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第4章 平面内的两条直线 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．若线段 ， 分别是 边上的高线和中线，则（　　）
A． B． C． D．
2．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，且，，则（　　）
A． B． C． D．
3．两条平行线被第三条直线所截，则（　　）
A．一对内错角的平分线互相平行
B．一对同旁内角的平分线互相平行
C．一对对顶角的平分线互相平行
D．一对邻补角的平分线互相平行
4．如图，下列给出的条件中，不能直接判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（　　）
A．26° B．36° C．46° D．56°
6．下列说法正确的是（　　）
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
7．如图，已知∥，直线分别交、于点、，NG平分，若则的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．35°
8．如图，下列判断正确的是（　　）
A．若∠1=∠2，则AD∥BC
B．若∠1=∠2，则AB∥CD
C．若∠A=∠3，则AD∥BC
D．若∠3+∠DAB=180° ，则AB∥CD
9．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（　　）
A．108° B．110° C．114° D．115°
10．如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )
A．° B．°
C．° D．
二、填空题
11．如图，已知∠1=75°，如果CD∥BE，那么∠B=　 　.
12．下列说法：①两点确定一条直线；②射线OA和射线AO是同一条射线；③对顶角相等；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短.正确的序号是　 　.
13．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　 　.
14．观察如图所示的长方体，填空．
（1）用符(号(“∥”或“⊥")表示下列两条棱的位置关系：
A1B1　 　AB，A1A　 　AB，
A1D1　 　CD，AD　 　BC；
（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　(填“是”或“不是”)平行线， 由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线．
15．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C'，且BC'与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=　 　．
16．如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于　 　(用含n的式子表示)．
三、综合题
17．如图：
（1）如果∠1=∠4，根据　 　，可得AB∥CD；
（2）如果∠1=∠2，根据　 　，可得AB∥CD；
（3）如果∠1+∠3=180 ，根据　 　，可得AB∥CD .
18．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD上的B'处，AE是折痕。
（1）若B'E∥CD，求∠B的度数。
（2）在(1)的条件下，如果∠C=128°，求∠EAB的度数。
19．已知直线l1∥l2，且l4和l1、l2分别交于A、B两点，点P为线段AB上的一个定点如图1）
（1）写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．
（2）如果点P为线段AB上的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（必说理由）
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和点A、点B不重合）
①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．
②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）
20．
（1）问题背景：已知：如图①-1， ，点 的位置如图所示，连结 ，试探究 与 、 之间有什么数量关系，并说明理由.（将下面的解答过程补充完整，括号内写上相应理由或数学式）
解：（1） 与 、 之间的数量关系是： （或 只要关系式形式正确即可）
理由：如图①-2，过点 作 .
∵ （作图），
∴ （　　），
∴ （已知）
（作图），
∴ _▲_（　　），
∴ _▲_（　　），
∴ （等量代换）
又∵ （角的和差），
∴ （等量代换）
总结反思：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决.
（2）类比探究：如图②， ，点 的位置如图所示，连结 、 ，请同学们类比（1）的解答过程，试探究 与 、 之间有什么数量关系，并说明理由.
（3）拓展延伸：如图③， ， 与 的平分线相交于点 ，若 ，求 的度数，请直接写出结果，不说明理由.
21．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
（1）如图1，连EF、EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系　 　
（2）如图2，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量，写出这个数量关系，并说明理由；
（3）若H为AB、CD间的一点，且满足，，则直接写出∠FEG与∠FHG之间的数量关系　 　
22．如图，已知A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，解答下列各题：
（1）在图上画出△A1B1C1；
（2）写出点的A1，B1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
23．如图，在三角形ABC中，AC=4
cm，BC=3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE=8 cm，BD=2 cm.
求：
（1）△ABC沿AB方向平移的距离；
（2）四边形AEFC的周长.
24．如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．
（1）填空：解：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°
∵AB∥CD，EF∥AB
∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠EPD+　 　=180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．
25．已知 ，点 在直线 ， 之间，连接 ， ，如图1，易得 .
（1）若 ，请在如图1中画出 的角平分线 ， 的角平分线 ， ， 两线交于点 ，利用上述结论，求 的度数；
（2）若 平分 ，将线段 沿 平移至 .
①如图2，若 ， 平分 ，求 的度数；
②如图3，若 平分 ，请写出 与 的数量关系，并说明理由.
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第4章 平面内的两条直线 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．若线段 ， 分别是 边上的高线和中线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由垂线段最短，可知 同一条边上的高线不可能比中线长，
只有当中线和高线重合时， ，
因此 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短即可判断.
