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2025年江苏省徐州市中考数学二模预测练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：140分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）今年1月份的某天，南京、苏州、徐州、扬州四地最低气温分别为，，，，
其中最低的气温是（　　 ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　 ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
（3分）如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，
则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为（ ）
A．9，8 B．8，9 C．8，8.5 D．19，17
6．（3分）若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　 　）
A． B． C． D．π
（3分）已知整数···，满足下列条件：，…，
依次类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）甲，乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t/钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）2025年春节假期，徐州市共接待游客约8270000人次，游客接待总量创历史新高．
将8270000用科学记数法表示为　 　 ．
（3分）中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图1是漳州市威镇阁，
其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，
这个正八边形的一个外角的度数为 °．
11．（3分）若，则= ．
12．（3分）分式方程的解为x= ．
（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．
若圆锥的底面圆半径r为4cm，扇形的圆心角θ＝120°，则母线长l为　 cm．
若点，，都在反比例函数的图象上，
则、、的大小关系是 （用“<”连接）．
15．（3分）若关于的方程有实数根，则最大的整数的取值为 ．
16 .（3分）如图，是的直径，点C是上的一点，连接，，是的切线，连接．
若平分，，，则 ．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
（3分）如图，E为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，
使点D落在边的中垂线上，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：
（2）化简：．
20．（10分）（1）解方程：
（2）解不等式组：
21．（7分）某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图：
组别 睡眠时间分组 频数
A 4
B 8
C m
D 21
E 7
请根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽取的七年级学生共有______名；
(2)统计图表中，_____；
(3)扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角的度数是_______°；
(4)请估计该校1000名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．
22．（7分）某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
(1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________；
(2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率．
（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），
过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长．
24．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
25．（8分）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且．
(1)求证：；
(2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因．
26．（8分）如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．
(1)当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2)小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
27．（9分）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
28．（11分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，
Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，
求正方形的边长．
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2025年江苏省徐州市中考数学二模预测练习试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：140分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）今年1月份的某天，南京、苏州、徐州、扬州四地最低气温分别为，，，，
其中最低的气温是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较的应用，根据正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解．
【详解】解：，，，且，
∴，
故最低的气温是，
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则A不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意；
C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方等于乘方的积，和完全平方公式可得答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
4．（3分）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
【答案】B
【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
（3分）如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，
则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为（ ）
A．9，8 B．8，9 C．8，8.5 D．19，17
【答案】B
【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可.
【详解】根据图表可知一周参加体育锻炼8小时人数最多，有19人，所以众数为8；
共有50个人即有50个数据，所以中位数是按从小到大排列后第25、第26两个数的平均数作为中位数，根据图示可看出，这两个数都落在了9小时的范围内，故这组数据的中位数是9，
故选B.
6．（3分）若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　 　）
A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，设正方形的边长为1，计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：设正方形的边长为1，则⊙O的直径为，则半径为，⊙O的面积为π（）2=；
正方形的面积为1；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）=．
故选A．
（3分）已知整数···，满足下列条件：，…，
依次类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，…..；依此类推可进行求解．
【详解】解：由题意可得：
，，，
……，
依此规律可得：，
∴；
故选D．
8．（3分）甲，乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t/钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据逐一进行判断，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得：甲步行的速度为（米分）；故①结论正确；
由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故②结论错误；
设乙的速度为米分，
由题意可得：，
解得，
乙的速度为60米分；
乙走完全程的时间（分），
乙到达终点时，甲离终点距离是：（米），故③结论正确；
故正确的结论有：①③．
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）2025年春节假期，徐州市共接待游客约8270000人次，游客接待总量创历史新高．
将8270000用科学记数法表示为　 　 ．
【答案】8.27×106．
【解答】解：8270000＝8.27×106．
故答案为：8.27×106．
（3分）中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图1是漳州市威镇阁，
其外层屋檐的平面示意图可抽象成正八边形，如图2所示，
这个正八边形的一个外角的度数为 °．
【答案】45
【分析】本题考查多边形的外角和．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键．根据多边形的外角和进行计算即可．
【详解】解：正八边形的一个外角的度数为，
故答案为：．
11．（3分）若，则= ．
【答案】-10
【分析】先对进行因式分解，再把a+b和ab的值代入计算即可．
【详解】=
把代入得，原式=．
故答案为：-10．
12．（3分）分式方程的解为x= ．
【答案】4．
【详解】解：去分母得：3x=2x+4，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
故答案为：4．
（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．
若圆锥的底面圆半径r为4cm，扇形的圆心角θ＝120°，则母线长l为　 cm．
【答案】12．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×4＝8π（cm），
设圆锥的母线长为l cm，
则：8π，
解得l＝12，
∴母线长l为12cm．
故答案为：12．
