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2025年广东省深圳市中考数学适应性训练数学试卷
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个是正确的）
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2 . 截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A．1 B．1 C．0 D．1
3. 在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，
演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，
伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，
当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．平分
C．线段垂直平分线段 D．
为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，
当为（　　）度时，平行于支撑杆．
A．15 B．60 C．70 D．115
文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
如图，在矩形中，连接，分别以B．D为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧交于P、Q两点，作直线，分别与、交于点M、N，连接、．
若，，则四边形的周长为（　　）
A．15 B．9 C． D．
7 .如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．
被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　）
A．160 B． C．200 D．
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，
连接与相交于点H，给出下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9 .已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，
若，，则的长为 ．
小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，
如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为 千米．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，
轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，
点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，的延长线过点C．
若，则 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14.计算：．
15. 先化简：，再从中选择一个合适的数代入求值．
16 . 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，
采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，
教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，
选项为常考的五个实验：
A. 高锰酸钾制取氧气； B．电解水； C．木炭还原氧化铜；
D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，
并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
______，E所对应的扇形圆心角是______；
(2) 请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
(3) 某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．
已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，
若小明从五个实验中任意选取两个，
请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，
某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，
请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
如图，是的外接圆，是的直径，是的中点．
交的延长线于点，交于点，点是上的一点，且与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．
下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．
以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．
根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，
点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，
人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．
若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
① 请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
② 此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3) 为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，
一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，
另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，
为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，
另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
20. 综合与实践
【问题情景】
数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）小红将矩形纸片按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则 ．
【探究与实践】
（2）小亮受到此问题的启发，用矩形（如图②），继续探究，过程如下：
操作一：将矩形对折，使与重合，折痕为，将纸片展平；
操作二：将矩形纸片沿折叠，使点A落在上的点M处，延长交的延长线于点N．
①
②若，，求的长．
【拓展应用】
（3）小明深入研究并提出新的探究点
将矩形纸片换为正方形纸片（如图③），边长为8，将矩形纸片沿折叠，
使点A落在正方形内一点M，过点M作，分别交、于点E、F，将纸片展平，
当点P为中点时，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年广东省深圳市中考数学适应性训练数学试卷解析
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个是正确的）
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2 . 截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A．1 B．1 C．0 D．1
【答案】D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：D．
3. 在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，
演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，
伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，
当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B．平分
C．线段垂直平分线段 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的
∴，
∵，，
∴，
∴，，判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段．
【详解】解：∵平分，
，
∴平分，
∵，，
∴点A、D在线段的垂直平分线，
∴线段垂直平分线段，
无法证明，故D符合题意，不符合题意．
故选：D．
为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，
图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，
当为（　　）度时，平行于支撑杆．
A．15 B．60 C．70 D．115
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，平行的性质．根据得出，根据三角形内角和定理得出，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故选：C．
文化情境·数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设雀每只x两，燕每只y两，五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．据此列方程组即可．
【详解】解：设雀每只x两，燕每只y两，
由题意可得，，
故选：B
如图，在矩形中，连接，分别以B．D为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧交于P、Q两点，作直线，分别与、交于点M、N，连接、．
若，，则四边形的周长为（　　）
A．15 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】由作图过程可得：为的垂直平分线，得出，，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出．
【详解】解：由作图过程可得：为的垂直平分线，
∴，，
设与交于点O，如图，
则．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴四边形的周长，
设，则，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴四边形的周长．
故选：A．
7 .如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．
被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　）
A．160 B． C．200 D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
是的一个外角，，，
，
，
米，
在中，（米），
该主塔的高度是米，
故选：D．
8. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，
连接与相交于点H，给出下列结论：其中正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型；