2．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，由于折射率相同，所以在空气中平行的光线，在水中也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
3．两条平行线被第三条直线所截，则（　　）
A．一对内错角的平分线互相平行
B．一对同旁内角的平分线互相平行
C．一对对顶角的平分线互相平行
D．一对邻补角的平分线互相平行
【答案】A
【解析】【解答】解：A、如图①：
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE，
∵EM与FN分别是∠BEF与∠CFE的角平分线，
∴∠MEF= ∠BEF，∠NFE= ∠CFE，
∴∠NFE=∠MEF，
∴EM∥FN；
故本选项正确；
B、如图②：
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EM与FM分别是∠BEF与∠DFE的角平分线，
∴∠MEF= ∠BEF，∠MFE= ∠DFE，
∴∠MEF+∠MFE=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM；
故本选项错误；
C、如图③：
∵∠KEA=∠BEF，EM与EN分别是∠BEF与∠AEK的角平分线，
∴∠AEN=∠BEM，
∴∠NEK+∠BEK+∠BEM=∠AEN+∠NEK+∠BEK=180°，
∴M，E，N共线；
故本选项错误；
D、如图④：
∵FM与FN分别是∠EFD与∠EFC的角平分线，
∴∠EFN= ∠EFC，∠EFM= ∠EFD，
∴∠EFN+∠EFM= （∠EFC+∠EFD）=90°，
∴∠MFN=90°，
∴NF⊥MF；
故本选项错误．
故选A．
【分析】首先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质、角平分线的定义，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
4．如图，下列给出的条件中，不能直接判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
5．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（　　）
A．26° B．36° C．46° D．56°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，∵直线l4∥l1，
∴∠1+∠AOB=180°，而∠1=124°，
∴∠AOB=56°，
∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB
=180°﹣88°﹣56°
=36°，
故选B．
【分析】如图，首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题．
6．下列说法正确的是（　　）
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
【答案】D
【解析】【解答】解：根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
A，B，C错误；D正确；
故选：D．
【分析】根据平行线的定义，即可解答．
7．如图，已知∥，直线分别交、于点、，NG平分，若则的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．35°
【答案】D
8．如图，下列判断正确的是（　　）
A．若∠1=∠2，则AD∥BC
B．若∠1=∠2，则AB∥CD
C．若∠A=∠3，则AD∥BC
D．若∠3+∠DAB=180° ，则AB∥CD
【答案】B
9．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（　　）
A．108° B．110° C．114° D．115°
【答案】C
【解析】【解答】解：过点D，E作DF∥k，GE∥k，如图，
∵k∥l，
∴DF∥GE∥k∥l，
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最大整数值为114°.
故答案为：C.
【分析】过点D，E作DF∥k，GE∥k，根据平行公理得出DF∥GE∥k∥l，根据平行线的性质分别列出等式，结合已知条件，推出 ，则可得出 ，根据∠3<90°，求出d的范围，再推出，从而求出∠4的范围，然后解不等式，在其范围内取最大整数即可.
10．如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )
A．° B．°
C．° D．
【答案】B
二、填空题
11．如图，已知∠1=75°，如果CD∥BE，那么∠B=　 　.
【答案】105°
【解析】【解答】如图，
∵∠1=75°，∴∠2=180°﹣75°=105°，
∵CD∥BE，∴∠B=∠2=105°，
故答案为105°.
【分析】由题意先求出∠1的邻补角∠2，再根据两直线平行同位角相等可求解。
12．下列说法：①两点确定一条直线；②射线OA和射线AO是同一条射线；③对顶角相等；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短.正确的序号是　 　.
【答案】①③④
【解析】【解答】①两点确定一条直线，正确；②射线OA和射线AO不是同一条射线，错误；③对顶角相等，正确；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短，正确，
故填①③④.
【分析】利用确定直线的条件、射线的定义、对顶角的性质、三角形的三边关系分别判断后即可确定正确的选项.
13．如图，如果AB∥CD，则角α＝130°，γ＝20°，则β＝　 　.
【答案】70°
【解析】【解答】解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠FED=∠D，
∵∠A=α＝130°，∠D=γ＝20°，
∴∠AEF=50°，∠FED=20°，
∴β＝∠AEF+∠FED=50°+20°=70°，
故答案为：70°.
【分析】过E作EF∥AB，可证得EF∥AB∥CD，利用平行线的性质可推出∠A+∠AEF=180°，∠FED=∠D，再由β＝∠AEF+∠FED，代入计算求出β的值.