若点，，都在反比例函数的图象上，
则、、的大小关系是 （用“<”连接）．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质得出图象在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据点的横坐标比较即可．
【详解】解：∵中，
∴图象在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
15．（3分）若关于的方程有实数根，则最大的整数的取值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想．时为一元一次方程，有实根；时为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：当，即时，原方程为，方程有实根，
当，即时，
将变形为：
，
解得．
综上所述，的取值范围为，
最大的整数的取值为，
故答案为：．
16.（3分）如图，是的直径，点C是上的一点，连接，，是的切线，连接．
若平分，，，则 ．
【答案】4
【分析】根据圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，切线的性质计算即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，切线的性质，熟练掌握两个定理，切线性质是解题的关键．
【详解】∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，交点为E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
17．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
（3分）如图，E为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，
使点D落在边的中垂线上，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据折叠的性质可得△ADE≌△AD′E，再根据中位线的性质得出AF=EF,从而得出D′F=AF=EF，继而得出∠BAD′=∠FAD′=∠DAE′=30°，再利用直角三角形的性质和勾股定理得出答案；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAB=90°，
由折叠的性质可得：△ADE≌△AD′E，
∴∠AD′E=90°，∠DAE′=∠D′AE
∵点D落在边的中垂线上，
∴GC=GB，EC//FG//AB，
∴AF=EF, ∠BAD′=∠FD′A
∴D′F=AF=EF，
∴∠FAD′=∠FD′A
∴∠BAD′=∠FAD′=∠DAE′=30°，
∴AE=2DE
在Rt△ADE中，，
∴AE2=DE2+AD2，
∴4DE2=DE2+3，
∴DE=1
∴AE=2；
故答案为：2
三、解答题（本大题共有10小题，共86分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【分析】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知实数的性质及整式的运算法则．
（1）根据实数的性质进行化简即可求解．
（2）根据异分母的通分，提公因式、平方差公式因式分解的整式的运算法则即可求解．
【详解】（1）原式
．
（2）原式=
．
20．（10分）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1），；（2）
【分析】本题主要考查解一元二次方程和一元一次不等式组：
（1）方程运用公式法求解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了”的口诀确定不等式组的解集即可
【详解】解：（1）
∵，，，
，
∴，
∴，；
（2）
解不等式，得．
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
21．（7分）某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图：
组别 睡眠时间分组 频数
A 4
B 8
C m
D 21
E 7
请根据图表信息回答下列问题：
(1)本次被抽取的七年级学生共有______名；
(2)统计图表中，_____；
(3)扇形统计图中，B组所在扇形的圆心角的度数是_______°；
(4)请估计该校1000名七年级学生中睡眠不足7小时的人数．
【答案】(1)50；
(2)10；
(3)57.6；
(4)240人．
【分析】（1）根据B组人数和所占比例即可求解；
（2）根据频数分布表中的数据，即可计算出m的值；
（3）根据B组的频率可计算出扇形统计图中B组坐在扇形的圆心角的大小；
（4）根据每天睡眠时长低于7小时的人数在样本的比例来计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数．
【详解】（1）解：本次调查的同学共有：（人），
（2）解：，
（3）解：扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的大小是：，
（4）解：（人），
∴该校1000名七年级学生中睡眠不足7小时的人有240人．
22．（7分）某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
(1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________；
(2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率．
【答案】(1)
(2)亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为
【分析】本题考查了求随机事件的概率、画树状图法或列表法求概率，
（1）从四个主题中随机选择一个，所有的结果数是4，其中选择交通安全手抄报的结果数是1，直接利用概率公式即可得解；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两人选择不同主题手抄报的结果有12种，然后由概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可知亮亮从“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题选择交通安全手抄报的概率为，
故答案为：；
（2）解：设用分别表示交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全四个主题内容，根据题意画出树状图如下：
一共有16种等可能的结果数，其中亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的结果数为12，
亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为：．
答：亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为．
（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），
过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）如图，连结OC．
∵DQ=DC，
∴∠Q=∠QCD．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
∵QP⊥BP，
∴∠QPB=90° ，即∠B+∠Q=90°，
∴∠QCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；
（2）如图，连结AC，
∵BP=6，AP=2，
∴AB=8，
∵在Rt△BQP中，sinQ=，
∴BQ=10，
∵AB是是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠QPB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△QBP，
∴，即，
∴BC=，
∴CQ=BQ-BC=.
24．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
(1)求甲、乙两人各带的钱数；
(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】(1)甲带钱，乙持钱
(2)他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本
【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）分别计算出分开买和合起来买的数量，再比较即可作答．
【详解】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲带钱，乙持钱；
（2）分开买：（本）；
合起来买：（本），
即：（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
25．（8分）正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且．
(1)求证：；
(2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论；
（2），延长交于点，证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下，
延长交于点，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．（8分）如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板固定在支撑板顶端的点C处，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．现量得，．
(1)当支撑板与底座的夹角（）为时，求点C到底座的距离；（结果保留根号）
(2)小强在使用过程中发现，当为且为时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)点C到底座的距离为；
(2)点A到底座的距离为．
【分析】（1）过点作，利用含角直角三角形的性质，求解即可；
（2）过点作，再作，通过证明为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，如下图：
由题意可得：，
∴，
由勾股定理可得：，
即点C到底座的距离为；
（2）解：过点作，再作，如下图：
由题意可得：
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
点A到底座的距离为．
27．（9分）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，有最大值，最大值为，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且,设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
28．（11分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，
Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，
求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
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