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机密★启用前
2025 年 广 东 省 中 考 模 拟 卷
数 学
说明：1 ．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定 的位置上，并将条形码粘贴好。
2 ．全卷共 6 页。
3 ．作答选择题 1－8，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题 9 -
20 ，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内。写在 本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4 ．考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（　　）
A．a B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了距离地球约5000000000光年的中性氢星系，5000000000用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
4．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，面积为2的正方形的顶点C在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（　　）
A． B． C． D．
8．若抛物线y=(m-1)x2的开口向上，则m的取值范围是（　　）
A．m>0 B．m>1 C．m<1 D．m>-1
9．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．长沙地铁3号线、5号线即将运行，为了解市民每周乘地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到了如下的统计表：
次数 7次及以上 6 5 4 3 2 1次及以下
人数 8 12 31 24 15 6 4
这次调查的众数和中位数分别是　 　．
12．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答.
（1）解不等式(1)，得　 　.
（2）解不等式(2)，得　 　.
（3）把不等式(1)和(2)的解在数轴上表示出来.　 　
（4）原不等式组的解为　 　.
13．如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法：①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有　 　．（填序号）
14．计算： 　 　
15．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于　 　.
三、解答题（一）：本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16．计算：
（1）-1-（-4）×2
（2）
17．如图，中，，，．
（1）用尺规作图在上找一点M，使点M到和的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求的长．
18．祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点．
（1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离；
（2）求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，）
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分,共27分.
19．小颖同学在八年级上学期参加了四次平时测试，以及期中、期末考试，所有考试的数学成绩如表所示：
测验类型 平时测试 期中考试 期末考试
1 2 3 4
成绩（分） 106 102 115 109 112 110
（1）计算小颖上学期数学平时测试的平均成绩；
（2）如果上学期的总评成绩按照如图所示的比例进行计算，请求出小颖上学期的数学总评成绩．
20．某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：
①4月17日全部住满，一天住宿费收入为12000元；
②4月18日有20间房空着，一天住宿费收入为9600元；
③该宾馆每间房每天收费标准相同．
（1）列出一个分式方程，求解该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？
（2）通过市场调查发现，每间住房每天的定价每增加10元，就会有5个房间空闲；已知该宾馆空闲房间每天每间支出费用10元，有顾客居住房间每天每间支出费用20元，问房价定为多少元时，该宾馆一天的利润最大？
21．综合与实践
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽．
在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，,第23题14分，共27分.
22．（1）如图，为的直径，，，，为上的一动点，连接，求的最小值．
（2）在学习圆的性质时，同学们发现对角互补的四边形中，四个顶点共圆．
例如图，已知四边形中，，则，，，四个点在同一个圆上．
问题解决：
如图，已知，，，四个点在同一个上．若，在的同侧，且，请说明点也在上．
如图，，，，为内部一点，且满足，求的最小值．
23．如图，在矩形ABCD中，，点是AD变上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形矩形ABCD，EG交直线CD于点.
（1）【尝试初探】
在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】
若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段CD中点时，求的值.
答案解析部分
1．B
2．B
解：A、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．C
解：5000000000用科学记数法表示为：5×109.
故答案为：C.
用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．C
解：根据题意可得下图
∵
∴
∵三角形纸片沿折叠
∴
∵
又∵
∴
∴为.
故选：C．
本题主要考查折叠前后对应角相等的性质和三角形内角和为180°的概念；先通过三角形内角和求出，再根据折叠性质和已知的求出，进而得出的值.
5．A
6．C
7．D
解：∵正方形ABCD的面积为2，
∴CD2=2，
∴CD=，
∴点P离开原点的距离为，
∵点P在原点的左边，所以点P所表示的数为： .
故答案为：D.
根据正方形面积计算公式及算术平方根定义可得CD=，然后找出点P离开原点的距离为，最后根据数轴上的点所表示数的特点即可得到点P所表示的数.
8．B
解：∵抛物线y=(m-1)x2的开口向上，
∴m-1>0，
解得：m>1，
故答案为：B.
利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）分析求解即可.
9．B
10．C
解：观察图象可知：直线经过点（1，0）、（3，4）
∴当y=0时，x=1； 当y=4时，x=3；
∴关于x的不等式0＜kx+b＜4的解集为1＜x＜3．
故答案为：C.