14．观察如图所示的长方体，填空．
（1）用符(号(“∥”或“⊥")表示下列两条棱的位置关系：
A1B1　 　AB，A1A　 　AB，
A1D1　 　CD，AD　 　BC；
（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　 　(填“是”或“不是”)平行线， 由此可知，在　 　内，两条不相交的直线才能叫做平行线．
【答案】（1）∥；⊥；⊥；∥
（2）不是；同一个平面
【解析】【解答】解：（1）∵长方体，
∴ A1B1 ∥AB，A1A⊥AB，A1D1⊥CD，AD∥BC；
故答案为：∥，⊥，⊥，∥.
（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们不是平行线， 由此可知，在同一个平面内内，两条不相交的直线才能叫做平行线.
故答案为：不是，同一个平面内.
【分析】（1）观察图形，利用长方形的性质：长方体相邻的两条棱互相垂直；对边平行，且相等，由此可得答案.
（2）观察图形可得到A1B1与BC不在同一个平面内，因此不是平行线，由此 可得平行线的定义.
15．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C'，且BC'与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=　 　．
【答案】25°．
16．如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于　 　(用含n的式子表示)．
【答案】
三、综合题
17．如图：
（1）如果∠1=∠4，根据　 　，可得AB∥CD；
（2）如果∠1=∠2，根据　 　，可得AB∥CD；
（3）如果∠1+∠3=180 ，根据　 　，可得AB∥CD .
【答案】（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】(1)∠1和∠4是一对同位角，由∠1=∠4推知AB∥CD，可知是“根据同位角相等，两直线平行”；(2)∠1和∠2是一对内错角，由∠1=∠2推知AB∥CD，可知是根据“内错角相等，两直线平行”；(3)∠1和∠3是同旁内角，∠1+∠3=180 ，即∠1+∠3互补，由∠1+∠3=180 推知AB∥CD ，可知是根据“同旁内角互补，两直线平行”。
【分析】（1）两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行得出结论 ；
（2）两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行得出结论 ；
（3）两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角。同旁内角，“同旁”指在第三条直线的同侧；“内”指在被截两条直线之间。根据平行线的判定定理，同旁内角相互补，两直线平行得出结论 。
18．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD上的B'处，AE是折痕。
（1）若B'E∥CD，求∠B的度数。
（2）在(1)的条件下，如果∠C=128°，求∠EAB的度数。
【答案】（1）解：∵B′E∥CD
∴∠D=∠AB′E=90°
∴∠B=∠AB′E=90°
（2）解：∵B′E∥CD
∴∠C=∠BEB′=128°
∵∠AEB=∠AEB′= ∠BEB′=64°
∵∠B=90°，
∠EAB=90°﹣∠AEB=90°﹣64°=26°
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质，由等量代换，即可得到∠B的度数；
（2）根据直线平行的性质，由角的和差关系计算得到∠EAB的度数即可。
19．已知直线l1∥l2，且l4和l1、l2分别交于A、B两点，点P为线段AB上的一个定点如图1）
（1）写出∠1、∠2、∠3、之间的关系并说出理由．
（2）如果点P为线段AB上的动点时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（必说理由）
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，（点P和点A、点B不重合）
①如图2，当点P在射线AB上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系并说出理由．
②如图3，当点P在射线BA上运动时，∠1、∠2、∠3之间关系（不说理由）
【答案】（1）解：延长DP交直线l2于E，如图1，
∵直线 l1∥l2，
∴∠DEC=∠1，
∵∠3=∠DEC+∠2，
∴∠3=∠2+∠1；
（2）解：不变化，∠3=∠1+∠2，
理由是：∵直线 l1∥l2，
∴∠DEC=∠1，
∴∠3=∠2+∠DEC=∠1+∠2，
（3）解：①当点P在射线AB上运动时，如图2，
∵直线 l1∥l2，
∴∠PFB=∠1，
∴∠PFB=∠2+∠3，
∴∠1=∠2+∠3，
②如图3，当点P在射线BA上运动时，
∵直线 l1∥l2，
∴∠PGA=∠2，
∴∠PGA=∠1+∠3，
∴∠2=∠1+∠3．
【解析】【分析】（1）延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（2）延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（3）画出图形，延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可；（4）画出图形，延长DP交直线l2于E，根据平行线得出∠1=∠DEC，根据三角形外角性质求出即可．
20．
（1）问题背景：已知：如图①-1， ，点 的位置如图所示，连结 ，试探究 与 、 之间有什么数量关系，并说明理由.（将下面的解答过程补充完整，括号内写上相应理由或数学式）
解：（1） 与 、 之间的数量关系是： （或 只要关系式形式正确即可）
理由：如图①-2，过点 作 .
