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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题35 矩形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
一、关于矩形的基础知识 2
二、矩形存在性问题的解题策略 2
三、经典例题 3
真题演练 5
（2023·黑龙江·中考真题）一次函数与几何综合 动点问题构成矩形并求点坐标 5
（2023·海南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形 5
（2022·四川泸州·中考真题）二次函数 判断四边形是以某线段为一边的矩形 6
（2022·辽宁丹东·中考真题）二次函数 满足四边形为矩形时求对称点坐标 7
（2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形 7
（2022·湖北随州·中考真题）二次函数 动点问题构成矩形并求点坐标 8
巩固练习 9
在中考数学中，矩形的存在性问题常在动点和函数与几何综合题中考查，函数型综合题中矩形存在性问题，需要通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。我们应该力求通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
一、关于矩形的基础知识
1、什么是矩形？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件.
2、矩形具有哪些性质？
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形的对角线相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
注：①矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
3、矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形.
二、矩形存在性问题的解题策略
1. 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：
；
2. 矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：
在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：
（1）两个锐角互余；
（2）三边平方的等量关系（勾股定理）；
（3）斜边上的中线等于斜边的一半.
三、经典例题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.
（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】，；（2），.
【解析】（1），
令，解得，，
直线经过点A，，即，，
令，整理得，
，点D的横坐标为4，
直线的函数表达式为；
（2）令，即，解得，，
，抛物线的对称轴为，设，
①若AD是矩形的一条边，则，则，
四边形ADPQ是矩形，，
，即，
即，；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，
，，
四边形APDQ是矩形，
，即，
综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
（2023·黑龙江·中考真题）一次函数与几何综合 动点问题构成矩形并求点坐标
如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)求直线的解析式．
(2)连接，求的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
（2023·海南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形
如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
（2022·四川泸州·中考真题）二次函数 判断四边形是以某线段为一边的矩形
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；
(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022·辽宁丹东·中考真题）二次函数 满足四边形为矩形时求对称点坐标
如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
（2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形
如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022·湖北随州·中考真题）二次函数 动点问题构成矩形并求点坐标
如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1、如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
(3)点是坐标轴上的一点，点是平面内一点，是否存在点、使得四边形是矩形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3、综合与实践：
【实践操作】
（1）如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕．
【问题提出】
（2）在（）的条件下，已知，，求的长．
【问题探究】
（3）如图，在（）的条件下，若点是射线上的一个动点，将沿翻折，得，连接．设，在点从点出发沿射线方向运动的过程中，当取得最大值时，解决下列问题：
求的长；
直接写出的长．
【问题拓展】
（4）如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接．问在点从点出发沿射线方向运动的过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
4、如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题：
(1)求的长；
(2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
(3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？
5、已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)正比例函数的图象分别与线段，直线交于点D，E，当与相似时，求线段的长度；
(3)如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以为一边的矩形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．
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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题35 矩形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
一、关于矩形的基础知识 2
二、矩形存在性问题的解题策略 2
三、经典例题 3
真题演练 5
（2023·黑龙江·中考真题）一次函数与几何综合 动点问题构成矩形并求点坐标 5
（2023·海南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形 9
（2022·四川泸州·中考真题）二次函数 判断四边形是以某线段为一边的矩形 14
（2022·辽宁丹东·中考真题）二次函数 满足四边形为矩形时求对称点坐标 18
（2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形 23
（2022·湖北随州·中考真题）二次函数 动点问题构成矩形并求点坐标 27
巩固练习 32
在中考数学中，矩形的存在性问题常在动点和函数与几何综合题中考查，函数型综合题中矩形存在性问题，需要通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。我们应该力求通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
一、关于矩形的基础知识
1、什么是矩形？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件.
2、矩形具有哪些性质？
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形的对角线相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
注：①矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
3、矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形.
二、矩形存在性问题的解题策略
1. 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：
；
2. 矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：
在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：
（1）两个锐角互余；
（2）三边平方的等量关系（勾股定理）；
（3）斜边上的中线等于斜边的一半.
三、经典例题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.
（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】，；（2），.
【解析】（1），
令，解得，，
直线经过点A，，即，，
令，整理得，
，点D的横坐标为4，
直线的函数表达式为；
（2）令，即，解得，，
，抛物线的对称轴为，设，
①若AD是矩形的一条边，则，则，
四边形ADPQ是矩形，，
，即，
即，；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，
，，
四边形APDQ是矩形，
，即，
综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
（2023·黑龙江·中考真题）一次函数与几何综合 动点问题构成矩形并求点坐标
如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)求直线的解析式．
(2)连接，求的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，点Q的坐标是或．
【详解】（1）解：解方程得：，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
过点A作于H，
∵，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为；

（2）解：由（1）知在中，，，
∴，，
∵直线与 y轴交于点E，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
①当点N在上，即时，
由题意得：，，
过点N作于P，
则，
∴；

②当点N在上，即时，
由题意得：，，
过点N作于T，
则，
∴；
综上，；

（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当是直角边时，则，过点N作于K，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，
∵，
∴；

②如图，当是对角线时，则，过点N作于L，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，
∵，
∴；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是或．

