解得T=20 N。
6.B　［对篮球进行受力分析，如图所示，利用正交分解，根据平衡条件有F2cos θ=F1，f=G+F2sin θ，故选B。］
7.ACD　［由于题图甲中轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，题图甲轻杆中弹力方向沿两细线夹角的角平方线，大小为F甲==mg，故A正确。题图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动，为“动杆”，另一端O'光滑，可以视为活结，O'两侧细线中拉力大小相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O'A'中弹力大小等于O'两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力大小无法确定，故B错误，D正确。
根据共点力平衡条件，题图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。］
8.(1)0.75　(2)60 N　48 N
解析　(1)设箱子与斜面间的动摩擦因数为μ，箱子在斜面上匀速运动时，根据平衡条件有
mgsin θ=μmgcos θ
解得μ=0.75
(2)旅客拉着箱子做匀速运动时，根据平衡条件有
Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)
解得F=60 N
则可知地面对箱子的摩擦力的大小为
f=Fcos θ=48 N。
9.(1)　(2)mg
解析　(1)以木块为研究对象，木块受到重力、支持力、推力和摩擦力作用，受力情况如图所示。
水平方向：FN=Fcos α，
竖直方向：Fsin α=mg+f，
又f=μFN，联立解得：
F=。
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动木块做匀速直线运动，木块只受重力和推力，根据平衡条件可得：F'=mg。
10.(1)0.75　(2)9.6 N　(3)4 N，方向沿斜面向下
解析　(1)物块恰好沿斜面匀速下滑
物块沿斜面方向受力平衡，有
mgsin 37°=μmgcos 37°
解得：μ=0.75
(2)给物块施加拉力，使物块沿斜面匀速上滑时，物块的受力情况如图甲所示
沿x轴方向：Fcos 37°=f+mgsin 37°
沿y轴方向：FN+Fsin 37°=mgcos 37°
f=μFN
联立解得F=9.6 N
(3)如图乙所示，
因为F'>mgsin 37°，故物块受到沿斜面向下的摩擦力
因F'-mgsin 37°<μmgcos 37°
故物块处于静止状态
物块受到的摩擦力f'=F'-mgsin 37°=4 N，方向沿斜面向下。

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