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13 几何图形初步
分值：50分 时间30分钟
选择题（15分）
1、（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2、（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校 B．安 C．平 D．园
4、（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
5、（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．A、B、C三点在一条直线上
B．连接、，则是直角三角形
C．连接，
D．连接、，则
填空题（15分）
6、（2024·广西·二模）从地到地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是因为 ．
7、（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则_________

8、（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有_________个.

9、（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ．
10、（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ．
简答题（20分）
11、（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片以直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？（，）
12、（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的．
【解决问题】
（）当三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
13、（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，求图2中的长．
14、（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1 图2 图3
(1)直接写出的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
答案：
一、选择题（15分）
1、（2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【详解】A、线段不能向两边延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
B、射线向右上方方向延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
C、射线向左下方方向延伸，
∴与会相交，故本选项正确；
D、射线向右上方方向延伸，射线向左下方方向延伸，
∴与不会相交，故本选项错误；
2、（2024·青海·中考真题）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
解：圆锥的侧面展开图是扇形．
故选：D．
3．（2024·四川广安·中考真题）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校 B．安 C．平 D．园
【详解】解：与“共”字所在面相对面上的汉字是“校”，
故选：A．
4、（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，
故选：C．
5、（2024·湖南·模拟预测）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有A、B、C、D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．A、B、C三点在一条直线上
B．连接、，则是直角三角形
C．连接，
D．连接、，则
解：A、连接并延长，点不在直线上，即A、B、C三点不在一条直线上，结论错误，不符合题意；
B、连接、，取格点，，而，即是钝角三角形，结论错误，不符合题意；
C、连接，将点向上平移三个单位，再将点向上平移三个单位，点不在直线上，即不平行，结论错误，不符合题意；
D、由网格可知，，结论正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（15分）
6、（2024·广西·二模）从地到地有许多条路，一般地人们会从直路上通过，而不会走曲折的路，这是因为 ．
解：从地到地有多条道路，人们一般会选中间的直路，而不会走其它的曲折的路，
这是因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
7、（2024·四川·中考真题）如图，，平分，，则_________

【详解】解：∵，，
∴
∵平分，
∴
8、（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有_________个.

解∶∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴图中与互补的角有，，，共3个．
9、（2024·山西·模拟预测）已知直线，将一副三角板按如图所示的方式放置，直角顶点D在直线m上，，另一直角三角板一直角边与直线n重合，，若，则 ．
解：把分别向两方延长交直线于点，交直线于点，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：
10、（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ．
解：，，，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
三、简答题（20分）
11、（2024·陕西·模拟预测）将如图所示的直角三角形纸片以直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，若这个圆锥的体积与一个底面半径是的圆柱的体积相等，则这个圆柱的高是多少？（，）
解：由题意可知，所得圆锥的底面半径是，
高是，设这个圆柱的高是，根据题意，得，
解得，
这个圆柱的高是，
故答案为：．
12、（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的．
【解决问题】
（）当三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
解：（）当三点共线时路程最短的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求；
②过点作的延长线于点，则，千米，千米，
∴千米，
∴千米，
∴最短路线千米，
∴铺设水管最节省的总费用为元．
13、（2024·安徽·三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示 “企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，求图2中的长．
解：如图，图1和图2中七巧板对应如下，
∵正方形的边长为4，
∴，
过点E作交的延长线于点H，
则，
，
，
，
故答案为：．
14、（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
卡纸型号 型号 型号 型号
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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