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2025年广东省深圳市初中学业水平考试数学二模预测练习试卷
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个是正确的）
1（3分）. 下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，
其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2（3分）.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
3（3分）.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．
小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　　）
A. B. C. D.
4（3分）. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，
则的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
5（3分）. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6（3分） .如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
7（3分） 如图，在中， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，
交于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点P，
连结并延长，交BC于点D．有下列说法：
①线段是的平分线；
②；
③点D到边的距离与的长相等；
④与的面积之比是．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
8.（3分）若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.（3分） 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______
10（3分）. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
11（3分） 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，
乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象
如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
12（3分）. 如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，
函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为 ．
13（3分）.如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．
若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14（5分）.计算：．
15（7分）.先化简，
然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
16（8分）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，
明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，
某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：
A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，
并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，
根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

本次接受抽样调查的总人数是　 　人；
(2) 请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3) 该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有　 人；
(4) 小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，
小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《之伴我熊芯》
（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片
（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．
请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
17（8分）. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，
体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，
已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，
用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
求两种羽毛球拍每副的进价；
(2) 若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，
用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，
种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
18（9分）. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．
如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，
水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，
与直线交于B，C两点，恰有，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，
求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．
19（12分）. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
20（12分）．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
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2025年广东省深圳市初中学业水平考试数学二模预测练习试卷解析
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个是正确的）
1（3分）. 下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D．
2（3分）.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由数轴得到，进而根据点在数轴的位置判断式子的正负逐项判断即可．
【详解】解：由数轴得，
∴，，，，
∴选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合题意，
故选：A．
3（3分）.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．
小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以画出相应树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下，
由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：A．
4（3分）. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出的度数．
由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5（3分）. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
6（3分） .如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A． B．7 C． D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
7（3分） 如图，在中， ，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点P，连结并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段是的平分线；②；③点D到边的距离与的长相等；④与的面积之比是．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】
由基本作图可对①进行判断；线求出，再利用角平分线的定义计算出，则，于是可对②进行判断；根据角平分线的性质可对③进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，所以，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】
由作法得平分，故①正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴点D到边的距离与的长相等，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④不正确．
故选：C．
8.（3分）若阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求不规则图形的面积，涉及三角形面积公式、正方形面积公式、不规则图形的表示、解一元二次方程等知识，根据图形，利用三角形及正方形面积公式分别求得空白部分面积和阴影部分，根据题意列方程组，解方程组即可求得 ，进而可知的值，熟练掌握一元二次方程的解法及间接表示不规则图形面积的方法是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
正方形是由四个全等直角三角形及一个正方形拼成，
，
又，
，
，，
阴影部分的面积是空白部分面积的2倍，
，
，
，解得：或者（舍），
．
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.（3分） 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
，
解得：；
故答案为
10（3分）. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
11（3分） 某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20/二十
【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
12（3分）. 如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，
函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：5．
13（3分）.如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．
若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
【答案】
【分析】利用矩形和折叠的性质，证明，，推出，那么，设，在中，通过勾股定理可求出的长度，
本题考查了，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：通过翻折的性质得到．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
由翻折知，，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，则BE＝B'E＝x－，
∵，
∴
解得： （负值舍去）， ，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14（5分）.计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的计算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．原式先根据根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算，然后进行乘法运算后合并即可．
【详解】解：
．
15（7分）.先化简，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的混合运算化简求值，分式有意义的条件，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定出整数的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，，，
∴可以取整数，
当时，原式．
16（8分）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，
明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，
某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：
A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，
并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，
根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

本次接受抽样调查的总人数是　 　人；
(2) 请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3) 该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有　 人；
(4) 小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，
小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《之伴我熊芯》
（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片
（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．
请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)390
(4)
【分析】（1）用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
（2）先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
（3）将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
（4）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：（人），
故答案为：120；
（2）C组人数为：（人），
A组人数所占百分比为：，
补全统计图如下：

（3）∵（人），
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
（4）画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，
抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2种可能的结果，
∴P（两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”）．
17（8分）. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，
体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，
已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，
用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
求两种羽毛球拍每副的进价；
(2) 若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，
用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，
种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，设总利润为w元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m的范围；再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）解：设该商店购进A种羽毛球拍m副，总利润为w元，
根据题意，得，
解得，且m为正整数，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
18（9分）. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线；
（2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，故可得到 ，过作交于，交PQ于E，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度．
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于，连接BM，
为的直径，
，
，
，
，
又∵∠D=∠D，
，
，
又，
，
，
为的切线；
（2）解：如图所示，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作交于，交PQ于E，
为等腰直角三角形，
，
，
．
19（12分）. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】任务一：见解析，；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；；任务三：两种方案，见解析
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
20（12分）．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
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