根据函数值在0~4之间，结合函数图象求出x的范围．
11．5、5
12．（1）
（2）
（3）
（4）2≤x≤4
解：（1）解不等式x+3≥2x-1，
移项，得x-2x≥-1-3，
合并同类项，得-x≥-4，
不等式两边同时除以-1，将未知数的系数化为1，得x≤4；
故答案为：x≤4；
（2）解不等式3x-5≥1，
移项，得3x≥1+5，
合并同类项，得3x≥6，
不等式两边同时除以3，将未知数的系数化为1，得x≥2；
故答案为：x≥2；
（3） 把不等式(1)和(2)的解在数轴上表示出来为：
故答案为：；
（4）原不等式组的解集为：2≤x≤4.
故答案为：2≤x≤4.
（1）根据解不等式的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解不等式（1）即可；
（2）根据解不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，解不等式（2）即可；
（3）根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式（1）与（2）的解集在数轴上表示出来即可；
（4）找出两个不等式解集的公共部分，即可得出该不等式组的解集.
13．①③
14．-1
解： .
故答案为：-1.
直接按同分母分式的加法法则计算即可，注意约分结果.
15．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA，AB//CD，∠FCO=∠OAE，
∵∠FOC=∠AOE，
∴△CFO≌△AEO，
∴，
∴，
即图中阴影部分的面积等于，
故答案为：.
根据菱形的性质求出OC=OA，AB//CD，∠FCO=∠OAE，再利用全等三角形的判定与性质，三角形的面积等计算求解即可。
16．（1）解：原式=-1+4×2
=-1+8
=7
（2）解：原式=-4+24-3
=-4+8
=4
（1）先运算有理数的乘法，再运算有理数的减法解题；
（2）先运算乘方、开立方，然后运算除法，再运算加法解题.
17．（1）解：作的角平分线交于点M，则点M即为所求；
（2）解：过点M作于点D，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴
设，
∴，
解得：，
∴．
（1）由角平分线上的点到两边距离相等联想到作角平分线；
（2）由角平分线上的点的性质可将求MA的问题转化为求MD的问题，这样可以利用到sin∠ACB的值.
18．（1）点A距离地面2尺
（2）点到地面之间的垂直距离约为尺
19．（1）分
（2）分
20．（1）解：设每间住房每天收费x元，根据题意，得：
，
解得，
经经验，是原方程的根．
．
答：该宾馆共有100间住房，每间住房每天收费120元；
（2）解：设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据题意，得
，
∵，
∴有最大值，即时，有最大值，
∴当房价定为165元时，该宾馆一天的利润最大．
（1）设每间住房每天收费x元，由信息（1）可知该宾馆共有住房间，由信息（2）可知该宾馆有顾客居住的房间间，根据该宾馆的住房间数不变列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据利润的计算方法，列出w关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求出答案.
21．解：∵，，
∴．
∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示．
∴．
∵，
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴彩带长度的最小值为．
根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，再根据勾股定理即可求出答案.
22．解：如下图所示，连接交于点，的长度就是的最小值，
，，，
，，
在中，，
又，
，
的最小值是；
解：如下图所示，
，，，四个点在同一个上，
点在点，，确定的上，
，，
，，
，
，
，
点，，，四个点共圆，
点在点，，确定的上，
点，都在点，，三点确定的上；
如下图所示，，，，
，
，
在中，，
，，
连接点与边的中点，则有，
，
，
作的外接圆，
当点在上时，，
又，
且，
是的中位线，
，
设的半径为，
则，，
在中，，
即，
解得：，
连接交于点，过点作交的延长线于点，
则有，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
的最小值为．
连接交于点，的长就是的最小值，然后根据勾股定理求出，即可得到最小值；
①根据，，，四点共圆，然后利用三角形内角和定理得到，即可得到，然后利用，得到，即可得到点也在圆上即可；
②根先得到，根据三角函数可得、，连接点与边的中点，作的外接圆，即可得到点在上时，，连接交于点，此时的值最小，然后利用三角形中位线定理得到，然后根据勾股定理求出的半径为，过点作交的延长线于点，再利用勾股定理得到，即可解题．
23．（1）解：四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，
在点的运动过程中，与始终保持相似关系
（2）解：设AB=1，AE=x，则AD=2AB=2，DE=2-x，
四边形ABCD是矩形，
，，
是线段CD中点，
，
，
，
，解得，
.
(1)利用矩形的性质证得，，再通过余角的性质得到，进而判定.
(2)：设AB=1，AE=x，则AD=2AB=2，DE=2-x，利用相似三角形的性质求得x的值，进而计算出的值.

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