（2023·海南·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形
如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
【答案】(1)
(2)9
(3)在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或
(4)证明过程见解析
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：连接，过点P作于点E，如图，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此时点Q的坐标为：．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或；
（4）证明：∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线，
设，直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴点D是线段的中点．
（2022·四川泸州·中考真题）二次函数 判断四边形是以某线段为一边的矩形
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；
(3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在这样的点，点的坐标为或
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得．
（2）解：由题意，设直线的解析式为，
当时，，即，，
则的面积为，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
则点的坐标为，
所以的面积为，
因为与的面积相等，
所以，
解得或（不符题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
所以直线的解析式为．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即为，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当以为一边的矩形是矩形时，
则，，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符题意，舍去，
则此时点的坐标为，
②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，
则，
同理可证：，
，即，
解得，
，
，
矩形的对角线互相平分，
，解得，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
当时，，符合题意，
则此时点的坐标为，
综上，存在这样的点，点的坐标为或．
（2022·辽宁丹东·中考真题）二次函数 满足四边形为矩形时求对称点坐标
如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝x2+x+3
(2)h＝m2+m（0＜m＜6）
(3)m＝1
(4)点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）
【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）解：∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，
∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）解：∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
（2022·贵州黔西·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为矩形
如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)存在，或或或
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．
当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
（2022·湖北随州·中考真题）二次函数 动点问题构成矩形并求点坐标
如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
1、如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并直接写出点的坐标；
(2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
(3)点是坐标轴上的一点，点是平面内一点，是否存在点、使得四边形是矩形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)存在，点的坐标为或．
【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
∵直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，、是它们的交点，
∴、关于原点对称，
∴；
（2）解：如图，作轴于点，轴于点，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
故的最小值为；
（3）解：存在，理由如下：
当点在轴上时，如图，
设点的坐标为，
过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
由平移的性质可求；
当点在轴上时，过点作轴于点，如图，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
由平移的性质可求；
综上所述，点的坐标为或．
2、如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将点，，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，

∴，
∴，
∴M、N、三点共线时，的值最小，
∵，，
∴为线段的垂直平分线，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）解：在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，

∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与x轴交点为G，直线与x轴的交点为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴；
∵C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，
∴；
同理可得；
②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，
∴此时P点不存在；
综上所述：Q点坐标为或．
3、综合与实践：
【实践操作】
（1）如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕．
【问题提出】
（2）在（）的条件下，已知，，求的长．
【问题探究】
（3）如图，在（）的条件下，若点是射线上的一个动点，将沿翻折，得，连接．设，在点从点出发沿射线方向运动的过程中，当取得最大值时，解决下列问题：
求的长；
直接写出的长．
【问题拓展】
（4）如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接．问在点从点出发沿射线方向运动的过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】[问题提出]（）；[问题探究]（）；或；[问题拓展]（）存在，或
【详解】解：[问题提出]（）由（）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠性质可知：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴；
[问题探究]（）∵点是射线上的一个动点，沿翻折，得，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
∵，
∴当直线与圆相切，即时，取最大值，
∴由勾股定理得：；
当在上方时，如上图，
∵沿翻折，得，
∴，，
由（）得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在下方时，过作交延长线于点，
由上得，，
∴，
∵沿翻折，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴；
[问题拓展]（）存在，理由，
如图，当与重合时，
此时，
∴
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
如图，当时，
∴，
综上可知：的长为或．
4、如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题：
(1)求的长；
(2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
(3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图③，点是点关于的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故当为时，点在线段的垂直平分线上；
（3）解：存在的值，使得的面积是矩形面积的，理由如下∶
如图，过作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵的面积是矩形面积的，
∴，
∴，
解得负值舍去，
∴当时，的面积是矩形面积的，
（4）解：如图，连接，
∵点是点关于的对称点，
∴，
∵，
∴当，，共线时，的值最小，
如图，连接，，设交于，作于，作于，
由知，，，
同理可得，，
∵点是点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是矩形，
'∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
5、已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，点的坐标为
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得，
直线的解析式为，
设，则，
，
由题意知，
如图，过点作，则，
，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
；
（ii）由（i）可知，，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
设，
若以为顶点的四边形是矩形，如图所示，
∴四边形为矩形，
，
点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为矩形，满足题意，
点的坐标为．
6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点，直线与x轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)正比例函数的图象分别与线段，直线交于点D，E，当与相似时，求线段的长度；
(3)如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以为一边的矩形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得，
该抛物线的解析式；
（2）解：、，
，，
在中，，
与相似，
，
，
，
;
（3）解：存在，点的坐标为或，
抛物线
对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为即为，
，
，
点F在线段上，点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，
设点的坐标为，点的坐标为，
①如图，当以为一边的矩形是矩形时，
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点G在直线上，
，
矩形的对角线互相平分，
，
整理得：,
解得：或，
当时，，符合题意，
当时，，不符题意，舍去，
则此时点的坐标为，
②如图，当以为一边的矩形是矩形时，过点作于点，
则，，
同理可证：，
，
，
，
，
，
矩形的对角线互相平分，
，
整理得：，
解得：或（不符题意，舍去），
当时，，符合题意，
则此时点的坐标为，
综上所述，存在这样的点，点的坐标为或．
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