∵ （作图），
∴ （　　），
∴ （已知）
（作图），
∴ _▲_（　　），
∴ _▲_（　　），
∴ （等量代换）
又∵ （角的和差），
∴ （等量代换）
总结反思：本题通过添加适当的辅助线，从而利用平行线的性质，使问题得以解决.
（2）类比探究：如图②， ，点 的位置如图所示，连结 、 ，请同学们类比（1）的解答过程，试探究 与 、 之间有什么数量关系，并说明理由.
（3）拓展延伸：如图③， ， 与 的平分线相交于点 ，若 ，求 的度数，请直接写出结果，不说明理由.
【答案】（1）解：∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
（或∠APC=360°-（∠PAB+∠PCD）只要关系式形式正确即可）
理由：如图①-2，过点P作PE∥AB.
∵PE∥AB（作图），
∴∠PAB+∠APE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
PE∥AB（作图），
∴PE∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠CPE+∠PCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD=180°+180°=360°（等量代换）
又∵∠APE+∠CPE=∠APC（角的和差），
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°（等量代换）
（2）解：∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是：∠APC=∠PAB+∠PCD
理由：过点P作PE∥AB，
∴∠PAB=∠APE（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
PE∥AB（作图），
∴PE∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠PCD=∠CPE（两直线平行，内错角相等）
∵∠APE+∠CPE=∠APC（角的和差），
∴∠APC=∠PAB+∠PCD（等量代换）
（3）∠P=56°.
【解析】【解答】（3）∠P=56°.
理由：如图③，∵ 与 的平分线相交于点 ，
∴∠PBA=2∠ BA， ∠PDC=2∠ DC，
∴∠PBA+ ∠PDC=2（∠ BA+ DC）
由（2）可得： ∠P=∠PBA+∠PDC， ∠ =∠AB +∠CD
∴∠P=2（∠ BA+ DC）=2∠ =2×28°=56°
【分析】（1）如图②，过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得到 与 、 之间的数量关系；（2）过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得出∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD，进而得到∠APC=∠APE+∠CPE，即可得到∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）根据角平分线的性质及平行线的性质求解即可.
21．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点．
（1）如图1，连EF、EG，直接写出∠FEG与∠AFE和∠CGE之间的数量关系　 　
（2）如图2，∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，探究∠FEG与∠FHG之间的数量，写出这个数量关系，并说明理由；
（3）若H为AB、CD间的一点，且满足，，则直接写出∠FEG与∠FHG之间的数量关系　 　
【答案】（1）
（2）解：，理由如下，
分别过H、E点作AB的平行线HP、EQ，如图，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵∠AFE与∠CGE的平分线交于H点，
∴，，
∴．
（3）
【解析】【解答】解：（1）过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，
∴∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠EGC，
∴∠FEG=∠FEH+∠HEG=∠AFE+∠EGC.
故答案为：∠FEG=∠AFE+∠EGC.
（3）由（1）可知∠FEG=∠AFE+∠EGC，∠FHG=∠AFH+∠CGH，
∵∠HFE=∠AFE，∠HGE=∠CGE，
∴∠AFH+∠CGH=(∠AFE+∠CGE)，
∴∠FHG=∠FEG.
【分析】（1）过点E作EH∥AB，则EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AFE=∠FEH，∠HEG=∠EGC，然后根据角的和差关系进行解答；
（2）分别过H、E点作AB的平行线HP、EQ，由平行线的性质可得∠AFH=∠FHP，∠AFE=∠FEQ，∠PHG=∠CGH，∠QEG=∠EGC，则∩FHG=∠AFH+∠CGH，∠FEG=∠AFE+∠CGE，由角平分线的概念可得∠AFH=∠AFE，∠CGH=∠CGE，据此解答；
（3）由（1）可知∠FEG=∠AFE+∠EGC，∠FHG=∠AFH+∠CGH，结合已知条件可得∠AFH+∠CGH=(∠AFE+∠CGE)，据此解答.
22．如图，已知A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，解答下列各题：
（1）在图上画出△A1B1C1；
（2）写出点的A1，B1的坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求
（2）解：如图所示：A1（0，6），B1（﹣1，2）
（3）解：△A1B1C1的面积为： ×6×4=12
【解析】【分析】（1）直接利用平移变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移后图形得出对应点坐标即可；（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
23．如图，在三角形ABC中，AC=4
cm，BC=3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE=8 cm，BD=2 cm.
求：
（1）△ABC沿AB方向平移的距离；
（2）四边形AEFC的周长.
【答案】（1）解：∵△ABC沿AB方向平移至△DEF，
∴AD=BE.