①正确利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；
②根据平行得出，再根据 ， ， 得出即可判断；
③通过， 得出与不相似，即可判断；
④证明，利用相似三角形的性质即可证明；
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，故②正确，
∵，
∴与不相似，故③错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9 .已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ．
【答案】2
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
去括号得：，
解得：，
故答案为：2
如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，
若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，
如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为 千米．
【答案】
【分析】设直线的解析式为：，直线的解析式为：；得到直线和的解析式，求出当时，的值，即可．
【详解】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：（千米）．
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，
轴于点．将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、折叠问题等知识点，作轴，垂足为,利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果，熟练掌握图象上点的坐标特征是解决此题的关键．
【详解】解:设点坐标为,则,
,
,
由对称可知：,
,
如图，作轴，垂足为,则，
,
由勾股定理得，，
,,
点在反比例函数图象上，
,
在中，
,
由勾股定理得,即,
由解得，
故答案为：．
如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，
点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，的延长线过点C．
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，过点E作于点H，连接，设，，由已知可得，根据中点的性质可得，由矩形的性质和折叠的性质可证得，可得，，由平行线的性质可得，，推出，，利用勾股定理建立方程，求得，进而求得，即可得到答案．
【详解】解：设，，
，
，
是中点，
，
过点E作于点H，连接，则，
四边形为矩形，
，，，
四边形和四边形为矩形，
，，
由折叠知，，，，，
，
的延长线过点C，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14.计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的计算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．原式先根据根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可．
【详解】解：
．
15. 先化简：，再从中选择一个合适的数代入求值．
【答案】；当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对分子分母因式分解，然后约分化简，再化为同分母分式计算，最后根据分式有意义的条件选取合适的数代入计算求值即可．
【详解】解：
，
观察上式，时都使分式无意义，
当时，原式．
16 . 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，
采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，
教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，
选项为常考的五个实验：
A. 高锰酸钾制取氧气； B．电解水； C．木炭还原氧化铜；
D．一氧化碳还原氧化铜； E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，
并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
______，E所对应的扇形圆心角是______；
(2) 请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
(3) 某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．
已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，
若小明从五个实验中任意选取两个，
请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】(1)50，72
(2)120
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，列表或画树状图求概率，解题的关键是数形结合，根据题意画出树状图或列出表格．
（1）先求出问卷调查的总人数，再求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800人乘以D类所占的百分比即可；
（3）先根据题意进行列表，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，
某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，
请你根据以下素材，探索完成任务：
如何确定排球和足球购买方案？
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠．
问题解决
任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格．
任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？
【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键．
（1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可．
（2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可．
【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元，
根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
故，
答：每个排球80元，每个足球100元．
任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得，
解得，
设总费用为w元，根据题意，
故y随x的增大而减小，
∴时，w最小，最小为4000元，
故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元．
如图，是的外接圆，是的直径，是的中点．
交的延长线于点，交于点，点是上的一点，且与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，由切线的性质得，由是的直径，得到，则，即可证明；
（2）由是的中点，，得，求得，由，求得，由，求得，进而得到，再证明，则，由，，得，则，推出．
【详解】（1）
证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
是的直径，
，
，
；
（2）解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，，
，
，
，
的长为．
如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．
下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．
以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，
建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．
根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，
点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，
人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．
若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
① 请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
② 此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3) 为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，
一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，
另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，
为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，
另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
20. 综合与实践
【问题情景】
数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）小红将矩形纸片按如图所示的方式折叠（如图①），使点A落在边的中点M处，折痕为BP，把纸片展平，则 ．
【探究与实践】
（2）小亮受到此问题的启发，用矩形（如图②），继续探究，过程如下：
操作一：将矩形对折，使与重合，折痕为，将纸片展平；
操作二：将矩形纸片沿折叠，使点A落在上的点M处，延长交的延长线于点N．
①
②若，，求的长．
【拓展应用】
（3）小明深入研究并提出新的探究点
将矩形纸片换为正方形纸片（如图③），边长为8，将矩形纸片沿折叠，
使点A落在正方形内一点M，过点M作，分别交、于点E、F，将纸片展平，
当点P为中点时，求的长．
【答案】（1）；（2）①，②；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可知，，，，有，可推出，，从而求得；
（2）①根据折叠可知，有，可证，而，故；
②根据①结论可求出，可求得，，根据，可求出的值；
（3）设，则，，可证∽，有，可求出，再根据，列出关于的一元二次方程，解方程取正根即可求解．
【详解】解：（1）
由折叠性质可知：
∴，
∵M为中点
∴
∵
∴
∴
∴
即度数为
（2）①
由（1）可知：
∵E为中点
∴
∵
∴
∵
∴
即
②∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
在中，
即
∴；
（3）由（2）知
∵P为中点
∴
∴，
设，则，
，
∵，
∴，
又∵，
∴∽，
∴
∴
∴
在中
∴
解得：（舍去），，
∴的长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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