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专题七、“手拉手”模型
基础模型
图示 在 内且拉手线无交点 在 外且拉手线无交点 在 外且拉手线有交点
特点 在等腰 中，，在等腰 中，，，将 绕点 旋转一定角度后，连接 （称为"拉手线"，左手拉左手，右手拉右手），相交于点 ，连接
结论 1. （即拉手线相等）； 2. 平分 ； 3.
结论分析
结论 1:
证明:
在 和 中，
结论 2: 平分
证明: 如图，过点 分别作 于点 于点
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 平分 (角平分线的判定).
经典题目：
1．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③ DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等边三角形；
③平分；
④△BPO≌△EDO．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．如图，和都是等腰直角三角形，，且点、、在同一条直线上，连接．
（1）的度数为 ．
（2）若、分别是、的中点，连接，，，则的值为 ．
4．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，将线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，，．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，，则．其中正确的结论有 （填正确的序号）
5．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ．
(1)如图1，若；
①说明：；
② 求 的度数．
(2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
6．如图，在和中，，，若，连接、交于点P；
(1)求证∶．
(2)求的度数．
(3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
7．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接．
(1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等）
(2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由；
(3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系．
8．（1）如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论．
（2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（ ）
A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
（3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由．
9．【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）
10．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．
(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．
(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．
(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．
参考答案
1．D
【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断．
【详解】∵DAB=CAE
∴DAB+BAC=CAE+BAC
∴DAC=EAB
∵AB=AD，AC=AE
∴△ADC≌△ABE
∴CD=BE，故①②正确；
∵△ADC≌△ABE
∴ADC =ABE
设AB与CD交于G点，
∵AGD =BGC
∴DOB=DAB=50°,故③正确；
过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，
则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高
∵△ADC≌△ABE
∴AF=AH
∴点A在DOE的平分线上，④正确
故选D．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定．
2．B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，
∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，
∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，
∴△CPQ是等边三角形；
∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，
∴PD=QE，，
过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴，
∴CG=CH，
∴平分，
∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．
∴④的说法是错误的；
故答案为①②③，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
3． 90°
【分析】（1）先根据已知条件证明△AOC ≌△BOD，再根据等腰直角三角形的性质计算即可．
（2）先利用中位线定理得出BD的长，再根据全等三角形的性质得出AC，利用勾股定理得出AP，根据△AOC≌△BOD，利用相似比和面积的关系计算即可．
【详解】（1)∵△AOB与△COD都是等腰直角三角形
∴ OA=OB. OC=OD
∠ODC= ∠OCD=45°
又∵ ∠AOB-∠BOC= ∠COD- ∠BOC
∴ ∠AOC=∠BOD，
即OA=OB，OC=OD，
∠AOC= ∠BOD
∴ △AOC ≌△BOD (SAS) ，
∴ ∠BDO=∠ACO=180°-∠OCD=135°，
∴ ∠ADB=∠BDO-∠ODC＝135°-45°=90°；
（2)由题意可知PC是△ABD的中位线，
∴ BD=2PC=2， PC∥BD
∴ △ACP是直角三角形，
又∵△AOC≌△BOD
∴AC=CD=BD=2，
∴AP=
AB=
又△COD∽△AOB，
∴；
故答案为：90°；
【点睛】本题考查手拉手模型、相似三角形、全等三角形、勾股定理、相似三角形的性质．了解手拉手模型对解决本题有很大的作用．熟悉相似三角形的性质、判定是关键．
4．①②④
【分析】证明△≌△，可得，，，根据三角形内角和定理可判断①正确；在Rt△中，，即，从而判断②正确；③证明，故可判断③错误；连接AC与BD交于点O，计算可得CO＝9，根据正弦定理可判断④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵线段CE绕点C按顺时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴△是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
在△和△中，
∴△≌△（SAS），
∴，，
∴，
即△是直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形，E在对角线BD上，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故①正确；
在Rt△中，，
在Rt△中，，
∴，故②正确；
若，则，
在Rt△中，，
∵，
，故③错误；
连接AC与BD交于点O，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EOC＝90°，且是等腰直角三角形，
∵
∴ CO＝，
∵，
∴sin∠DEC＝，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形等知识，解本题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．(1)①见解析
②
(2)．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①利用定理证明即可；
②利用全等三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求解即可；
（2）利用定理证明，得到，从而得到，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）①证明：因为，
所以，即．
在 和中，，
所以．
②解： 由 ①，可得．
所以．
所以．
（2）解：．
理由：因为，
所以，即．
在 和中， ，
所以，
所以．
所以，
所以．
因为，
所以．
6．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；
（1）根据题意得出，即可证明；
（2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；
（3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
7．(1)见解析
(2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析
(3)图见解析，
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论；
（3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在的数量关系为，理由如下：
如图3，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
8．（1），见解析
（2）C
（3）是，
（4）是，
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立；
（3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得．
（4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解．
【详解】解：（1），
证明：和均为等边三角形，
，，．
∴
．
在和中，
，
．
．
（2）和均为等边三角形，
∴．
∴，
∴，
由（1）知：
∴
又∵
∴
∴，故①成立；
∵
∴
∵
∴是等边三角形，故③成立；
∴
∴
∴，故②成立；
由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立；
故选：C．
（3）设交于M，如图3，
由（1）知：
∵，，
∴
∴．
（4）是，。
理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4，
∵和是以和为直角的等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
∴，是定值．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据，利用勾股定理分别求出和即可证明结论；
（2）利用正方形的性质证明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根据∠GBA＋∠ANB＝90°等量代换求出∠EMN＝90°即可；
（3）利用勾股定理分别求出AE、CG和BE，然后利用（1）中结论求出BC即可．
【详解】解：（1）∵，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：，，
∴；
（2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，
∴△CAE≌△GAB（SAS），
∴∠CEA＝∠GBA，
∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，
∴∠CEA＋∠MNE＝90°，
∴∠EMN＝90°，
∴；
（3）如图3，连接CG，BE，
∵，，，
∴AC＝8，AE＝，
∴AB＝10，
∴CG＝，BE＝，
∵，
∴由（1）可知：，即，
∵BC＞0，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．
10．(1)是
(2)4或3
(3)见解析
(4)AC=或．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，从而△BDC是等腰直角三角形，又因为△ABD是等腰三角形，即可得出结论；
（2）由题意知△ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=4，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=3；
（3）利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC=BE；
（4）分∠BDC=90°和∠DBC=90°，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵AD=3，AD=DB=DC，
∴BD=CD=3，
∵BD2+CD2=18，BC2=（3）2=18，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵△ABD是等腰三角形，
∴四边形ABCD是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：∵对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，
∴△ABD是等腰三角形，
当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC==4，
当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC==3，
综上：BC=4或3，
故答案为：4或3；
（3）解：由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE；
（4）解：由题意知：△BDC是等腰直角三角形，
当∠BDC=90°时，如图，作DE⊥AD，取DE=AD，连接AE，BE，
由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE，
∵AD=3，△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=3，∠EAD=45°，
∵∠DAB=45°，
∴∠EAB=90°，
由勾股定理得BE=，
∴AC=；
当∠DBC=90°时，如图，同理可得
AE=4，
DE=AC=，
综上：AC=或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性．

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