∵AE=8 cm，BD=2 cm，
∴AD=BE= =3cm；
即△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm.
（2）解：由平移的性质可得：CF=AD=3cm，EF=BC=3cm，
∵AE=8cm，AC=4cm，
∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm) .
∴四边形AEFC的周长是18cm.
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得AD=BE，从而可得AD=BE=（AE-BD），据此即得结论；
（2）由平移的性质可得CF=AD=3cm，EF=BC=3cm，利用四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC即可求出结论.
24．如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．
（1）填空：解：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°
∵AB∥CD，EF∥AB
∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠EPD+　 　=180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．
【答案】（1）CD∥EF；∠D
（2）解：猜想∠BPD=∠B+∠D，
理由：过点P作EP∥AB，
∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D
（3）图③结论：∠D=∠BPD+∠B，
理由是：过点P作EP∥AB，
∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
图④结论∠B=∠BPD+∠D，
理由是：∵EP∥AB，
∴∠B=∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD=∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D
【解析】【解答】（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠D=180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，
∴∠B+∠BPD+∠D=360°，
故答案为：CD∥EF，∠D；
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据平行线的性质，可证得∠B+∠BPE=180° ，再证明CD∥EF，就可证得∠EPD+∠D=180°，两式相加，就可得出∠BPD与∠B、∠D的数量关系。
（2） 过点P作EP∥AB ，就可证得CD∥EP， 利用两直线平行，内错角相等，可证∠B=∠BPE，∠EPD=∠D，就可证得∠BPD与∠B、∠D的数量关系 。
（3）过点P作EP∥AB，易证CD∥EP，再根据平行线的性质，可证得∠B=∠BPE，∠EPD=∠D，即可证得∠BPD与∠B、∠D的数量关系；图4，利用同样的方法，可证得∠BPD与∠B、∠D的数量关系。
25．已知 ，点 在直线 ， 之间，连接 ， ，如图1，易得 .
（1）若 ，请在如图1中画出 的角平分线 ， 的角平分线 ， ， 两线交于点 ，利用上述结论，求 的度数；
（2）若 平分 ，将线段 沿 平移至 .
①如图2，若 ， 平分 ，求 的度数；
②如图3，若 平分 ，请写出 与 的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：如图所示，
过点M作MN∥AB，
∵AB//CD，
∴MN∥AB//CD，
∴∠BAM=∠AMN，∠DCM=∠CMN，
∵AP是∠BAE的角平分线，CQ是∠DCE的角平分线，
∴∠BAM= ∠BAE，∠DCM= ∠DCE，
即∠AMN= ∠BAE，∠CMN= ∠DCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=90°，
∴∠AMC=∠AMN+∠CMN= ∠BAE+ ∠DCE= （BAE+∠DCE）= 45°；
（2）解：∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH=∠EAH，
①∵FH平分∠DFG，
∴设∠GFH=∠DFH=x，
又∵CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠DCE=80°，
∴∠BAH=∠EAH=40°-x，
如图，过点H作HI∥AB，
∴∠AHF=∠BAH+∠DFH =40°-x+x=40°；
②∠AHF=90°+ ∠AEC，理由如下：
设∠GFD=2m，∠BAH=∠EAH=n，
∵FH平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH= = 90°-m，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠DCE=2n+2m，即m+n= ∠AEC，
如图，过点H作HJ∥AB，
∴∠AHF-∠AHJ +∠CFH=∠AHF-n +∠CFH= 180°，
即∠AHF-n +90°-m= 180°，
∴∠AHF=90°+（m+n），
∴∠AHF=90°+ ∠AEC.
【解析】【分析】（1）过点M作MN∥AB，结合已知条件可证得MN∥AB//CD，利用平行线的性质可推出∠BAM=∠AMN，∠DCM=∠CMN；再利用角平分线的定义可证得∠AMN= ∠BAE，∠CMN= ∠DCE，再利用垂直的定义可求出∠AEC=90°；然后根据∠AMC=∠AMN+∠CMN，可求出∠AMC的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠NAH=∠EAH，①利用角平分线的定义，设∠GFH=∠DFH=x，利用平行线的性质可表示出∠ECD=∠GFD=2x，同时可表示出∠BAH；过点H作HI∥AB，即可去除∠AHF的度数；②设∠GFD=2m，∠BAH=∠EAH=n，利用角平分线的定义可表示出∠CFH，同时可证得m+n= ∠AEC；过点H作HJ∥AB，利用平行线的性质可证得∠AHF-n +∠CFH= 180°，从而可推出∠AHF=90°+（m+n），整体代入可表示出∠AHF.
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