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一次函数与反比例函数的交点问题 归纳练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为．
(1)求的面积；
(2)当时，直接写出的取值范围．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，点B．
(1)求点A的坐标和反比例函数解析式；
(2)若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标．
4．如图，直线与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作轴于点D，连接并延长交该双曲线于点E，连接，已知．
(1)请直接写出该双曲线的表达式；
(2)求的面积；
(3)请直接写出关于x的不等式的解集．
5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点．
(1)求，，的值；
(2)点是（）的图象上一点，抽交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，求的长．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是．
(1)求n和k的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围．
9．如图1，反比例函数（）的图象过点，直线：与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)点，点均在第一象限，且满足，直接写出的取值范围．
(3)如图2，若直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点．连接，，求证：．
10．如图函数的图象交x轴于点，交反比例函数的图象于点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段于点C．
①若点D的横坐标为4，点E为x轴上的一个动点，且四边形为平行四边形，求点E的坐标．
②连接，当点C的坐标为多少的时候，的面积最大，求出最大值．
参考答案
1．(1)1
(2)或
本题主要考查一次函数，反比例函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，图形法解不等式，几何图形面积的计算是关键．
（1）运用待定系数法求出一次函数，反比例函数的解析，结合点的横坐标得到，则，由三角形面积的计算方法即可求解；
（2）根据一次函数，反比例函数图形的交点，求不等式解集即可．
（1）解：∵一次函数的图象过两点，
∴，
解得，
∴，
∵反比例函数的图象过，
∴，
∴，
当时，， ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，即，且，
∴当或时，，
∴的取值范围为：或．
2．(1)，
(2)或
（1）先求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题．
（2）求得反比例函数图象上，且到x轴的距离等于3的点的坐标，然后根据图象即可得出答案．
（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，，
解得，
∴点A的坐标为．
将A点坐标代入反比例函数解析式得，，
解得：
∴反比例函数的解析式为．
（2）由（1）知，反比例函数的解析式是，
当时，则；当时，，
由图象可知，若点在反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，则m的取值范围是或．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．
3．(1)，
(2)
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
（2）根据题意先求出点A的坐标，再根据三角形相似的判定和性质得出点M为的中点，据此可解决问题．
（1）解：将点B坐标代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上，
∴，则，
∴点D的坐标为，
将点D和点B坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由得，
∴，，
∴点A的坐标为，
∵，
∴，
∵与的面积比为，
∴，
∴点M为的中点，
∴点M的坐标为，
故答案为：
4．(1)
(2)2
(3)或
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，根据反比例函数与一次函数的交点求一元一次不等式的解集，
（1），先标注图形，可得，再设点的坐标，可表示，然后根据三角形的面积相等得出方程，求出解即可；
（2），求出直线的关系式，进而求出点E得知坐标，再作轴，交于点G，可得，然后联立函数关系式求出点B的坐标，最后根据得出答案；
（3），根据交点坐标，结合直线在双曲线上方的部分得出答案即可.
（1）解：先标注图形，
当时，，
∴点；
当时，，
∴，
即.
设点的坐标为，则，
∴，
即，
解得（舍去）或，
∴点，.
将点代入反比例函数的关系式，得，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：设直线的关系式为，根据题意，得
，
解得，
∴直线的关系式为.
将两个关系式联立，得，
解得（舍去），
∴点.
过点E作轴，交于点G，
当时，，
∴点，
∴.
将直线和反比例函数关系式联立，得，
解得（舍去），
∴点.
∴；
（3）解：当或时，.
5．(1)，，
(2)
本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）将点代入，即可求得，将代入，即可求得的值，进而得到点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值；
（2）由题意可设，所以，又的面积小于四边形的面积，所以，结合，解出的取值范围即可．
（1）解：在上，
，
，
，
在上，
，
，
在上，
，即，，；
（2）解：由题意可设，
，
，
，
，
．
6．(1)，
(2)
本题考查了待定系数法求函数的表达式、反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．
（1）先将点的坐标代入中得到的值，从而得出反比例函数的表达式，再把点代入中，求出的值，最后根据待定系数法求出一次函数的表达式；
（2）先把代入中求出点的坐标，再由题意可以知道轴，得到点与点的纵坐标相等，从而求出点的坐标，最后根据勾股定理求出的长．
（1）解：将代入中，得
反比例函数的表达式为．
将代入中，得，
．
将，分别代入中，得
，解得，
一次函数的表达式为．
（2）把代入得，
点坐标为，
由题意知点，点纵坐标相等，
把代入中，得，
点坐标为，
，
在中，．
7．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)或；
(3)存在，点的坐标为或．
本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
（）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集；
（）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
8．(1)n的值是1，k的值是2
(2)
此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键．
（1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出；
（2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可．
（1）解：由题意将代入，
得，
解得：；
将代入，
得，
解得：
∴n的值是1，k的值是2；
（2）解：由（1）可知，函数即为函数，
当时，，
当过点时，，解得，即，
当时，为，与平行，
如图，
根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时．
9．(1)，
(2)
(3)见解析
本题主要考查一次函数与反比例函数的综合运用，正确运用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
（1）把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可求出和的值，
（2）先判断出点，点分别在反比例函数和直线上，得出交点坐标，根据可得结论．
（3）联立和，根据直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点求出，求出C点和B点的坐标，根据两点间距离公式求出，，从而可得结论．
（1）解：把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可得：
，，
解得，，；
（2）解：由（1）知，
∴点，点，
∴点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，
∴由（1）知两函数图象交点坐标为，
∴当，的取值范围是．
（3）解：由（1）知直线的解析式为，
联立方程组得，，
整理得，，
∵直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵与轴交于点，
∴令，则
∴，
联立方程组，
解得，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
10．(1)
(2)①；②当点C的坐标为时，的面积最大，最大值为．
（1）把点A坐标代入直线解析式中求得，从而求得直线解析式；再把点B坐标代入直线解析式中可求得点B坐标，从而可求得反比例函数解析式；
（2）①根据点D的横坐标，可求得点D的纵坐标，得点D的坐标，进而求得点C的坐标，求得的长，由平行四边形性质得，结合点A的坐标即可求得点E的坐标；
②设，则可求得点C的坐标，求得，则可得的面积关于a的函数关系式，即可求得最大值．
（1）解：∵函数的图象交x轴于点，
∴，
解得：，
即；
∵直线交反比例函数于点B，
∴，
即，
∴，即，
即反比例函数解析式为；
（2）解：①∵点D的横坐标为4，
∴，
即；
∵轴交线段于点C，
∴点C的纵坐标为4，
∴，
解得：，
即，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
②设，
∵轴交线段于点C，
∴点C的纵坐标为，
∴，
解得：，
即，
∴；
∴，
即，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时点C的坐标为；
∴当点C的坐标为时，的面积最大，最大值为．
本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，二次函数的最值等知识．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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